Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>


Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать несобственный
интеграл на сходимость?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Статистические оценки
и доверительные интервалы

Оценка вероятности
биномиального распределения

Оценки по повторной
и бесповторной выборке

Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона

Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия

Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?

Уравнение линейной регрессии

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Онлайн курсы для всех!



  Карта сайта


17. Комбинационная группировка


На предыдущем уроке мы освоили аналитическую группировку (обязательно к изучению!), и сейчас на очереди ещё один распространённый способ группировки данных.

Комбинационная группировка – это группировка статистической совокупности совместно по двум или бОльшему количеству признаков. Она позволяет выявить устройство совокупности и установить взаимосвязи между её признаками.

Рассмотрим выборку, состоящую из  котов, среди которых оказалось 20 грациозных (менее 4 кг), 50 обычных (4-6 кг) и 30 толстых (более 6 кг). По существу, перед нами структурная группировка животных по их массе и это первый признак статической совокупности. Теперь возьмём какой-нибудь второй признак, например, разделим всех котов на злых и добрых :) Признак, кстати, качественный, но при желании его можно «оцифровать», рассмотрев некую экспертную шкалу доброты.

В результате исследования выяснилось, что среди тощих котов 14 злых и 6 добрых, среди обычных – 24 злых и 26 добрых и среди толстых  – 7 злых и 23 добрых.

Очевидно, что между рассмотренными признаками есть взаимосвязь. Чем больше масса кота, тем более вероятно, что он окажется добрым. Ибо с лишним весом, полным желудком и отрезанн… злиться весьма проблематично. Однако и среди толстых котов тоже есть особи с проблемным характером. Такая нежёсткая зависимость называется…, вспоминаем… – правильно! Корреляционной.

Результаты комбинационной группировки обычно сводят в комбинационную таблицу:

Внимательно изучаем таблицу и обозначения! Это очень, ОЧЕНЬ важно для практики:

1) Признак-фактор  (причину) и его категории располагают в левом столбце (зелёный цвет), а признак-результат  (следствие) и его категории – в «шапке» таблицы (жёлтый цвет). Встречается и расположение наоборот (что с моей точки зрения удобнее), но в практических задачах почему-то в ходу первый вариант. Но мы не будем комплексовать, попробуем и так и так.

2) В основной части таблицы (серый цвет) располагаются собственно результаты группировки – совместные групповые частоты . Итак, у нас в наличии есть:

 тощих и злых и  тощих и добрых котов;
 обычных и злых и  обычных и добрых котов;
 толстых и злых и  толстых и добрых котов;

Итого 6 групп.

! Справка: первый подстрочный индекс означает номер строки (рассматриваем серую область), а второй – номер столбца. Так, значение  расположено в 1-й строке, 2-м столбце, а значение  – в 3-й строке, 1-м столбце.

Сумма всех групповых частот равна объёму статистической совокупности:

! Справка: значок двойного суммирования работает следующим образом: сначала переменная «и» принимает значение  и переменная «жи» пробегает все свои значения (от 1 до 2), в результате чего получается сумма . Затем первая переменная принимает значение  и «жи» снова пробегает все свои значения: . И, наконец, для  получаем сумму .

Часто для краткости пишут  или даже используют одинарный значок суммы:

Заканчиваем разбор таблицы:

3) В правом столбце (зелёный цвет) располагаются суммы частот по строкам (по группам признака-фактора). В нашей совокупности имеется   тощих,  обычных и  толстых котов. Итого:  котэ.

В нижней строке (жёлтый цвет) подсчитываем суммы по столбцам (по категориям признака-результата):   злых и  добрых котов. Итого: , в чём и требовалось убедиться.

Общая котосумма (объём совокупности) расположена в правом нижнем углу: .

! Если вы что-то не очень поняли, ещё раз ВДУМЧИВО перечитайте объяснения!

Может ли в комбинационной группировке быть бОльшее количество факторов? Легко. Так, в нашем примере можно добавить фактор  – жилищные условия кота (бездомный и домашний). В результате получится трёхмерная комбинационная группировка с группами:

тощие, злые и бездомные коты;
тощие, злые и домашние коты;
тощие, добрые и бездомные коты;
тощие, добрые и домашние коты;
обычные, злые и бездомные коты;

и так далее, всего 12 групп. Самостоятельно перечислите и представьте все остальные семейства – целый мир получится!

И, завершая занимательное котоведение, призываю вас не кастрировать своих (и чужих) котов и не топить котят. И мир станет гармоничнее! …простите за отступление, Майкл Джексон любил детей, а я люблю котов :) Да и студентов тоже не тяну за хвосты :)

Теперь переходим к стандартным студенческим задачам, в которых предлагается простейшая двумерная комбинационная группировка:

Пример 63

Имеются выборочные данные о выпуске продукции (млн. руб.) и сумме прибыли (млн. руб.) по 30 предприятиям:

Определить признак-фактор и признак-результат и высказать предположение о наличии и направлении корреляционной зависимости между признаками. Выполнить комбинационную группировку, разбив значения признака-фактора на 5 равных интервалов, а значения признака-результата – на 3 равных интервала. Сделать выводы.

Решение: числовые данные я взял из Примера 61, и если вы с ним не знакомы, то срочно навёрстываем упущенное! В той задаче мы выяснили, что признаком-фактором (причиной) является  – выпуск продукции, а признаком-результатом (следствием)  – прибыль. При увеличении выпуска продукции, очевидно, растёт средняя прибыль предприятий, таким образом, предполагаемая корреляционная зависимость – прямая («чем больше, тем больше»). И снова подчёркиваю нежёсткость этой зависимости: отдельно взятое предприятие может выпускать много, но сидеть в убытках, и наоборот – есть предприятия с небольшим объёмом выпуска, но высокой прибылью. Однако это всё отклонения от общей тенденции.

Выполним комбинационную группировку, разбив значения признака-фактора на 5 равных интервалов, а значения признака-результата – на 3.

Начало решения совпадает с началом Примера 61. Упорядочим предприятия по возрастанию признака-фактора:

О том, как это быстро сделать в Экселе, есть видео!

Далее мы нашли размах вариации  млн. руб. и длину каждого интервала  млн. руб., после чего у нас получилось 5 групп предприятий:

Теперь в каждой группе нужно выделить подгруппы, условно говоря, предприятия с небольшой, средней и высокой прибылью (3 интервала по условию). Для этого берём исходные значения признака-результата (прибыли) и сортируем их по возрастанию. Для компактности расположу упорядоченные значения в три колонки:

С простейшей экселевской сортировкой, полагаю, проблем уже ни у кого нет. А если таки есть, то гляньте, например, тут. Я зануда, в полезном смысле этого слова :)

Вычислим размах вариации:  млн. руб. и длину каждого интервала: ,… ай, как удачно разделилось! В результате получилось три интервала прибыли: 12,1-14,6; 14,6-17,1 и 17,1-19,6 млн. руб.

Теперь в групповой таблице красными галочками помечаем предприятия 1-го интервала, зелёными – предприятия 2-го интервала и синими – 3-го интервала:

По каждой из 5 групп подсчитываем количество предприятий с небольшой (красной), средней (зелёной) и высокой (синей) прибылью. Результаты сведём в комбинационную таблицу, при этом значения признака-фактора удобно расположить по горизонтали в «шапке» таблицы, а значения признака-результата – слева по вертикали:


Следует заметить, что построение комбинационной группировки можно автоматизировать (например, в MS Excel), но в простейших учебных примерах проще выполнить ручной подсчёт частот.

Да, всем ли понятны значения (частоты) в серой области? Частота  означает, что у нас есть два предприятия  с выпуском продукции 53-65 млн. руб. и невысокой прибылью (12,1-14,6 млн. руб.). Частота  означает, что в выборке четыре предприятия  с выпуском продукции 77-89 млн. руб. и высокой прибылью (17,1-19,6 млн. руб.).

Для самоконтроля подсчитываем суммы по серым столбцам:  , , всего:  предприятий. Результаты заносим в нижнюю строку (см. таблицу ниже).

И самое интересное – суммы по серым строкам:
 предприятий с небольшой прибылью;
 предприятий со средней прибылью;
 предприятий с высокой прибылью.

Всего: , что и требовалось проверить. Результаты заносим в правый столбец. Таким образом, итоговая комбинационная таблица выглядит следующим образом:

Сделаем выводы. На основании чего? Смотрим, как располагаются частоты (числа в серой области).

Если частоты имеют тенденцию располагаться по диагонали от левого верхнего до правого нижнего угла, то между признаками существует прямая корреляционная зависимость («чем больше, тем больше»). Это наш случай – по таблице хорошо видно, что с увеличением выпуска продукции растут и прибыли предприятий.

Если частоты имеют тенденцию располагаться по диагонали от левого нижнего до правого верхнего угла, то между признаками существует обратная корреляционная зависимость («чем больше, тем меньше»).

И, наконец, если частоты расположены хаотично, без явной закономерности, то корреляционная зависимость отсутствует либо является слабой.

Задание выполнено.

И здесь опять возникает вопрос: насколько СИЛЬНО влияет признак-фактор на признак-результат? Ответ на этот вопрос дают эмпирические показатели, о которых мы поговорим на следующем уроке, ну а пока аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 64

Известны выборочные данные по 50 предприятиям одной отрасли – дебиторская задолженность (млн. руб.) и соответствующие дивиденды, начисленные по результатам деятельности (млн. руб.).

Справка: дебиторская задолженность – это то, что предприятию должны юридические и физические лица.

Определить признак-фактор и признак-результат и высказать предположение о наличии и направлении корреляционной зависимости. Проверить выдвинутое предположение, выполнив комбинационную группировку, при этом значения признака-фактора следует разделить на 6 равных интервалов, а значения признака результата – на 5 групп с одинаковым количеством предприятий в каждой. Сделать выводы.

…Как проверить предположение? Пока что визуально. Строим комбинационную таблицу и смотрим, по диагонали ли располагаются частоты, и если да, то по какой. Все расклады приведены в конце предыдущего примера.

Решаем прямо в MS Excel! И не ленимся – это задачи из реальных контрольных работ! Образец для сверки совсем близко, после чего переходим к рассмотрению эмпирических показателей, где речь зайдёт как раз о силе корреляционной зависимости.

Решения и ответы:

Пример 64. Решение: чем выше дебиторская задолженность предприятия, тем меньше у него свободных средств, которые могут быть направлены на выплату дивидендов, и, соответственно, тем меньше они могут быть. Таким образом, – дебиторская задолженность – признак-фактор, а  – начисленные дивиденды – признак-результат. Предполагаемая корреляционная зависимость  от – обратная (чем больше задолженность, тем в среднем могут быть меньше дивиденды).

Проверим выдвинутое предположение, построив комбинационную группировку. Упорядочим предприятия по возрастанию признака-фактора (дебиторской задолженности):

Вычислим размах вариации:  млн. руб. По условию, значения признака-фактора нужно разбить на  интервалов равной длины, таким образом, длина каждого интервала составит  млн. руб. В результате получаем следующие группы:

Контроль:

Проведём независимую сортировку дивидендов по возрастанию:

По условию, значения признака-результата следуют разбить на 5 групп с равным количеством предприятий в каждой, что и сделано в вышеприведённой таблице – в каждой группе у нас по  предприятий. В результате получаем 5 интервалов разной длины, при этом внутренние границы интервалов находим как среднее арифметическое «стыковых» значений:

В групповой таблице (см. ниже) ВНИМАТЕЛЬНО отмечаем:

– красным цветом – предприятия с дивидендами 19,57 - 19,88 млн. руб.;
– синим цветом – предприятия с дивидендами 19,88 - 20,095 млн. руб.;
– зелёным цветом – предприятия с дивидендами 20,095 - 20,25 млн. руб.;
– фиолетовым цветом – предприятия с дивидендами 20,25 - 20,415 млн. руб.;
– и оранжевым цветом – предприятия с дивидендами 20,415 - 20,83 млн. руб.

По каждой из 6 групп подсчитываем количество красных, синих, зелёных, фиолетовых и оранжевых предприятий, результаты заносим в комбинационную таблицу:

И обязательно проверка: по каждому серому столбцу подсчитываем суммы и убеждаемся, что получаются корректные значения  (нижняя строка). По каждой серой строке тоже подсчитываем суммы, получая равные значения  (правый столбец). Если где-то что-то «не сходится», значит, допущена ошибка по невнимательности.

Частоты имеют тенденцию располагаться по диагонали от левого нижнего к правому верхнему углу, что говорит о наличии обратной корреляционной зависимости  – начисленных дивидендов от  – дебиторской задолженности (чем больше задолженность, тем в среднем меньше дивиденды).

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2021. Копирование материалов сайта запрещено