Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать несобственный
интеграл на сходимость?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Онлайн курсы для всех!



  Карта сайта


Система случайных величин. Задачи с решениями


Одна случайная величина – хорошо, а две – лучше, а ещё лучше – их система, которую также называют двумерной случайной величиной. Кроме того, можно рассмотреть системы трёх и бОльшего количества величин, но это уже будет слишком хорошо, а оно, как известно, плохо :)  Продолжаем разговор о случайных величинах, и для тех, кто не в теме, я сразу привёл ссылку выше. Для более подготовленных читателей тоже сразу:

– на ближайших уроках будут разобраны распространённые задачи с двумерной случайной величиной и кратко освещены соответствующие теоретические моменты. Если вам нужны развернутые теоретические выкладки, то рекомендую обратиться к одному из последних изданий учебного пособия В.Е. Гмурмана. Эта книга переиздаётся более 50 лет, и в представлении не нуждается.

…почти всегда мучаюсь с началом статьи, и поэтому вступление закончено.

Вспомним первый урок по теме и эталонный пример с игральным кубиком (костью), где мы рассмотрели случайную величину  – количество очков, выпавших в результате броска. В правильных руках правильный кубик даёт следующий закон распределения вероятностей:

Теперь рассмотрим другой такой же кубик и случайную величину  – количество очков, выпавших на этом кубике. Очевидно, что вероятности выпадения его граней будут точно такими же:

Что мы имеем? Две случайные величины. Но это пока что не система, как, например, не являются системой отдельно взятые диффуры. О системе речь заходит, когда мы рассматриваем эти величины ВМЕСТЕ, например, при подбрасывании костей в игре.

Построим закон распределения вероятностей системы . Так как результат броска одного кубика никак не влияет на количество очков, выпавших очков на другом кубике, то случайные величины  являются независимыми.

По теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность выпадения любой возможной комбинации очков постоянна и равна . Закон распределения вероятностей можно записать аналитически:

 – вероятность выпадения любой пары , где случайные величины могут принять одно из следующих значений: , .

Но в произвольной задаче вероятности чаще бывают разными, и поэтому на практике широко распространена табличная запись системы. Тот случай, когда копипаст не просто полезен, а очень полезен:

Устройство таблицы очевидно, но на всякий случай я обвёл красным один пример: вероятность того, что случайная величина  примет значение 2 и случайная величина  значение 4 записывается в ячейку, расположенную на пересечении 2-й строки и 4-го столбца.

Обратите внимание, что сумма всех вероятностей равна единице, это означает, что в таблице учтены все возможные исходы (полная группа), и в результате броска двух кубиков достоверно появится одна из 36 пар.

Помимо дискретных, систему могут образовывать и непрерывные случайные величины. За примером далеко ходить не будем: предположим, что мы бросаем игральный кубик в некую цель, например, в коробку. Тогда уместно рассмотреть следующую двумерную случайную величину: , где  – случайное отклонение от цели «по горизонтали» (влево/вправо) и  – случайное отклонение от цели в длину (ближе/дальше).

Кстати, есть ли отличие между понятиями «система двух случайных величин» и «двумерная случайная величина»? – в различных источниках информации используют и тот, и другой термин. С моей точки зрения, отличие есть. Двумерная или большемерная случайная величина, как правило, порождается в результате конкретного испытания, зачастую (но не обязательно) с одним объектом, пожалуйста – тот же бросок кубика в цель. Понятие же системы более формально: один кубик может подбрасывать бабушка на кухне, а другой дедушка в коридоре, или даже ничего не подбрасывать, а совершать прыжки в длину. Но математика-то не запрещает рассмотреть соответствующие СВ единой системой! А психиатрия вообще приветствует.

Пример 1

Независимые случайные величины  принимают только целые значения:

 – от 1 до 13 с равными вероятностями;
 – от 1 до 16 с равными вероятностями.

Найти  – вероятность того, что в очередном испытании сумма появившихся чисел будет меньше шести.

Решение: предложенные случайные величины можно ассоциировать с нестандартными игральными костями, на одной из которых 13, а на другой – 16 граней.

Из условия следует, что:
– вероятность того, что случайная величина  примет какое-либо значение равна  ;
– вероятность того, что случайная величина  примет какое-либо значение равна  .

