![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
УравнениЯ прямой в пространствеЗдравствуйте-здравствуйте! Впервые или снова, но очень рад вас видеть! Продолжаем знакомиться с пространственной геометрией – миром, в котором мы живём. На первом уроке мы вдоль и поперёк рассмотрели уравнение плоскости, а сейчас очередь дошла до моей очередной жертвы – прямой в пространстве. Если ваш уровень подготовки не очень высок, пожалуйста, начните с предыдущей статьи, там же есть путеводитель для чайников – тех, кто проходил мимо векторов пару раз и очень давно. В данном разделе мы разберём вопросы, связанные с уравнениЯМИ прямой в пространстве, посмотрим, как может располагаться прямая относительно координатных плоскостей, координатных осей и научимся решать типовые задачи. Я добросовестно постараюсь рассказать всё самое главное, что связано с пространственными прямыми. Начнём с уравненИЙ прямой в пространстве. Для лёгкого понимания темы целесообразно хорошо проштудировать уравнение «плоской» прямой, поскольку будет очень много похожих вещей. Но будут и отличия, на одно из которых вы уже наверняка обратили внимание. Я выделял большими буквами окончание слова «уравнение», подчеркивая, что оно находится ВО МНОЖЕСТВЕННОМ ЧИСЛЕ. И это не случайно, своеобразие пространственной прямой состоит в том, что она задаётся не одним уравнением, а некоторым множеством уравнений. Высшая математика не озадачивает нас улыбкой Джоконды, поэтому надвинем на лоб строгую параллельность морщин и приступим к делу. Если вас интересует что-то конкретное, используйте быстрые ссылки:
Как составить уравнения прямой в пространстве?Аналогично «плоской» прямой, существует несколько способов, которыми мы можем задать прямую в пространстве. Начнём с канонов – точки и направляющего вектора прямой: Канонические уравнения прямойЕсли известна некоторая точка пространства Приведённая запись предполагает, что координаты направляющего вектора Как и в статье Уравнение плоскости, для простоты будем считать, что во всех задачах урока действия проводятся в ортонормированном базисе пространства. Пример 1 Составить канонические уравнения прямой по точке Решение: Канонические уравнения прямой составим по формуле: Ответ: И ежу понятно… хотя, нет, ежу не понятно вообще ничего. Что следует отметить в этом очень простом примере? Во-первых, полученные уравнения НЕ НАДО сокращать на единицу: А во-вторых, в аналитической геометрии неизбежны две вещи – это проверка и зачёт: На всякий случай смотрим на знаменатели уравнений и сверяемся – правильно ли там записаны координаты направляющего вектора Далее подставляем координаты точки Получены верные равенства, значит, координаты точки Проверка очень легко (и быстро!) выполняется устно. В ряде задач требуется найти какую-нибудь другую точку Берём полученные уравнения Проверим, удовлетворяет ли найденная точка Получены верные равенства, значит, точка Выполним чертёж в прямоугольной системе координат. Заодно вспомним, как правильно откладывать точки в пространстве: Строим точку Строим точку Сама прямая У прямой бесконечно много направляющих векторов, например: Получился в точности исходный вектор Дополнительную информацию о построении трёхмерных чертежей на клетчатой бумаге можно найти в начале методички Графики и свойства функций. В тетради разноцветные пунктирные дорожки к точкам (см. чертёж) обычно тонко прочерчивают простым карандашом тем же пунктиром. Разберёмся с частными случаями, когда одна или две координаты направляющего вектора нулевые. Попутно продолжаем тренировку пространственного зрения, которая началась в начале урока Уравнение плоскости. И вновь я расскажу вам сказку о голом короле – нарисую пустую систему координат и буду убеждать вас, что там есть пространственные прямые =) Проще перечислить все шесть случаев: 1) Для точки Или короче: Пример 2: составим уравнения прямой по точке Что это за прямая? Направляющий вектор прямой В частности, уравнения Рассматриваемые уравнения можно интерпретировать и другим образом: посмотрим, например, на аналитическую запись оси абсцисс: Два похожих случая: 2) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку Такие прямые будут параллельны координатной оси 3) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку Данные прямые параллельны координатной оси Загоним в стойло вторую тройку: 4) Для точки Пример 3: составим уравнения прямой по точке Разберём суть полученной записи. Уравнение Если высота нулевая: Таким образом, рассмотренный случай задаёт прямую, параллельную координатной плоскости 5) Прямая, заданная точкой В частности, уравнения 6) Прямая, заданная точкой В частности, уравнения Настала пора хорошо закусить: Пример 4 Записать канонические уравнения прямой, если известна точка и направляющий вектор данной прямой. а) Это примеры для самостоятельного решения, ответы в конце урока. Постарайтесь не пренебрегать примерами данного урока! Задачи вроде бы элементарны, но если на них забить, то в дальнейшем появятся серьёзные затруднения. Причём, в простых вещах. Как составить уравнения пространственной прямой по двум точкам?Если известны две точки пространства Унылый частный случай предыдущего параграфа. И в самом деле, вектор По возможности, рекомендую не пользоваться данными формулами. Хорошо-то оно, всё хорошо, но только до тех пор, пока знаменатели без нулей. Не буду объяснять все тонкости, но рекомендую придерживаться следующего алгоритма решения: Пример 5 Составить уравнения прямой, проходящей через точки Решение: Найдём направляющий вектор прямой: Уравнения прямой составим по точке Ответ: В принципе, можно было сократить знаменатели пропорции на 2 и записать ответ в виде Выполним проверку: Подставим координаты точки Подставим координаты точки Вывод: канонические уравнения прямой составлены правильно. Пример 6 Составить уравнения прямой, проходящей через точки Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Параметрические уравнения прямой в пространствеОбязательно прочитайте данный параграф! Параметрические уравнения, конечно, не альфа и омега пространственной геометрии, но рабочий муравей многих задач. Причём, этот вид уравнений часто применяется неожиданно, и я бы сказал, изящно. Если известна точка О самом понятии параметрических уравнений я рассказывал на уроках Уравнение прямой на плоскости и Производная параметрически заданной функции. Всё проще пареной репы, поэтому придётся приперчить задачу: Пример 7 Составить параметрические уравнения следующих прямых: Решение: Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор. а) Из уравнений Составим параметрические уравнения данной прямой: Удобство параметрических уравнений состоит в том, что с их помощью очень легко находить другие точки прямой. Например, найдём точку Таким образом: Составим параметрические уравнения прямой: в) Перепишем уравнения Запишем параметрические уравнения прямой: Для тренировки: Пример 8 Составить параметрические уравнения следующих прямых: Решения и ответы в конце урока. Полученные вами ответы могут несколько отличаться от моих ответов, дело в том, что параметрические уравнения можно записать не единственным способом. Важно, чтобы ваши и мои направляющие векторы были коллинеарны, и ваша точка «подходила» к моим уравнениям (ну, или наоборот, моя точка к вашим уравнениям). Как ещё можно задать прямую в пространстве? Хочется что-нибудь придумать с вектором нормали. Однако номер не пройдёт, у пространственной прямой нормальные векторы могут смотреть совершенно в разные стороны. Ещё об одном способе уже упоминалось на уроке Уравнение плоскости и в начале этой статьи: Прямая, заданная пересечением двух плоскостейЕсли плоскости То есть прямая задана уравнениями двух плоскостей. Типовая и распространенная задача состоит в том, чтобы переписать уравнения прямой в каноническом виде: Пример 9 Записать канонические уравнения прямой Решение: Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей…. 1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? В системе уравнений нужно обнулить какую-нибудь координату. Пусть Таким образом, точка Выполним проверку: подставим координаты точки 2) Как найти направляющий вектор прямой? Его нахождение наглядно демонстрирует следующий схематический чертёж: Из уравнений плоскостей И находим направляющий вектор прямой: Как проверить результат, рассматривалось в статье Векторное произведение векторов. 3) Составим канонические уравнения прямой по точке Ответ: На практике можно пользоваться готовой формулой: если прямая задана пересечением двух плоскостей Пример 10 Записать канонические уравнения прямой Это пример для самостоятельного решения. Ваш ответ может отличаться от моего ответа (смотря, какую точку подберёте). Если отличие есть, то для проверки возьмите точку из вашего уравнения и подставьте в моё уравнение (или наоборот). Полное решение и ответ в конце урока. Во второй части урока мы рассмотрим взаимное расположение прямых в пространстве, а также разберём задачи, которые связаны с пространственными прямыми и точками. Терзают меня смутные ожидания, что материала будет прилично, поэтому лучше всё-таки сделать отдельную веб страницу. Добро пожаловать: Задачи с прямой в пространстве >>> Решения и ответы: Пример 4: Ответы: Пример 6: Решение: Найдём направляющий вектор прямой: Пример 8: Решения и ответы: Пример 10: Решение: Найдём какую-нибудь точку, принадлежащую данной прямой. Пусть Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|