Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина.
Работа векторного поля

Ничего страшного в этом заголовке нет – по существу, мы продолжаем решать криволинейные интегралы 2-го рода. Новизна будет состоять в особенности пути интегрирования, а именно в его замкнутости. Наверное, всем интуитивно понятно, что это значит – встаньте с места и прогуляйтесь, как вам захочется. После чего вернитесь в исходную точку. Это и есть замкнутый контур. …Вот видите, как он полезен для разминки затекших от учёбы членов!

В рамках этой статьи я рассмотрю элементарные «маршруты» без самопересечений, такие как окружность, треугольник, квадрат и т.д.  Криволинейный интеграл по замкнутому контуру  так и обозначают – с символической окружностью посередине:

Нередко на ней рисуют стрелочку, указывая направление движения:

– против часовой стрелки;
– либо по часовой стрелке.

На практике чаще всего встречается первый вариант, который принято называть положительным направлением обхода контура.

Впрочем, чтобы послать по контуру – стрелка не обязательна:)

Пример 10

Да, пример уже десятый! – кто не успел, тот навёрстывает упущенное!

Вычислить интеграл  по контуру , ограниченному линиями . Интегрировать против часовой стрелки. Выполнить чертёж.

Решение: Слушаемся и повинуемся:)

Напоминаю, что для криволинейного интеграла 2-го рода принципиально важнО направление интегрирования, и поэтому на чертеже крайне желательно проставлять стрелочки.

В силу свойства аддитивности, криволинейный интеграл по контуру  можно представить в виде суммы трёх интегралов:

1) Вычислим интеграл по дуге  параболы. Если , то:

В соответствии с направлением,  изменяется от 0 до 2:

 – именно так, в виде обыкновенной неправильной дроби.

Желающие могут выполнить проверку: выразить нужный кусок параболы: , найти  и проинтегрировать по «игрек» от 0 до 4.

2) Вычислим интеграл по отрезку  прямой . С дифференциалом тут всё просто:
, а вот с пределами интегрирования не очень – интегрировать нужно строго по заданному направлению, то есть от 2 до 0 (см. чертёж):

3) И, наконец, интеграл по фрагменту  оси ординат. Если , то, понятно, что , и «игрек» изменяется (внимание!) от 4 до 0:

Таким образом, интеграл по контуру:

Ответ:

Очевидно, что если контур обойти по часовой стрелке, то получится противоположное значение: .

Другой очевидный факт состоит в том, что если мы «выйдем» из любой другой точки контура и совершим «оборот» (в том или ином направлении), то значение интеграла не изменится.

Что можно сказать по поводу выполненного задания? Решение хорошее, решение логичное, однако у него есть существенный недостаток. Оно длинное. Но это не беда! Если нет беды с двойными интегралами =) Для простых контуров существует

формула Грина – Остроградского

Или, как её чаще называют – просто формула Грина, которую обычно записывают для положительного направления обхода контура:
, где  – замкнутая область, ограниченная контуром .

Примечание: функции  должны быть определены и непрерывны в области  и, кроме того, иметь в ней непрерывные частные производные .

Решим наш интеграл  по формуле Грина. Сначала найдём частные производные:

И, выбирая привычный порядок обхода области , получаем:

Как видите, решение сильно сократилось, а иногда оно сокращается просто фантастически!

Пример 11

Вычислить криволинейный интеграл  по окружности :
а) непосредственно, б) по формуле Грина.

Решение: естественно, здесь не нужно мучиться с дугами  (хотя можно) – гораздо проще представить уравнение окружности  в параметрической форме, которая уже неоднократно встречалась ранее:

В условии ничего не сказано о направлении обхода контура, но пункт «бэ» толсто намекает, что лучше двигаться против часовой стрелки. К тому же, традиционное возрастание параметра  как раз и обеспечивает «виток» именно в этом направлении:

Чертёж, к слову, был вовсе не обязателен, и ввиду простоты контура можно было обойтись и без него. Однако не в этот раз – пожалуйста, ХОРОШО запечатлейте эту картинку в своём сознании!

а) Вычислим криволинейный интеграл непосредственно. Алгоритм решения обычный – «начинку» интеграла нужно «заправить» буквой «тэ». Найдём дифференциалы:

и подставим  в подынтегральное выражение. Чтобы не запутаться рекомендую оформлять преобразования «простынёй»:

…надеюсь, использованные тригонометрические формулы вы не забудете в любом состоянии =) 

Таким образом, криволинейный интеграл:

б) Вычислим интеграл по формуле Грина:
, где  – замкнутая область, ограниченная контуром . В данном случае это круг радиуса 2. Но возиться с полуокружностями не придётся и здесь! – поскольку:

и сбылась мечта тунеядца:)

Ответ:

И это не только приятный, но ещё и крайне интересный случай. Если криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то речь заходит об очень крутом свойстве! Даже нескольких свойствах. Должен предупредить, что сейчас я буду вольно пересказывать теоремы математического анализа, и если вы учитесь основательно, то обязательно загляните в 3-й том Фихтенгольца (например).

Рассмотрим две произвольные точки области (круга). Очевидно, что их можно соединить бесчисленным количеством кусочно-гладких маршрутов, не выходящих за пределы области. Так вот – какой бы из этих путей мы ни выбрали, то во всех случаях криволинейный интеграл будет равняться одному и тому же значению!

Но это только «вершки». Поскольку функции  непрерывны во всех точках плоскости , то то же самое справедливо и для любых двух точек плоскости! То есть, мы можем зафиксировать вообще любые две точки (какие понравятся) и составить бесконечно много кусочно-гладких маршрутов между ними. И криволинейные интегралы по всем этим маршрутам будут равны одному и тому же числу!

В таких случаях говорят, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит он только от начальной и конечной точки.

Вернёмся к только что разобранному примеру и рассмотрим произвольную пару точек, лежащую внутри круга  – проще всего взять точки . Теперь вычислим криволинейный интеграл следующими способами:

1) По отрезку  прямой . Тут всё элементарно:  и:

2) По дуге  параболы . В этом случае  и:

Самостоятельно вычислите этот же интеграл по дуге  кубической параболы . Получится единица.

Или по какой-нибудь простенькой ломаной, например, по ломаной , где . Тоже получится единица! Возьмите точку  вне круга и снова получИте свою законную единицу!

И вообще – если выбрать любой кусочно-гладкий путь от точки  до точки  , то криволинейный интеграл во всех случаях будет равняться единице! Сколь бы длинным и запутанным ни был маршрут в плоскости , сколько бы он не самопересекался (да, даже так).

Иными словами, значение криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования. И, как я уже отметил выше, в нашем примере можно взять вообще две любые точки плоскости , и криволинейный интеграл не будет зависеть от пути интегрирования.

Более того, если рассмотреть произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур  в плоскости , то интеграл по любому такому контуру будет равен нулю: .

И всё это последовало из того, что мы получили ноль хоть по какому-то замкнутому контуру (по окружности в нашем примере), а также из того факта, что функции  непрерывны всюду.

Но открытия только начинаются!

Если , то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных . Данная функция называется потенциальной или просто потенциалом. Как её найти? Очень просто. Нужно решить  – дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.

Для «начинки» нашего нулевого интеграла  таковой функцией является:

И в самом деле, её полный дифференциал:
 – в точности подынтегральное выражение.

Ну и, наверное, все уже поняли, что равенство , которое обеспечивает ноль в формуле Грина, есть не что иное, как равенство смешанных производных 2-го порядка.

Более того, для любых двух точек  и  области  (и вообще всей плоскости ) криволинейный интеграл  – равен постоянной величине, которая не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точки.

Так, в нашем примере с точками  было совсем не обязательно перебирать множество маршрутов – достаточно найти потенциальную функцию  (решив ДУ в полных дифференциалах) и вычислить криволинейный интеграл по формуле:

Разность  называют разностью потенциалов, и я так вижу, у физиков уже появился здоровый блеск в глазах =) Поэтому не буду томить вас ожиданием и сразу перейду к изложению «главного» физического смысла криволинейного интеграла 2-го рода:

Работа векторного поля

Пусть материальная точка под воздействием силы векторного поля  совершает движение в плоскости и проходит путь . Тогда работа векторного поля по перемещению этой точки определяется формулой: . Данная величина стандартно измеряется в Джоулях, но в математических задачах размерность почти никогда не указывается, и я тоже буду придерживаться этого стиля.

