Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Кроме распространенных однородных и неоднородных уравнений второго порядка и высших порядков с постоянными коэффициентами, рядовому студенту часто приходится сталкиваться с другим достаточно обширным классом диффуров: дифференциальными уравнениями, допускающими понижение порядка.

Различают три основных типа таких уравнений, которые мы последовательно рассмотрим на данном уроке. По какому принципу решаются данные уравнения? Старо, как второй том матана – уравнения, допускающие понижение порядка, в конечном итоге сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка и интегрируются с помощью методов, которые вы уже должны знать из моих статей.

Люди собрались опытные, большие, поэтому не будем проводить разминку с перекидыванием резинового мячика из рук в руки, а сразу перейдем к делу. Но и чайники тоже могут присоединиться, я не выгоняю за дверь, а ставлю ссылки на темы, по которым у вас есть пробелы.

Метод повторного интегрирования правой части

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где  – производная «энного» порядка, а правая часть  зависит только от «икс». В простейшем случае  может быть константой.

Данное дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием правой части. Причём интегрировать придется ровно  раз.

На практике наиболее популярной разновидность является уравнение второго порядка: . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение. Уравнение третьего порядка  необходимо проинтегрировать трижды, и т. д. Но диффуров четвертого и более высоких порядков в практических заданиях что-то даже и не припомню.

Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: данное дифференциальное уравнение имеет вид .

Понижаем степень уравнения до первого порядка:

Или короче: , где  – константа

Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:

Ответ: общее решение:

Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном случае нужно лишь найти вторую производную:

Получено исходное дифференциальное уравнение , значит, общее решение найдено правильно.

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение

Это пример для самостоятельного решения. Как я уже где-то упоминал, иногда диффур может быть подшифрован. В предложенном примере сначала необходимо привести уравнение к стандартному виду . Решение и ответ в конце урока.

Нахождение частного решения (задача Коши) имеет свои особенности, которые мы рассмотрим в следующих двух примерах:

Пример 3

Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям

, ,

Решение: данное уравнение имеет вид . Согласно алгоритму, необходимо последовательно три раза проинтегрировать правую часть.

Сначала понижаем степень уравнения до второго порядка:

Первый интеграл принёс нам константу . В уравнениях рассматриваемого типа рационально сразу же применять подходящие начальные условия.

Итак, у нас найдено , и, очевидно, к полученному уравнению подходит начальное условие .

В соответствии с начальным условием :

Таким образом:

На следующем шаге берём второй интеграл, понижая степень уравнения до первого порядка:

Выползла константа , с которой мы немедленно расправляемся. Хах. Комментирую пример, а в голове возникла ассоциация, что я злой дед Мазай с одноствольным ружьём. Ну и действительно, константы отстреливаются, как только покажут уши из-под интеграла.

В соответствии с начальным условием :

Таким образом:

И, наконец, третий интеграл:

Для третьей константы используем последний патрон :

Зайцы плачут, заряды были с солью.

Ответ: частное решение:

Выполним проверку, благо, она ненапряжная:
Проверяем начальное условие :
 – выполнено.

Находим производную:

Проверяем начальное условие :
 – выполнено.

Находим вторую производную:

Проверяем начальное условие :
 – выполнено.

Найдем третью производную:

Получено исходное дифференциальное уравнение

Вывод: задание выполнено верно

Наверное, все обратили внимание на следующую вещь: каков порядок уравнения – столько и констант. Уравнение второго порядка располагает двумя константами , в уравнении третьего порядка – ровно три константы , в уравнении четвертого порядка обязательно будет ровно четыре константы  и т. д. Причем, эта особенность справедлива вообще для любого диффура высшего порядка.

Пример 4

Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям

, ,

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Время от времени в дифференциальных уравнениях рассматриваемого типа приходится находить более трудные интегралы: использовать метод замены переменной, интегрировать по частям, прибегать к другим ухищрениям. Я намеренно подобрал простые примеры без всяких замысловатостей, чтобы больше внимания уделить именно алгоритму решения.

В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция

Простейшее уравнение данного типа в общем виде выглядит так:
 – всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его нет в явном виде, но он обязательно всплывёт в ходе решения.

Кроме того, вместе с «игреком» в явном виде может отсутствовать первая производная:
 – это уже уравнение третьего порядка.

Может дополнительно отсутствовать и вторая производная:
 – уравнение четвертого порядка.

И так далее. Думаю, все увидели закономерность, и теперь смогут без труда определить такое уравнение в практических примерах. Кроме того, во всех этих уравнениях обязательно присутствует независимая переменная «икс».

На самом деле есть общая формула, строгая формулировка, но я стараюсь избегать лишних параметров и прочих математических наворотов, поскольку уроки носят не теоретический, а практический характер. И даже общие формулы, которые я только что привел, являются не совсем полными с теоретической точки зрения.

Как решать такие уравнения? Они решаются с помощью очень простой замены.

Пример 5

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: в данном уравнении второго порядка в явном виде не участвует переменная . Заменим первую производную  новой функцией , которая зависит от «икс»:

Если , то

Цель проведённой замены очевидна – понизить степень уравнения:

Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка, с той лишь разницей, что вместо привычной функции «игрек» у нас функция «зет». Грубо говоря, отличие только в букве.

Линейное неоднородное уравнение первого порядка можно решить двумя способами: методом Бернулли (замены переменной) или методом вариации произвольной постоянной. Я выберу метод вариации произвольной постоянной, поскольку он маловато встречался в моих статьях.

Решим вспомогательное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:




Общее решение вспомогательного уравнения:

Варьируя постоянную ,  в неоднородном уравнении  проведем замену:

Пара слагаемых в левой части взаимоуничтожается, значит, мы на верном пути:

Разделяем переменные и интегрируем:

Таким образом:

Итак, функция  найдена. Тут на радостях можно забыть про одну вещь и машинально записать ответ. Нет-нет, ещё не всё. Вспоминаем, что в начале задания была выполнена замена , следовательно, нужно провести обратную замену :

Общее решение восстанавливаем интегрированием:

На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.

Ответ: общее решение:

В большинстве случае проверить и такие уравнения не составляет особого труда. Берём полученный ответ, находим первую и вторую производные:

Подставим первую и вторую производную в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, общее решение найдено правильно.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь вспомним начало заданий. С помощью замены  мы понижали степень уравнения и получали линейное неоднородное уравнение первого порядка. Всегда ли получается именно линейное уравнение в результате замены? Так происходит часто, но не всегда. После замены  может получиться уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение первого порядка, а также некоторые другие интересности.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение

Решение: в данном уравнении третьего порядка в явном виде не участвуют функция  и первая производная . Замена будет очень похожей, за «зет» обозначаем младшего брата:

Если , то

Таким образом, уравнение понижено до первого порядка:

Получено уравнение с разделяющимися переменными, разделяем переменные и интегрируем:

Проведем обратную замену:

Данное уравнение имеет уже знакомый с первого параграфа вид: .

Дважды интегрируем правую часть:

Ответ: общее решение:

Пример 8

Найти общее решение дифференциального уравнения

Это пример для самостоятельного решения. После понижения степени получится линейное неоднородное уравнение первого порядка, которое в моём образце решено методом Бернулли. Как говорится, весь арсенал в ходу.

В дифференциальном уравнении
в явном виде отсутствует независимая переменная

Третий, чуть более сложный тип уравнения, допускающий понижение порядка. Я не буду рисовать общих формул – отличительная особенность данного диффура состоит в том, что в нём в явном виде отсутствует независимая переменная «икс». То есть в исходном дифференциальном уравнении нет «икса». Вообще нет. Ни одного. Нигде.

Пример 9

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,

Решение: в данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Подстановка здесь более замысловата. Первую производную  заменим некоторой пока еще неизвестной функцией , которая зависит от функции «игрек»: . Обратите внимание, что функция  – это сложная функция. Внешняя функция – «зет», внутренняя функция – «игрек» («игрек» сам по себе является функцией).

Находим вторую производную. По правилу дифференцирования сложной функции:

Учитывая, что , окончательно получаем:

В принципе, можно запомнить данную замену формально и коротко:

Другой вопрос, что студентам часто не понятно, почему в замене такая странная вторая производная: , «совершенно же очевидно, что должно быть ». А вот, оно, и не очевидно. Почему , я только что подробно прокомментировал.

Итак, в исходном уравнении  проведём нашу замену:

Цель замены – опять же понизить порядок уравнения:

Одно «зет» сразу сокращаем:

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если – функция, зависящая от «игрек», то первая производная в дифференциалах расписывается так:
. Не допускаем машинальной ошибки – не пишем «привычное» !!!

Разделяем переменные и интегрируем:

Проведем обратную замену :

Как и в первом параграфе, константу целесообразно отстрелить незамедлительно, это значительно упростит дальнейшее интегрирование.

Используем оба начальных условия одновременно: ,

В полученное уравнение  подставим  и :

Таким образом:

Дальнейшее просто:

Вторую константу тоже отстреливаем. Используя начальное условие , проводим подстановку :

Таким образом:

Выразим частное решение в явном виде:

Ответ: частное решение:

Кстати, ответ легко проверяется.

Для закрепления материала пара заключительных примеров.

Пример 10

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,

Решение: в данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Еще здесь нет первой производной, но это не должно смущать – важно, что нет «иксов», а значит, используется стандартная замена:

Таким образом, степень уравнения понижена до первого порядка:

Разделяем переменные и интегрируем, не забывая, что :

Переобозначим константу  через :
.

Проведём обратную замену :

Используем одновременно оба начальных условия ,  и найдём значение константы . Для этого в полученное уравнение  подставим  и:

Таким образом:

Разделяем переменные и интегрируем:

В соответствии с начальным условием :

Окончательно:  или

Ответ: частное решение:

Пример 11

Найти решение задачи Коши.
, ,

Это пример для самостоятельного решения.

Обратите внимание, что все три примера последнего параграфа идут с задачей Коши. Это не случайно. Специфика рассмотренного типа дифференциальных уравнений такова, что если предложить найти общее решение, то в большинстве уравнений нарисуются сложные,  вычурные, а то и вообще неберущиеся интегралы. Поэтому практически всегда вам будет предложено найти частное решение.

Существуют еще некоторые типы диффуров, допускающие понижение порядка, но на практике они мне ни разу не встречались, хотя я перерешал очень много дифференциальных уравнений. Поэтому в урок были включены только те примеры, которые вам могут встретиться реально.

А сейчас пора повесить ружье на гвоздь и идти пить чай.

Удачного понижения степеней дифференциальных уравнений!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте