Сегодня на уроке мы познакомимся с ещё одним распространённым следствием теорем сложения и умножения вероятностей, которое касается независимых испытаний, и рассмотрим многочисленные примеры на использование формулы Бернулли. Данная задача входит в «обязательный комплект» типовой самостоятельной/контрольной работы по теории вероятностей, поэтому ваше ближайшее времяпровождение будет крайне полезным. Кроме того, я расскажу, в чём заблуждается подавляющее большинство участников лотерей и азартных игр. …Нееет, вера или слабая надежда «сорвать куш» тут совершенно ни при чём ;-) Не успев и глазом моргнуть, погружаемся в тему:
Что такое независимые испытания? Практически всё понятно уже из самого названия. Пусть производится несколько испытаний. Если вероятность появления некоего события в каждом из них не зависит от исходов остальных испытаний, то… заканчиваем фразу хором =) Молодцы. При этом под словосочетанием «независимые испытания» часто подразумевают повторные независимые испытания – когда они осуществляются друг за другом.
Совершенно ясно, что вероятность выпадения орла либо решки в любом испытании не зависит от результатов других бросков. Аналогичное утверждение, естественно, справедливо и для кубика.
А вот последовательное извлечение карт из колоды не является серией независимых испытаний – как вы помните, это цепочка зависимых событий. Однако если карту каждый раз возвращать обратно, то ситуация станет «такой, какой надо».
Спешу обрадовать – у нас в гостях очередной Терминатор, который абсолютно равнодушен к своим удачам/неудачам, и поэтому его стрельба представляет собой образец стабильности =):
Задача 1
Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна . Найти вероятность того, что:
а) стрелок попадёт только один раз;
б) стрелок попадёт 2 раза.
Решение: условие сформулировано в общем виде и вероятность попадания в мишень при каждом выстреле считается известной. Она равна (если совсем тяжко, присвойте параметру какое-нибудь конкретное значение, например, ).
Коль скоро мы знаем , то легко найти вероятность промаха в каждом выстреле: , то есть, «ку» – это тоже известная нам величина.
а) Рассмотрим событие «Стрелок попадёт только один раз» и обозначим его вероятность через (индексы понимаются как «одно попадание из четырёх»). Данное событие состоит в 4 несовместных исходах: стрелок попадёт в 1-й или во 2-й или в 3-й или в 4-й попытке.
Внимание! Если вам НЕ ПОНЯТНА эта запись, пожалуйста, вернитесь к предыдущему уроку по вышеприведённой ссылке!
Упростим результат с помощью комбинаторной формулы количества сочетаний: способами можно выбрать попытку, в которой стрелок попал.
И, поскольку в каждом случае имеет место 1 попадание и 3 промаха, то: – вероятность того, что стрелок попадёт только один раз из четырёх
…Как-то так «с лёгкой руки» я начал называть повторные независимые испытания «попытками», что не в каждой задаче может быть корректным… …ну да ладно.
б) Рассмотрим событие «Стрелок попадёт два раза» и обозначим его вероятность через («два попадания из четырёх»). Здесь вариантов становится больше, попадания возможны:
в 1-й и 2-й попытках или
в 1-й и 3-й попытках или
в 1-й и 4-й попытках или
во 2-й и 3-й попытках или
во 2-й и 4-й попытках или
в 3-й и 4-й попытках.
Можно ли так решать задачу? Безусловно, можно. Но что делать, если серия состоит из 5, 6 или бОльшего количества выстрелов? Тут уже будут получаться десятки слагаемых, запись которых отнимет много времени и места. В этой связи рациональнее придерживаться более компактной схемы: способами (перечислены выше) можно выбрать 2 попытки, в которых произойдут попадания.
И, поскольку в любом исходе ровно 2 попадания и 2 промаха, то: – вероятность того, что стрелок попадёт 2 раза из 4.
Ответ:
Итак – вероятность того, что будет 1 попадание из 4, равна , вероятность того, что будет 2 попадания из 4, равна … не замечаете ли вы закономерности?
Только что на конкретном примере мы повторили путь Якоба Бернулли, который несколько веков назад вывел формулу, названную позже в его честь:
– Вероятность того, что в независимых испытаниях некоторое случайное событие наступит ровно раз, равна:
, где:
– вероятность появления события в каждом испытании; – вероятность непоявления события в каждом испытании.
Коэффициент часто называют биномиальным коэффициентом.
Примечание: формула Бернулли справедлива только для тех независимых испытаний,
в которых вероятность события сохраняется постоянной. Но на практике в результате испытаний могут появляться разные события с разными вероятностями – в этом случае работает другая формула. Соответствующие примеры можно найти, например, в типовых расчётах из сборника Чудесенко (Задача 18).
За примером далеко ходить не будем:
Задача 2
Найти вероятность того, что при 10 бросках монеты орёл выпадет 3 раза.
Решение: сначала немного порассуждаем: всего проводится 10 повторных независимых испытаний. Сколькими способами можно выбрать 3 испытания, в которых выпадет орёл? способами!
Это что же получается – записывать 120 слагаемых, в каждом из которых 10 множителей? =)
Используем формулу Бернулли: , в данном случае: – всего испытаний; – количество испытаний, в которых должен появиться орёл; – вероятность появления орла в каждом испытании; – вероятность появления решки в каждом испытании.
Таким образом: – вероятность того, что при 10 бросках монеты орёл выпадет ровно 3 раза.
Ответ:
Следует отметить, что повторный характер независимых испытаний не является «жизненно важным» (необходимым) условием для применения формулы Бернулли. Рассмотрим похожую задачу (которая, кстати, эквивалентна Задаче 8 урока о классическом определении вероятности):
Найти вероятность того, что при броске 10 монет орёл выпадет на 3 монетах.
Здесь испытания не повторяются, а скорее, производятся одновременно, но, тем не менее, работает та же самая формула: .
Решение будет отличаться смыслом и некоторыми комментариями, в частности: способами можно выбрать 3 монеты, на которых выпадет орёл. – вероятность выпадения орла на каждой из 10 монет
и т.д.
Однако на практике подобные задачи встречаются не столь часто, и, видимо, по этой причине формула Бернулли чуть ли не стереотипно ассоциируется только с повторными испытаниями. Хотя, как только что было показано, повторяемость вовсе не обязательна.
Следующая задача для самостоятельного решения:
Задача 3
Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что 5 очков:
а) не выпадут (выпадут 0 раз);
б) выпадут 2 раза;
в) выпадут 5 раз.
Результаты округлить до 4 знаков после запятой.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Очевидно, что в рассматриваемых примерах некоторые события более вероятны, а некоторые – менее вероятны. Так, например, при 6 бросках кубика даже безо всяких расчётов интуитивно понятно, что вероятности событий пунктов «а» и «бэ» значительно больше вероятности того, что «пятёрка» выпадет 5 раз. А теперь поставим задачу найти
НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ число появлений события в независимых испытаниях
Опять же на уровне интуиции в Задаче №3 можно сделать вывод о том, что наивероятнейшее количество появлений «пятёрки» равно единице – ведь всего граней шесть, и при 6 бросках кубика каждая из них должна выпасть в среднем по одному разу. Желающие могут вычислить вероятность и посмотреть, будет ли она больше «конкурирующих» значений и .
Сформулируем строгий критерий: для отыскания наивероятнейшего числа появлений случайного события в независимых испытаниях (с вероятностью в каждом испытании) руководствуются следующим двойным неравенством:
, причём:
1) если значение – дробное, то существует единственное наивероятнейшее число ;
в частности, если – целое, то оно и есть наивероятнейшее число: ;
2) если же – целое, то существуют два наивероятнейших числа: и .
Наивероятнейшее число появлений «пятёрки» при 6 бросках кубика подпадает под частный случай первого пункта:
В целях закрепления материала решим пару задач:
Задача 4
Вероятность того, что при броске мяча баскетболист попадёт в корзину, равна 0,3. Найти наивероятнейшее число попаданий при 8 бросках и соответствующую вероятность.
А это уже если и не Терминатор, то, как минимум, хладнокровный спортсмен =)
Решение: для оценки наивероятнейшего числа попаданий используем двойное неравенство . В данном случае:
– всего бросков; – вероятность попадания в корзину при каждом броске; – вероятность промаха при каждом броске.
Таким образом, наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках находится в следующих пределах:
Поскольку левая граница – дробное число (пункт №1), то существует единственное наивероятнейшее значение, и, очевидно, что оно равно .
Используя формулу Бернулли , вычислим вероятность того, что при 8 бросках будет ровно 2 попадания:
Ответ: – наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках, – соответствующая вероятность.
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Задача 5
Монета подбрасывается 9 раз. Найти вероятность наивероятнейшего числа появлений орла
Примерный образец решения и ответ в конце урока.
А сейчас весьма любопытная ситуация: предположим, что во всех 9 испытаниях выпал орёл. Это, кстати, не являются каким-то уж сильно невероятным событием: ;-)
Вопрос: какая сторона монеты вероятнее всего выпадет в 10-м испытании?
Решка? Глубокое заблуждение!
Правильный ответ: вероятности останутся равными! Почему? Причина была сформулирована ещё в самом начале урока: поскольку испытания независимы, то вероятность выпадения орла либо решки в любом испытаниине зависит от результатов других испытаний!
Однако игры разума таковы, что у многих людей напрашивается следующий вывод: «раз орёл выпал много раз подряд, то теперь выпадение решки гораздо (!) вероятнее». В теории и на практике этот психологический феномен получил название «Ошибка игрока». Если подбрасывать монету тысячи, десятки тысяч раз, то соотношение орлов/решек будет примерно равным (о чём мы ещё поговорим в статье Статистическое определение вероятности). Но в этом процессе неоднократно встретятся эпизоды, когда монету «заклинит» на какой-то одной грани; и КАК ИМЕННО распределятся эти «необычные» случаи на длинной дистанции – никто не знает.
К слову, о «необычности». Любая случайная последовательность девяти орлов/решек так же вероятна, как и выпадение 9 орлов! Проверить данный факт легче лёгкого: запишем произвольную последовательность исходов, например: Орёл/Решка/Решка/ Орёл /Решка/ Орёл /Решка/ Орёл /Орёл
И здесь мы сталкиваемся со второй иллюзией – человек склонен считать «красивые» комбинации чем-то из ряда вон выходящим и чуть ли не фантастическим. Но на самом деле ничего «необычного», например, в комбинации О/О/О/Р/Р/Р/О/О/О – нет, и она может запросто появиться в серии испытаний. Вероятность получить, скажем, пиковый «Ройял-флеш» в покересоставляет 1:2598960, однако мало кто задумывается, что с той же вероятностью приходит ЛЮБАЯ, в том числе, совершено «мусорная» комбинация из пяти карт! И с этой точки зрения «сверхъестественная» комбинация 10, В, Д, К, Т пик ничем не примечательна – встречалась «в истории» наряду с другими очень много раз.
Кстати, к теме нашего разговора относятся и типичные ситуации в карточных играх – когда «карта идёт» и наоборот – когда «постоянно сдают один мусор» или «фатально не везёт». Такие «полосы» бывают у каждого игрока, и никакой мистики в этом нет.
На просторах Интернета часто встречается популярный «секрет выигрыша» в рулетку, также известный под названием «Мартингейл». Примерная суть состоит в следующем: «Ставьте на красное. Если выпало чёрное, удваивайте ставку и снова ставьте на красное. Если снова выпало чёрное, то ещё раз удваивайте ставку и снова ставьте на красное и т.д.». Казалось бы – вот оно, золотое дно, ведь красных секторов целых 18 из 37 (18 черных и 1 зеро в европейской рулетке)! И уж «красное» должно выпасть если не на 5-й, то на 10-й раз точно, что позволит отыграть всё ранее поставленное с прибылью!
Ничего подобного! Вероятность выпадения красного сектора в любом испытании постояннаи никак не зависит от результатов предыдущих испытаний. Постоянна – и проигрышна(т.к. поставленные на «красное» деньги с вероятностью проигрываются, а в случае успеха – всего лишь удваиваются). Длинные серии «чёрного» вполне вероятны, и, кроме того, чтобы отыграть маленькую первоначальную ставку, игрок часто рискует куда более значительными суммами. Результат предсказуем. Поэтому данный «секрет», как и все остальные системы игры в рулетку – не работает. Заведению даже не надо как-то «подкручивать алгоритмы» или ограничивать игроков в размере ставок (хотя, как правило, существует ограничение на размер депозита).
Остаётся вопрос: так почему же этот «удивительный способ» рекламируется в Сети на каждом шагу? Ответ прост: казино распиливает с владельцем сайта-лохотрона проигранные деньги каждого привлечённого Буратино. И что совсем забавляет – «благодетель» просит, чтобы особо везучие лохи отблагодарили его материально (обычно депозит сливается далеко не сразу и поначалу можно даже неплохо подняться). Кто виноват? Конечно же, мошенническая «шарашка», которая специально настроила программное обеспечение на «невероятный» проигрыш. Что делать? Попытать удачи в других заведениях.
«Ошибка игрока» совершается и многими участниками лотерей. На сайте одной лотереи на самом видном месте расположена информация о том, «какие номера давно не выпадали». И вот – целая армия энтузиастов начинает собирать статистику тиражей, подгадывать определённые комбинации и т.д. Чистой воды химера и пустая трата времени – если, например, №8 не выпадал 50 раз подряд, то он с таким же успехом может не выпасть ещё 150 розыгрышей (это не ирония – я в прямом смысле). Однако если провести десятки тысяч тиражей, то количество появлений всех номеров будет примерно равным. Но В КАКОМ ПОРЯДКЕ И КАКИМИ СЕРИЯМИ будет выпадать та же «восьмёрка» на длинной дистанции – никто предсказать не может.
«Русское лото» в этом смысле честнее – оно призывает «поставить на любимые номера», т.е. приобрести билет (онлайн), в котором присутствуют понравившиеся числа.
Но в действительности нет никакой разницы – покупаете ли вы билет наугад, или выбираете билет с определёнными числами, или даже если заполняете бланк самостоятельно. Это если не учитывать потусторонние силы =)
После увлекательного отступления рассмотрим ещё несколько задач, а затем я поделюсь секретом правильной игры в азартные игры и лотереи.
Задача 6
Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 60% изделий первого сорта. Какова вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет:
а) от 2 до 4 изделий первого сорта;
б) не менее 5 изделий первого сорта;
в) хотя бы одно изделие более низкого сорта.
Вероятность производства первосортного изделия не зависит от качества других выпущенных изделий, поэтому здесь идёт речь о независимых испытаниях. Старайтесь не пренебрегать анализом условия, а то может статься – события-то зависимые или задача вообще о другом.
Решение: вероятность зашифрована под проценты, которые, напоминаю, нужно разделить на сто: – вероятность того, что выбранное изделие будет 1-го сорта.
Тогда: – вероятность того, что оно не будет первосортным.
а) Событие «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет от 2 до 4 изделий первого сорта» состоит в трёх несовместных исходах:
среди изделий будет 2 первосортных или 3 первосортных или 4 первосортных.
С исходами удобнее разделаться по отдельности. Трижды используем формулу Бернулли :
Решение можно было записать и «одной строкой», что мы, впрочем, сделаем в следующем пункте:
б) Событие «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет не менее 5 изделий первого сорта» состоит в 2 несовместных исходах: первосортных изделий будет пять или шесть.
в) Вероятность того, что «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет хотя бы одно изделие более низкого сорта» удобно найти черезвероятность противоположного события(«Все изделия будут первосортными»), которая уже известна: – вероятность того, что среди шести отобранных изделий окажется хотя бы одно низкосортное.
Ответ:
Давайте заодно вспомним такое полезное понятие, как полная группа событий. Что осталось не найденным? Остались не найденными вероятности двух событий.
Не знаю кому как, а мне порядком поднадоел микрокалькулятор, и я предлагаю воспользоваться расчётным макетом по теории вероятностей – это подарок для самых прилежных студентов, которые не уходят курить во время моих занятий =)
Вводим исходные данные и получаем: – вероятность того, что все изделия окажутся более низкого сорта; – вероятность того, что среди 6 изделий будет только одно первосортное.
Проверка: ,
что и требовалось проверить.
Небольшое задание для самостоятельного решения:
Задача 7
Производится 8 выстрелов по цели, в каждом из которых вероятность попадания равна 0,1. Найти вероятность того, что цель будет поражена хотя бы два раза.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Следует отметить, что задачи на формулу Бернулли «хорошо узнаются» и обычно не вызывают затруднений. С дополнительными, в том числе весьма интересными примерами по теме можно ознакомиться в этой pdf-ке с готовыми решениями. И одну из таких задач я разберу в заключение урока:
Задача 8
Для нормальной работы вычислительного центра необходима безотказная работа в течение дня, как минимум, 5 компьютеров. Сколько компьютеров нужно установить, чтобы с вероятностью, не меньшей обеспечить нормальную работу центра, если вероятность отказа компьютера в течение дня равна 0,05?
Решение: из условия легко найти, что вероятность безотказной работы любого компьютера в течение дня составляет . Однако сам вопрос поставлен нетривиально – сколько компьютеров нужно установить? Иными словами, в формуле Бернулли нам не известно значение «эн».
Поскольку для нормальной работы центра необходима безотказная работа, как минимум, 5 компьютеров, то может быть пяти и хватит?
1) Если в вычислительном центре установить компьютеров, то в течение дня безотказно должны работать они все. По формуле Бернулли:
Но по условию нормальную работу центра нужно обеспечить с вероятностью, не меньшей, чем ! А полученная нами вероятность безотказной работы всех пяти компьютеров – заметно меньше. Значит, необходимо увеличить количество машин:
2) Предположим, что в вычислительном центре установлено компьютеров. Тогда для нормальной его работы в течение дня безотказно должны работать 5 или 6 компьютеров.
– вероятность того, что в течение дня безотказно будут работать, как минимум, 5 компьютеров из шести.