Так как случайные величины независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность появления любой пары чисел  в очередном испытании постоянна и равна: . Заметьте, что рассмотрение пар уже констатирует тот факт, что мы рассматриваем СИСТЕМУ случайных величин, а не их по отдельности.

Подсчитаем количество пар, соответствующих событию :

сумме  соответствует единственная пара ;

сумме  – пары ;

сумме   – пары

и сумме : .

Итого: 10 нужных пар.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
 – вероятность того, что сумма появившихся чисел будет меньше шести

Ответ:

Но то, конечно, была разминка:

Пример 2

Две независимые дискретные случайные величины  и  заданы своими законами распределения вероятностей:

Нет, это не опечатка, случайные величины имеют одинаковые законы распределения. Здесь их удобно ассоциировать с двумя одинаковыми и независимо работающими палатами игровыми автоматами, на которых с определенными вероятностями загораются пронумерованные лампочки.

Требуется:

1) Найти закон распределения вероятностей системы случайных величин и вычислить:
 – математическое ожидание случайной величины , при условии, что другая величина приняла значение ;
 – математическое ожидание случайной величины , при условии .

2) Найти закон распределения вероятностей случайной величины . Вычислить математическое ожидание  и дисперсию .

3) Вычислить

Пункты решения принципиально отличны, и в реальной работе вам может встретиться и то, и другое, и третье и даже чётвёртое. И поэтому разбираемся во всём осознанно и очень внимательно:

1) Составим закон распределения вероятностей системы  случайных величин.

 «Иксовые» вероятности будем обозначать как обычно:
,
а к «игрековым» вероятностям добавим «птичку»:

Вычисления стандартно начнём с наименьшего «икса» и «игрека». Найдём  – вероятность того, что случайная величина  примет значение  и случайная величина  значение . По условию, случайные величины независимы, и коль скоро так, то по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Найдём  – вероятность того, что :

И так далее. Вычисления удобно проводить на калькуляторе или даже устно, а результаты заносить в таблицу. В качестве ещё одного примера я вычислил и отметил красным цветом вероятность  – того, что случайные величины примут значения :

Это и есть закон распределения системы . Не забываем проверить, что сумма всех вероятностей равна единице. Кстати, это ещё не значит, что ошибок нет. Для бОльшей уверенности следует просуммировать вероятности по строкам – в результате должны получиться , т.е. закон распределения случайной величины ; и просуммировать вероятности по столбцам – в результате должны получиться «игрековые» вероятности  величины .

Для системы СВ не вводится понятия «общего» математического ожидания, однако можно подсчитать матожидания условные – при условии, что одна из величин примет или уже приняла некоторое конкретное значение.

Вычислим  – математическое ожидание случайной величины , при условии, что другая величина приняла значение . Так как случайные величины независимы, то распределение случайной величины  не зависит от того, какое значение приняла случайная величина . А значит, при любом возможном значении «игрек» условные математические ожидания:
 – в точности равны матожиданию самой случайной величины .

Логично? Представьте, что на 2-м игровом автомате зажглась лампочка (любая). Ну и что с того? Первый же автомат работает независимо!

Следует отметить, что с зависимыми величинами всё не так, и на следующем уроке мы разберём формальный алгоритм вычисления условного матожидания, который пригоден и для независимых величин.

Ну а пока нам достаточно найти математическое ожидание , и заодно сразу вычислим дисперсию, потребуется позже:

Таким образом:

С вероятностью  аналогично – представьте, что на «иксовом» игровом автомате зажглась лампочка №4. Ну и что? Это никак не повлияло на «игрековый» автомат и его матожидание, поэтому:
 – даже считать не пришлось, т.к. наши случайные величины имеют одинаковые распределения вероятностей.

2) Найдем закон распределения вероятностей случайной величины .

Принципиальным отличием от предыдущего пункта является то, что здесь речь идёт об одномерной случайной величине. Как получаются её значения? С помощью суммирования случайных значений , которые могут принять величины . И нам нужно перебрать все возможные варианты.

Начать удобно с самой маленькой возможной суммы, её образует пара , в результате чего случайная величина «зет» примет значение  с вероятностью:

Может ли сумма равняться трём? Может. Исходу  соответствуют пары . По теоремам умножения вероятностей независимых и сложения несовместных событий:

Сумме  соответствуют пары  и вероятность:

Сумма  тоже возможна, и ей соответствуют 4 пары: . Наверное, вы заметили, что вероятности выпадения всех пар уже подсчитана в предыдущем пункте, и, возможно, на практике вам будет удобнее предварительно составить таблицу распределения вероятностей системы . Но не возбраняется и всё расписать подробно:

Сумме  соответствуют пары  и вероятность:

Сумме  – пары :

и, наконец, сумме  – последняя возможная пара :
.

Искомый закон распределения  сведём в таблицу и сразу проведём стандартные вычисления для нахождения матожидания и дисперсии:

Обязательно контролируем, что , ну и дальнейшее просто:

3) Вычислим

Начнём с . Как можно поступить? Можно составить закон распределения случайной величины  . Паре  соответствует значение , паре  – значение , паре  – значение  и так далее…. И далее напрямую вычислить матожидание. Но есть путь короче.

Для математического ожидания справедливы следующие свойства:

 – математическое ожидание величины, которая принимает единственное значение , равно этому значению. Логично

 – постоянный множитель можно вынести за знак матожидания.

 – это свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин. И сразу убедимся в справедливости этого факта. В первом пункте мы вычислили , во втором – :
, что и требовалось проверить.

Таким образом:

Но, следует отметить, что вам может быть предложено и «драконовское» задание, а именно, доказать, что . При такой формулировке таки придётся составить закон распределения случайной величины  и вычислить  непосредственно.

Едем дальше. С нахождением  никаких проблем: в первом пункте мы уже вычислили  и по свойствам матожидания:

Энтузиасты могут составить случайную величину , и убедиться в справедливости равенства .

И осталось вычислить .

Для дисперсии справедливы следующие свойства:

 – дисперсия постоянной величины равна нулю.

 – константу можно вынести за знак дисперсии, возведя её в квадрат. Тоже логично: коль скоро, дисперсия – есть квадратичная величина, то при вынесении постоянного множителя, мы должны «расплатиться» возведением его в квадрат.

Для независимых случайных величин справедливо:
, и сразу проверяем: в пункте 1 мы нашли , и в пункте 2 вычислили: .

Внимание! Для зависимых величин данное равенство неверно! Впрочем, об этом позже.

И из последних двух свойств следует парадоксальное на первый взгляд равенство:

И настал торжественный момент заключительных вычислений нашей большой задачи:

Готово.

Но готовы ли вы? :) Небольшая задачка для самостоятельного решения:

Пример 3

Две независимые дискретные случайные величины  и  заданы своими законами распределения вероятностей:

Требуется:

1) Найти закон распределения вероятностей системы .

Вычисления, кстати, удобно проводить в Экселе – «забиваем» числа и не «забиваем» :)

2) Найти закон распределения вероятностей случайной величины и вычислить .

3) Проверить справедливость равенства

В последнем пункте сформулировано ещё одно свойство математического ожидания, которое справедливо только для независимых случайных величин.

Наверное, вы обратили внимание, что во всех задачах этой статьи в условии прямо констатируется независимость случайных величин. Но такого подарка может и не быть, и тогда нам предстоит выполнить самостоятельное исследование. Как его провести? Существуют строгие математические критерии, позволяющие выяснить, зависимы случайные величины или нет, и я приглашаю вас на следующий урок, где мы не только рассмотрим соответствующие примеры, но и узнаем много интересного.

Краткое решение Примера 3:

1) Используя теоремы умножения вероятностей независимых и сложения несовместных событий, составим закон распределения системы :

Суммируя вероятности по строкам, убеждаемся, что получается закон распределения случайной величины , и, суммируя вероятности по столбцам, получаем в точности закон распределения .

2) Найдём закон распределения случайной величины .

Начнём с наименьшего значения , которое даёт пара . Вероятности появления всех возможных комбинаций уже вычислены в предыдущем пункте:

Произведению  соответствуют пары . По теореме сложения несовместных событий:

Произведению  соответствует пара :

Произведению  – пара :

Произведению  соответствуют пары :

Произведению  – пара :

Произведению  – пары :

Произведению  – пара :

Произведению  – пара :

Произведению  – пара :

и, наконец, произведению  – пара :

Закон распределения случайной величины  сведём в 2 верхние строки расчётной таблицы, не забывая проконтролировать, что :

Математическое ожидание: , дисперсия:

3) Покажем справедливость равенства .

 – вычислено в предыдущем пункте.

Вычислим матожидания исходных случайных величин:

Таким образом:

 – получено верное равенство, что и требовалось проверить.

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2018. Копирование материалов сайта запрещено