Давайте разбираться. Приведу не совсем строгий, но зато вполне понятный пример: представьте, что у вас на столе лежит плоский и достаточно тонкий магнит. Из жизненного опыта все хорошо знают, что чем ближе поднести к нему какую-нибудь железку, тем сильнее она будет притягиваться. В физике это «сильнее» измеряется векторной величиной под названием напряжённость магнитного поля:

– каждой точке  поверхности стола ставится в соответствие несвободный вектор , указывающий направление действия силы (магнитного поля) и её величину в данной точке (чем ближе к магниту, тем длиннее вектор). Множество этих векторов (рассматриваем только плоскость) образует двумерное векторное поле. Такое поле можно формализовать векторной функцией скалярного аргумента:

И в самом деле, если мы начнём подставлять координаты  различных точек (скалярные аргументы), то «на выходе» будем получать различные векторы . Чтобы было понятнее, приведу конкретный пример:  – найдём значение этой функции, например, в точке :

 – в результате получен вектор, который, повторюсь, привязан к точке  и свободному перемещению не подлежит! Догадайтесь с одного раза, почему.

Теперь недалеко от магнита бросим железную пылинку, которая под действием силы магнитного поля проделает путь  (за некоторое время). Таким образом, данное векторное поле совершило работу  по перемещению этой пылинки. А вы как думали? – работают даже магниты! Всегда вспоминайте об этом, когда устанете от какой-нибудь работы =)

И совсем понятный пример находится у многих под рукой, а именно компьютерная мышка – переместите её по произвольной траектории. Сила ваших мускулов совершила работу по перемещению мыши. Следует однако отметить, что обывательское и физическое понимание работы отличаются, и к этому вопросу я вернусь буквально через несколько строк:

Пример 12

Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина работу векторного поля  по контуру, представляющему собой треугольник с вершинами в начале координат и точках ,  (контур интегрирования следует обходить против движения часовой стрелки).

Краткое решение и ответ в конце урока. И не такое оно, между прочим, простое, как может показаться ;-)

Не удивляйтесь, если работа будет получаться отрицательной – знаки «плюс» и «минус» указывают направление действия силы. Так, если вы переместите мышь вправо, то, условно говоря, совершите работу . Теперь возвращаем её в исходную точку (не обязательно по той же траектории) и предполагаем, что усилий затрачено столько же. Тот факт, что сила ваших мускулов работала в противоположном направлении, и выражается знаком «минус»: .

Вы поработали? Безусловно. Хотя и не перетрудились =) Но с точки зрения физики работы не совершено! И действительно, работа по замкнутому контуру составила . Вот так вот своими руками вы смоделировали особый вид поля!

Если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то соответствующее векторное поле называют потенциальным. Проверим, будет ли оно таковым в Примере 12:

, следовательно, потенциальной функции не существует и поле  не потенциально. Поэтому можно сразу сказать, что

Кстати, такое задание иногда встречается: проверить будет ли данное поле потенциальным и если да, то найти его потенциал. Напоминаю, что для нахождения потенциальной функции нужно решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Что делать в пространственном случае – смотрите в статье о теории поля.

И в заключение урока мы как раз немного поговорим

о криволинейных интегралах в пространстве

А почему нет? Никто же не запрещает интегрировать по пространственным кривым. Наоборот – все только разрешают =)

На самом деле я мог бы начать и с них, но, во-первых, такие задачи значительно реже встречаются на практике, и, во-вторых, возникла бы неслабая путаница.

Пространственная кривая, как правило, задаётся параметрическими уравнениями , и по большому счёту новизна состоит в дополнительной координате.

Так, например, криволинейный интеграл 1-го рода, рассчитывается по формуле:
, и его физический смысл – это масса пространственной линии , где  – функция её плотности.

Криволинейный интеграл 2-го рода запишется в виде:
, и, наверное, вы уже догадываетесь, как его решать. Осталось подтвердить свою догадку решением заключительного примера:

Пример 13

Вычислить криволинейный интеграл , где  – первый виток винтовой линии .

Тот, кто хорошо разобрался с параметрическими уравнениями окружности, легко представит эту линию в уме. Впрочем, информацию не сложнее разыскать в Сети.

Аналогично – предложенный криволинейный интеграл можно интерпретировать, как работу трёхмерного векторного поля  по перемещению материальной частицы вдоль пространственной кривой .

Не так давно я оговорился, что работа – есть «главный» физический смысл криволинейного интеграла. Здесь я имел в виду, что задача на работу силы – самая известная. Криволинейные интегралы находят широчайшее применение в физике, и с помощью них можно подсчитать много других величин.

И, к слову, термин «поле» – он не физический, а относится именно к математике. Силовые же физические поля – лишь частные примеры. Обязательно ознакомьтесь с увлекательной теорией поля!

Но это после того, как будет покончено с интегралами. Ещё существуют поверхностные. Впрочем, уж они-то после всех испытаний – так, ерунда =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте