Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Как решить систему линейных уравнений?На данном уроке мы рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходится иметь дело практически во всех разделах высшей математики. Сначала немного теории. Что в данном случае обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнения системы все переменные входят в первой степени: без всяких причудливых вещей вроде и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад. В высшей математике для обозначения переменных используются не только знакомые с детства буквы . Но как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и способы решения системы линейных уравнений от этого не меняются. Таким образом, если Вам встретится что-нибудь страшное типа , не спешите в страхе закрывать задачник, в конце концов, вместо можно нарисовать солнце, вместо – птичку, а вместо – рожицу (преподавателя). И, как ни смешно, систему линейных уравнений с данными обозначениями тоже можно решить. Что-то у меня есть такое предчувствие, что статья получится довольно длинной, поэтому небольшое оглавление. Итак, последовательный «разбор полётов» будет таким:: – Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»); С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения. Решение системы линейных уравнений методом подстановкиДанный метод также можно назвать «школьным методом» или методом исключения неизвестных. Образно говоря, его еще можно назвать «недоделанным методом Гаусса». Пример 1 Решить систему линейных уравнений: Здесь у нас дана система двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа 5 и 7) расположены в левых частях уравнений. Вообще говоря, без разницы, где они находятся, слева или справа, просто в задачах по высшей математике нередко они расположены именно так. И такая запись не должна приводить в замешательство, при желании систему можно записать «как обычно»: . Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак. Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти множество её решений. Решение системы представляет собой набор значений всех входящих в неё переменных, который обращает КАЖДОЕ уравнение системы в верное равенство. Кроме того, система может быть несовместной (не иметь решений). Не тушуйтесь, это общее определение =) У нас же будет всего лишь одно значение «икс» и одно значение «игрек», которые удовлетворяют каждому уравнению с-мы. Существует графический метод решения системы, с которым можно ознакомиться на уроке Простейшие задачи с прямой. Там же я рассказал о геометрическом смысле системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Но сейчас на дворе эра алгебры, и числа-числа, действия-действия. Решаем: из первого уравнения выразим: Ответ: После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку (устно, на черновике либо калькуляторе). Благо, делается это легко и быстро. 1) Подставляем найденный ответ в первое уравнение : 2) Подставляем найденный ответ во второе уравнение : Или, если говорить проще, «всё сошлось» Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было выразить , а не . Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. В этой связи обращаю Ваше внимание на то, КАК я записал выражение. Не так: , и ни в коем случае не так: . Если в высшей математике Вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных неправильных дробях. Именно , а не или ! Запятую можно использовать лишь иногда, в частности, если – это окончательный ответ какой-нибудь задачи, и с этим числом больше не нужно выполнять никаких действий. Многие читатели наверняка подумали «да зачем такое подробное объяснение, как для класса коррекции, и так всё понятно». Ничего подобного, вроде бы такой простой школьный пример, а сколько ОЧЕНЬ важных выводов! Вот еще один: Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом. Хотя бы потому, что это экономит время и нервы, а также снижает вероятность допустить ошибку. Если в задаче по высшей математике Вам встретилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то всегда можно использовать метод подстановки (если не указано, что систему нужно решить другим методом) Ни один преподаватель не Пример 2 Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробно-рациональной функции. Рассматриваемая система взята мной как раз оттуда. При нахождении интеграла – цель быстро найти значения коэффициентов , а не изощряться формулами Крамера, методом обратной матрицы и т.д. Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки. Когда дана любая система уравнений, в первую очередь желательно выяснить, а нельзя ли ее как-нибудь СРАЗУ упростить? Анализируя уравнения системы, замечаем, что второе уравнение системы можно разделить на 2, что мы и делаем: Справка: математический знак обозначает «из этого следует это», он часто используется в ходе решения задач. Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные. Какое уравнение выбрать? Наверное, Вы уже догадались, что проще всего для этой цели взять первое уравнение системы: Здесь без разницы, какую переменную выражать, можно было с таким же успехом выразить или . Далее, выражение для подставляем во второе и третье уравнения системы: Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: Третье уравнение делим на 2: Из второго уравнения выразим и подставим в третьей уравнение: Практически всё готово, из третьего уравнения находим: Ответ: Проверка: Подставим найденные значения переменных в левую часть каждого уравнения системы: 1) Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, решение найдено верно. Пример 3 Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системыВ ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее. Пример 4 Решить систему линейных уравнений: Я взял ту же систему, что и первом примере. Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО. Теперь всё просто: – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе, но это не так выгодно – там числа больше): В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так: Ответ: У некоторых явно возник вопрос: «Зачем все эти изыски, если можно просто выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение?». Пример 5 Решить систему линейных уравнений: Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных: Как видим числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 20 и 20 либо 20 и –20. Будем рассматривать коэффициенты при переменной : Подбираем такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты: Далее: В результате: Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе. На всякий случай привожу еще раз действия, которые проводятся мысленно: Теперь подставляем найденное значение в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое: Ответ: Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной Очевидно, что вместо пары коэффициентов (4 и –3) нам нужно получить 12 и –12. Почленно складываем уравнения и находим значения переменных: Ответ: Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать. В высшей математике всегда стремимся складывать и умножать, а не вычитать и делить. Пример 6 Решить систему линейных уравнений: Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Продолжение урока на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы >>> Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |