Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум и библиотека: + подписка на новости проекта!

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Кнопка для сайта: Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



  Карта сайта



Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина.
Работа векторного поля


Ничего страшного в этом заголовке нет – по существу, мы продолжаем решать криволинейные интегралы 2-го рода. Новизна будет состоять в особенности пути интегрирования, а именно в его замкнутости. Наверное, всем интуитивно понятно, что это значит – встаньте с места и прогуляйтесь, как вам захочется. После чего вернитесь в исходную точку. Это и есть замкнутый контур. …Вот видите, как он полезен для разминки затекших от учёбы членов!

В рамках этой статьи я рассмотрю элементарные «маршруты» без самопересечений, такие как окружность, треугольник, квадрат и т.д.  Криволинейный интеграл по замкнутому контуру  так и обозначают – с символической окружностью посередине:

Нередко на ней рисуют стрелочку, указывая направление движения:

– против часовой стрелки;
– либо по часовой стрелке.

На практике чаще всего встречается первый вариант, который принято называть положительным направлением обхода контура.

Впрочем, чтобы послать по контуру – стрелка не обязательна:)

Пример 10

Да, пример уже десятый! – кто не успел, тот навёрстывает упущенное!

Вычислить интеграл  по контуру , ограниченному линиями . Интегрировать против часовой стрелки. Выполнить чертёж.

Решение: Слушаемся и повинуемся:)
Обход контура в положительном направлении
Напоминаю, что для криволинейного интеграла 2-го рода принципиально важнО направление интегрирования, и поэтому на чертежё крайне желательно проставлять стрелочки.

В силу свойства аддитивности, криволинейный интеграл по контуру  можно представить в виде суммы трёх интегралов:

1) Вычислим интеграл по дуге  параболы. Если , то:

В соответствии с направлением,  изменяется от 0 до 2:

 – именно так, в виде обыкновенной неправильной дроби.

Желающие могут выполнить проверку: выразить нужный кусок параболы: , найти  и проинтегрировать по «игрек» от 0 до 4.

2) Вычислим интеграл по отрезку  прямой . С дифференциалом тут всё просто:
, а вот с пределами интегрирования не очень – интегрировать нужно строго по заданному направлению, то есть от 2 до 0 (см. чертёж):

3) И, наконец, интеграл по фрагменту  оси ординат. Если , то, понятно, что , и «игрек» изменяется (внимание!) от 4 до 0:

Таким образом, интеграл по контуру:

Ответ:

Очевидно, что если контур обойти по часовой стрелке, то получится противоположное значение: .

Другой очевидный факт состоит в том, что если мы «выйдем» из любой другой точки контура и совершим «оборот» (в том или ином направлении), то значение интеграла не изменится.

Что можно сказать по поводу выполненного задания? Решение хорошее, решение логичное, однако у него есть существенный недостаток. Оно длинное. Но это не беда! Если нет беды с двойными интегралами =) Для простых контуров существует

формула Грина – Остроградского

Или, как её чаще называют – просто формула Грина, которую обычно записывают для положительного направления обхода контура:
, где  – замкнутая область, ограниченная контуром .

Примечание: функции  должны быть определены и непрерывны в области  и, кроме того, иметь в ней непрерывные частные производные .

Решим наш интеграл  по формуле Грина. Сначала найдём частные производные:

И, выбирая привычный порядок обхода области , получаем:

Как видите, решение сильно сократилось, а иногда оно сокращается просто фантастически!

Пример 11

Вычислить криволинейный интеграл  по окружности :
а) непосредственно, б) по формуле Грина.

Решение: естественно, здесь не нужно мучиться с дугами  (хотя можно) – гораздо проще представить уравнение окружности  в параметрической форме, которая уже неоднократно встречалась ранее:

В условии ничего не сказано о направлении обхода контура, но пункт «бэ» толсто намекает, что лучше двигаться против часовой стрелки. К тому же, традиционное возрастание параметра  как раз и обеспечивает «виток» именно в этом направлении:
Интегрирование по окружности против часовой стрелки
Чертёж, к слову, был вовсе не обязателен, и ввиду простоты контура можно было обойтись и без него. Однако не в этот раз – пожалуйста, ХОРОШО запечатлите эту картинку в своём сознании!

а) Вычислим криволинейный интеграл непосредственно. Алгоритм решения обычный – «начинку» интеграла нужно «заправить» буквой «тэ». Найдём дифференциалы:

и подставим  в подынтегральное выражение. Чтобы не запутаться рекомендую оформлять преобразования «простынёй»:

…надеюсь, использованные тригонометрические формулы вы не забудете в любом состоянии =) 

Таким образом, криволинейный интеграл:

б) Вычислим интеграл по формуле Грина:
, где  – замкнутая область, ограниченная контуром . В данном случае это круг радиуса 2. Но возиться с полуокружностями не придётся и здесь! – поскольку:

и сбылась мечта тунеядца:)

Ответ:

И это не только приятный, но ещё и крайне интересный случай. Если криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то речь заходит об очень крутом свойстве! Рассмотрим две произвольные точки области . Очевидно, что их можно соединить бесчисленным количеством кусочно-гладких маршрутов, не выходящих за пределы области. Так вот – какой бы из этих путей мы ни выбрали, то во всех случаях криволинейный интеграл будет равняться одному и тому же значению!

Вернёмся к только что разобранному примеру и рассмотрим произвольную пару точек, лежащую внутри круга  – проще всего взять точки . Теперь вычислим криволинейный интеграл двумя способами:

1) По отрезку  прямой . Тут всё элементарно:  и:

2) По дуге  параболы . В этом случае  и:

Самостоятельно вычислите этот же интеграл по дуге  кубической параболы . Получится единица.

Или по какой-нибудь простенькой ломаной, например, по ломаной , где . Тоже получится единица!

И вообще – если выбрать любой кусочно-гладкий путь от точки  до точки  (лежащий в области ), то криволинейный интеграл во всех случаях будет равняться единице! Сколь бы длинным и сложным ни был маршрут.

Иными словами, при описанных выше условиях значение криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования.

Но открытия только начинаются!

Если , то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных . Данная функция называется потенциальной или просто потенциалом. Как её найти? Очень просто. Нужно решить  – дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.

Для «начинки» нашего нулевого интеграла  таковой функцией является:

И в самом деле, её полный дифференциал:
 – в точности подынтегральное выражение.

Ну и, наверное, все уже поняли, что равенство , которое обеспечивает ноль в формуле Грина, есть ни что иное, как равенство смешанных производных 2-го порядка.

Более того, для любых двух точек  и  области  криволинейный интеграл  – равен постоянной величине, которая не зависит от пути интегрирования.

Так, в нашем примере с точками  было совсем не обязательно перебирать множество маршрутов – достаточно найти потенциальную функцию  (решив ДУ в полных дифференциалах) и вычислить криволинейный интеграл по формуле:

Разность  называют разностью потенциалов, и я так вижу, у физиков уже появился здоровый блеск в глазах =) Поэтому не буду томить вас ожиданием и сразу перейду к изложению «главного» физического смысла криволинейного интеграла 2-го рода:

Работа векторного поля

Пусть материальная точка под воздействием силы векторного поля  совершает движение в плоскости и проходит путь . Тогда работа векторного поля по перемещению этой точки определяется формулой: . Данная величина стандартно измеряется в Джоулях, но в математических задачах размерность почти никогда не указывается, и я тоже буду придерживаться этого стиля.

Давайте разбираться. Приведу не совсем строгий, но зато вполне понятный пример: представьте, что у вас на столе лежит плоский и достаточно тонкий магнит. Из жизненного опыта все хорошо знают, что чем ближе поднести к нему какую-нибудь железку, тем сильнее она будет притягиваться. В физике это «сильнее» измеряется векторной величиной под названием напряжённость магнитного поля:

каждой точке  поверхности стола ставится в соответствие несвободный вектор , указывающий направление действия силы (магнитного поля) и её величину в данной точке (чем ближе к магниту, тем длиннее вектор). Множество этих векторов (рассматриваем только плоскость) образует двумерное векторное поле. Такое поле можно формализовать векторной функцией скалярного аргумента:

И в самом деле, если мы начнём подставляться координаты  различных точек (скалярные аргументы), то «на выходе» будем получать различные векторы . Чтобы было понятнее, приведу конкретный пример:  – найдём значение этой функции, например, в точке :

 – в результате получен вектор, который, повторюсь, привязан к точке  и свободному перемещению не подлежит! Догадайтесь с одного раза, почему.

Теперь недалеко от магнита бросим железную пылинку, которая под действием силы магнитного поля проделает путь  (за некоторое время). Таким образом, данное векторное поле совершило работу  по перемещению этой пылинки. А вы как думали? – работают даже магниты! Всегда вспоминайте об этом, когда устанете от какой-нибудь работы =)

И совсем понятный пример находится у многих под рукой, а именно компьютерная мышка – переместите её по произвольной траектории. Сила ваших мускулов совершила работу по перемещению мыши. Следует однако отметить, что обывательское и физическое понимание работы отличаются, и к этому вопросу я вернусь буквально через несколько строк:

Пример 12

Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина работу векторного поля  по контуру, представляющему собой треугольник с вершинами в начале координат и точках ,  (контур интегрирования следует обходить против движения часовой стрелки).

Краткое решение и ответ в конце урока. И не такое оно, между прочим, простое, как может показаться ;-)

Не удивляйтесь, если работа будет получаться отрицательной – знаки «плюс» и «минус» указывают направление действия силы. Так, если вы переместите мышь вправо, то, условно говоря, совершите работу . Теперь возвращаем её в исходную точку (не обязательно по той же траектории) и предполагаем, что усилий затрачено столько же. Тот факт, что сила ваших мускулов работала в противоположном направлении, и выражается знаком «минус»: .

Вы поработали? Безусловно. Хотя и не перетрудились =) Но с точки зрения физики работы не совершено! И действительно, работа по замкнутому контуру составила . Вот так вот своими руками вы смоделировали особый вид поля!

Если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то соответствующее векторное поле называют потенциальным. Проверим, будет ли оно таковым в Примере 12:

, следовательно, потенциальной функции не существует и поле  не потенциально. Поэтому можно сразу сказать, что

Кстати, такое задание иногда встречается: проверить будет ли данное поле потенциальным и если да, то найти его потенциал. Напоминаю, что для нахождения потенциальной функции нужно решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Что делать в пространственном случае – смотрите в статье о теории поля.

И в заключение урока мы как раз немного поговорим

о криволинейных интегралах в пространстве

А почему нет? Никто же не запрещает интегрировать по пространственным кривым. Наоборот – все только разрешают =)

На самом деле я мог бы начать и с них, но, во-первых, такие задачи значительно реже встречаются на практике, и, во-вторых, возникла бы неслабая путаница.

Пространственная кривая, как правило, задаётся параметрическими уравнениями , и по большому счёту новизна состоит в дополнительной координате.

Так, например, криволинейный интеграл 1-го рода, рассчитывается по формуле:
, и его физический смысл – это масса пространственной кривой , где  – функция её плотности.

Криволинейный интеграл 2-го рода запишется в виде:
, и, наверное, вы уже догадываетесь, как его решать. Осталось подтвердить свою догадку решением заключительного примера:

Пример 13

Вычислить криволинейный интеграл , где  – первый виток винтовой линии .

Тот, кто хорошо разобрался с параметрическими уравнениями окружности, легко представит эту линию в уме. Впрочем, информацию не сложнее разыскать в Сети.

Аналогично – предложенный криволинейный интеграл можно интерпретировать, как работу трёхмерного векторного поля  по перемещению материальной частицы вдоль пространственной кривой .

Не так давно я оговорился, что работа – есть «главный» физический смысл криволинейного интеграла. Здесь я имел ввиду, что задача на работу силы – самая известная. Криволинейные интегралы находят широчайшее применение в физике, и с помощью них можно подсчитать много других величин.

И, к слову, термин «поле» – он не физический, а относится именно к математике. Силовые же физические поля – лишь частные примеры. Обязательно ознакомьтесь с увлекательной теорией поля!

Но это после того, как будет покончено с интегралами. Ещё существуют поверхностные. Впрочем, уж они-то после всех испытаний – так, ерунда =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 12: Решение: выполним чертёж:
Работа векторного поля по замкнутому контуру
I. Вычислим работу векторного поля непосредственно:

1) На отрезке : ,  изменяется от 0 до 2:

2) Составим уравнение, содержащее отрезок , по двум точкам :

 изменяется от 2 до 0:

3) На отрезке : ,  изменяется от 0 до 1:

Таким образом, работа векторного поля по данному контуру:

II. Вычислим криволинейный интеграл по формуле Грина:

В данном случае:

Таким образом:

Ответ:

Пример 13: Решение: найдём дифференциалы:
 и подставим их вместе с  в подынтегральное выражение:

Для удобства интегралы вычислим по отдельности:

1)
2)
Интегрируем по частям:

3)
4)

Таким образом:

Ответ:

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено