Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость

Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши. Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд  и распишем его подробнее:

А сейчас будет боксёрский комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т. д. до бесконечности.

Знакочередование обеспечивает множитель : если  чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях, эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»: , ,  и т. п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов.

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? С помощью признака Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница рассказывать не буду, так как помимо математических трудов он написал несколько томов по философии. Вот и я опасаюсь :)

Признак Лейбница: если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: , причём, убывают монотонно.

Если выполнены эти условия, то ряд сходится.

Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики, но для удобства ещё раз: что значит «по модулю»?

Модуль, образно говоря, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– члены ряда без учёта знака убывают;
– члены ряда убывают по модулю;
– члены ряда убывают по абсолютной величине;
– модуль общего члена ряда стремится к нулю: .

// Конец справки

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом:  Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая).

Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но бесконечный «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим. Это очевидное следствие, которое в некоторых источниках добавляют к «классической» формулировке признака.

Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:

Пример 1

Исследовать ряд на сходимость

В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно   и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел , который чаще всего является очень простым.

 – члены ряда не убывают по модулю, и из этого, кстати, автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела не существует *, то есть не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

* Согласно, строгому определению предела числовой последовательности, и кроме того, в данном случае это очевидно.

Вывод: ряд расходится.

Как разобраться, чему равно ? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить , нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда . Тупо убираем «мигалку»: .

Пример 2

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1)

Ряд является знакочередующимся.

2)  – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: () – поскольку бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби. Таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Однако это еще не всё! Сходимость бывает разной. А именно:

– сходящийся ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд ;
– в противном случае ряд  сходится условно.

! Из вышесказанного очевидно следует, что любой сходящийся положительный ряд является абсолютно сходящимся.

Поэтому в типовом задании, как правило, нужно провести второй этап решения. ...Не виноватый я – такая уж теория и практика числовых рядов =)

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:
  – расходится (гармонический ряд) – тут даже без исследования обошлось.

Таким образом, наш ряд сходится условно.

Следует отметить, что при формулировке «Исследуйте ряд на сходимость» можно рискнуть и ограничиться признаком Лейбница (т. е. просто констатировать сходимость), но-таки лучше не лениться – с большой вероятностью вас попросят уточнить, сходится ли ряд абсолютно или условно.

Заметьте также, что в Примере 1 второй этап по-любому отпадает, поскольку еще на первом шаге сделан вывод о том, что ряд расходится.

Собираем ведёрки, лопатки, машинки и выходим из песочницы, чтобы смотреть на мир широко открытыми глазами из кабины моего экскаватора:

Пример 3

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1)

Данный ряд является знакочередующимся.

2)  – члены ряда убывают по модулю.

Для любого номера  справедливо неравенство: , а бОльшим знаменателям соответствуют меньшие дроби:
, то есть каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , а это означает, что убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Теперь выясним, как именно. Для этого составим и исследуем соответствующий ряд из модулей:

Анализируя начинку, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд  сходится вместе с рядом .

Таким образом, ряд сходится абсолютно.

Готово.

Пример 4

Исследовать ряд на сходимость

Пример 5

Исследовать ряд на сходимость

Это примеры для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления в конце урока.

Казалось бы, знакочередующиеся ряды – это просто и занудно, но не спешите уходить, скоро начнётся экшн.

Пример 6

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1)

Ряд является знакочередующимся. Кстати, члены ряда от непреодолимой лени, в принципе, можно и не расписывать, только обязательно убедитесь, что здесь действительно имеет место знакочередование, а не «обманка» вроде .

2)  – члены ряда убывают по модулю.

Осталось показать монотонность убывания. И тут можно поступить хитро, расписать несколько конкретных членов и всю цепочку:

, после чего сделать соответствующий вывод.

Но вас могут попросить обосновать справедливость неравенства , которая здесь далеко не очевидна, в отличие от предыдущих примеров. Ну что же, давайте обоснуем, по просьбам учащихся:

Вывод: ряд сходится.

Выясним характер сходимости ряда:

Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, ряд  сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

Нередко встречаются знакочередующиеся ряды, которые вызывают затруднения.

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1) Данный ряд является знакочередующимся, расписывать поленился.

2)  

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приёмов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно знать, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Примечание: понятие порядка роста функции подробно освещено в статье Методы решения пределов. У нас пределы последовательностей, но это не меняет сути.

Если числитель  при  растёт быстрее факториала, то . Если на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: . А может быть этот предел вообще равен какому-нибудь отличному  от нуля числу?

Попробуем записать несколько первых членов ряда:

Создается стойкое впечатление, что , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа, для того она и существует.

Справка

– Факториал растёт быстрее, чем показательная последовательность , иными словами:  или . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее, чем степеннАя последовательность или многочлен, иными словами:  или . Вместо  можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. То есть и здесь факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее произведения показательной и степенной последовательностей (наш случай). А также быстрее произведения и бОльшего количества таких множителей.

И, раз пошла такая пьянка,

– Показательная последовательность растёт быстрее, чем степенная последовательность , например: , . Аналогично факториалу, она «перетягивает» и произведение степенных последовательностей: .

– А есть ли что-нибудь «круче» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность растёт быстрее, чем . На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

// Конец справки

Таким образом, второй пункт исследования (вы еще о нём помните? =)) можно записать так:
2) , так как  более высокого порядка роста, чем . Да-да, прямо так и пишем, ибо нечего преподу студента заваливать :)

Покажем монотонность убывания, и хорошая новость – сделать это здесь проще, нежели в Примере 6. Составим разность , и если она окажется положительной (начиная хоть с какого-то натурального «эн»), то всё путём:

И тут мы видим «общую картину»: сначала разность в скобках отрицательна (то есть члены ряда по модулю даже растут), однако она точно будет больше нуля, ибо  более высокого порядка роста, чем  при . Иными словами, начиная с некоторого номера «эн», факториал «обгоняет» числитель, и «хвост» ряда становится монотонно убывающим, что является принципиально важным для выполнения условия признака Лейбница.

В данном примере не так сложно выяснить сей номер: для этого нужно раскрыть скобки в скобках и найти корни многочлена 4-й степени, тут, к слову, есть точный аналитический метод Феррари. И, ориентируясь на самый большой корень, устанавливается искомый номер «эн». Приведу готовый результат: , начиная именно с этого номера, разность становится положительной, то есть начинается монотонное убывание членов ряда по модулю.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из модулей членов:

А тут уже работает старый добрый признак Даламбера:

Таким образом, ряд  сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом.

Теорема: если ряд сходится, то сходится и ряд

Пример 8 «на бис» вторым способом.

Исследовать ряд на сходимость

Решение: исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:

Используем признак Даламбера:
…
только что печатал
…
Таким образом, ряд  сходится, а значит, по соответствующей теореме, сходится и исследуемый ряд, причём, ясно как день – абсолютно.

Вывод: ряд сходится абсолютно.

Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит хитро… смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует. Ибо условие не предписывает использовать именно признак Лейбница (но обычно это всё же подразумевается).

И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один на закрепление интегрального признака сходимости. 

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость ,

и для гурманов:

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость, строго обосновать монотонность убывания модулей членов ряда и указать номер, начиная с которого таковое убывание начинается.
…Раз уж вы «дожили» до этого задания :)

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее монотонны и однообразны интересны.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2026, сделано в Блокноте