Данное значение нас тоже не устроит, так как оно меньше требуемой надёжности работы вычислительного центра:
Таким образом, шести компьютеров тоже не достаточно. Добавляем ещё один:
3) Пусть в вычислительном центре компьютеров. Тогда безотказно должны работать 5, 6 или 7 компьютеров. Используя формулу Бернулли и теорему сложения вероятностей несовместных событий, найдём вероятность того, что в течение дня безотказно будут работать, как минимум, 5 компьютеров из семи:
Есть! Требуемый уровень надёжности достигнут.
Можно, конечно, поставить и бОльшее количество компьютеров, но зачем переплачивать? =)
Ответ: чтобы обеспечить нормальную работу вычислительного центра в течение дня с вероятностью, не меньшей , нужно установить не менее семи компьютеров.
Формула Бернулли очень удобна, но с другой стороны, обладает и рядом недостатков. Так, например, при достаточно больших значениях «эн» и «эм» её применение затруднено ввиду огромных значений факториалов. В этом случае используют теоремы Лапласа, которые мы рассмотрим на следующем уроке. Другая распространённая на практике ситуация – когда вероятность некоторого события в отдельно взятом испытании достаточно мала, а количество испытаний велико. Вопрос разрешается с помощью формулы Пуассона.
И, наконец, обещанный секрет:
…Так всё-таки – как правильно играть в азартные игры и лотереи?
Наверное, многие ожидали услышать от меня что-нибудь вроде: «Лучше вообще не играть», «Открыть собственное казино», «Организовать лотерею» и т.п.
Ну почему же не играть? Игра – это одно из развлечений, а за развлечения, как известно, нужно… совершенно верно! Поэтому средства, на которые вы играете, следует считать платой за развлечение, но ни в коем случае трагической потерей.
Тем не менее, каждый участник азартной игры хочет выиграть. И выиграть хорошую сумму. Какой тактики (о стратегии речи не идет вообще) выгоднее всего придерживаться в игре с заведомо проигрышным математическим ожиданием, например, в рулетке? Лучше всего сразу поставить все фишки, как вариант, на «красное» либо «чёрное». С вероятностью вы удвоитесь (и быстро, и много!), и если это произойдёт – обязательно потратьте выигрыш на другие развлечения =)
Не имеет смысла играть по какой-то «системе» (хотя бы потому, что это глупо) и тратить на это часы/дни/недели – в той же рулетке заведение имеет минимальное преимущество, и проигрываться можно ооооочень долго. Если в оффлайновом казино это ещё как-то можно понять (общение, выпивка, девочки и т.д.), то онлайн игра оставит вас с красными глазами и чувством глубокой досады.
Что касается лотерей, то билет лучше покупать опять же ради развлечения и… наобум. Или «по наитию». Правда, лично я почему-то никогда не слышал об экстрасенсах и предсказателях, которые выигрывают в лотереи =) Не иначе, как шифруются.
Естественно, перечисленные советы не относятся к хроническим лудоманам и им как раз таки «Лучше вообще не играть». Ну а тем посетителям, которые мечтают разбогатеть на гэмблинге, настоятельно рекомендую прочитать либо ещё раз перечитать вводную статью по теории вероятностей.
Везения в главном!
Решения и ответы:
Задача 3: Решение: используем формулу Бернулли: , в данной задаче: – всего испытаний; – вероятность выпадения «пятёрки» в каждом испытании; – вероятность того, что «пятёрка» не выпадет (для каждого испытания). а) – вероятность того, что в результате 6 бросков кубика «пятёрка» не появится. б) – вероятность того, что в 6 испытаниях «пятёрка» выпадет ровно 2 раза. в) – вероятность того, что в 6 испытаниях «пятёрка» выпадет ровно 5 раз. Ответ:
Задача 5: Решение: в данной задаче речь идёт о независимых испытаниях, при этом: – всего испытаний; – вероятность выпадения орла в каждом испытании; – вероятность выпадения решки в каждом испытании. Найдём наивероятнейшее количество появлений орла: Так как – целое число, то существуют два наивероятнейших значения: и Используя формулу Бернулли, вычислим соответствующие вероятности: Ответ: 4 и 5;
Задача 7: Решение: используем формулу Бернулли: , в данном случае: – всего выстрелов; – вероятность попадания в цель при каждом выстреле; – вероятность промаха при каждом выстреле. По теореме сложения вероятностей несовместных событий: – вероятность того, что в серии из 8 выстрелов будет ни одного или 1 попадание. Найдём вероятность противоположного события: – вероятность того, что цель будет поражена хотя бы два раза. Ответ: