Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



  Карта сайта


Биномиальное распределение вероятностей


Или биномиальный закон распределения вероятностей. Исходя из моих наблюдений и личной статистики – это наиболее распространённый вид дискретного распределения, с которым мы уже встречались добрый десяток раз.

Я буду формулировать задачу в общем виде и попутно приводить конкретный пример:

Пусть проводится  независимых испытаний (не обязательно повторных), в каждом из которых случайное событие  может появиться с вероятностью. Тогда случайная величина  – число появлений события  в данной серии испытаний, имеет биномиальное распределение.

Совершенно понятно, что эта случайная величина может принять одно из следующих значений: .

Например: монета подбрасывается 5 раз. Тогда случайная величина  – количество появлений орла распределена по биномиальному закону. Орёл обязательно выпадет:

или  раз, или , или , или , или , или  раз.

Как вы догадались, соответствующие вероятности определяются формулой Бернулли:

, где:

 – количество независимых испытаний;
 – вероятность появления события  в каждом испытании;
 – вероятность непоявления события  в каждом испытании;
 – сколько раз может появиться событие  в данной серии испытаний (список всех возможных значений).

Сведём этот закон распределения в таблицу:

Вероятности  представляют собой члены бинома Ньютона, благодаря чему распределение и получило своё название. По формуле бинома:
, что мы и ожидали увидеть.

В нашем примере с монеткой:

 – вероятность того, что в 5 испытаниях орёл не выпадет вообще ();

 – вероятность того, что в 5 испытаниях орёл выпадет ровно  раз;

 – вероятность того, что в 5 испытаниях орёл выпадет ровно  раза;

 – … ровно  раза;

 – … ровно  раза;

 – … ровно  раз.

Таким образом, закон распределения числа выпавших орлов:

Контроль:

Легко видеть, что нахождение биномиального ряда распределения – есть занятие муторное, и это хорошо, если он содержит 3-4-5-6 значений. А ведь немало задач, где требуется рассчитать 8-10, а то и бОльшее количество вероятностей!

Поэтому вычисления целесообразно автоматизировать в Экселе с помощью его стандартной функции:

=БИНОМРАСП(m; n; p; 0), где  количество успехов в  испытаниях, а  – вероятность успеха в каждом испытании.

Именно так реализован Пункт 3 моего расчётного макета по ТерВеру, ну и особо крутая плюшка – это Пункт 6, в котором биномиальное распределение получается автоматически!

Однако на практике решение нужно расписывать подробно, да и техника не всегда бывает под рукой. В этой связи обязательно прорешайте хотя бы 2-3 типовых задачи и постукайте пальцами по клавишам микрокалькулятора.

Начинаем:

Задача

Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины  – числа попаданий в цель при четырех выстрелах. Вычислить  и . Построить многоугольник и функцию распределения. Найти .

…таких задач очень много – составить закон распределения вероятностей и найти всё-всё-всё. Или почти всё. Или что-то ещё – зависит от фантазии составителя :)

Решение: по существу, текст условия совпадает с Задачей статьи о геометрическом распределении, но есть одно принципиальное отличие – здесь другая случайная величина. А именно, под страхом расстрела совершается серия из  и строго из 4 выстрелов, вероятность попадания в каждом из которых составляет .

Очевидно, что испытания независимы, и случайная величина  распределена по биномиальному закону.

Составим ряд распределения данной случайной величины. Используем формулу Бернулли:
 для  – всех возможных результатов рассматриваемой серии.

На этом шаге я сразу забью  в свой расчётный макет (Пункт 6), чтобы контролировать правильность каждого пункта. Для удобства их можно нумеровать:

0)  
 – вероятность того, что в 4 выстрелах не будет попаданий;

1)
 – вероятность того, что в 4 выстрелах будет ровно 1 попадание;

2)
 – … ровно 2 попадания;

3)
 – … ровно 3 попадания;

4)
 – … ровно 4 попадания.

Таким образом, искомый закон распределения:

Проверка: , ч.т.п.

Пока таблица не ушла из поля зрения, построим многоугольник распределения:

Вычислим математическое ожидание и дисперсию. И тут есть отличная новость – для биномиального распределения можно не использовать общий алгоритм расчёта этих числовых характеристик – по той причине, что существуют готовые формулы:

 – среднеожидаемое количество попаданий;

 – рассеяние количества попаданий относительно матожидания.

Всегда бы так!

Составим функцию распределения вероятностей:

Я не буду вновь останавливаться на алгоритме её построения, и если что-то не понятно, то смотрите по ссылке выше. Раз ступенька, два ступенька – будет график:

Напоминаю, что в статье о функции распределения можно разыскать программу, которая строит чертежи автоматически.

Найдём  – вероятность того, что значение случайной величины  отклонится от своего математического ожидания не более чем на одно среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение:

и искомая вероятность:

(в чём смысл этого пункта решения?)

Готово.

Как вариант, в разобранной задаче может быть предложена другая случайная величина: не количество попаданий, а  – количество промахов. Нетрудно догадаться, что в этом случае вероятности «развернутся наоборот» , и числовые характеристики с графиками будут другими.

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ!

Дополнительные и многочисленные задания по теме можно найти в pdf-сборнике, и как я рекомендовал выше – непременно прорешайте пару-тройку задач вручную! Как говорится, автопилот хорошо, но без ручного управления – финиш.

На очереди распределение Пуассона и гипергеометрическое распределение вероятностей.

Желаю успехов!

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено