Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>


Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?
Повторяем школьный курс

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Как найти рациональные корни
многочлена? Схема Горнера

Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать сходимость
несобственного интеграла?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

ТФКП для начинающих
Как построить область
на комплексной плоскости?

Линии на С. Параметрически
заданные линии

Отображение линий и областей
с помощью функции w=f(z)

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Статистические оценки
и доверительные интервалы

Оценка вероятности
биномиального распределения

Оценки по повторной
и бесповторной выборке

Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона

Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия

Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?

Уравнение линейной регрессии
Проверка значимости линейной
корреляционной модели

Модель пАрной регрессии.
Индекс детерминации

Нелинейная регрессия. Виды и
примеры решений

Коэффициент ранговой
корреляции Спирмена

Коэф-т корреляции Фехнера
Уравнение множественной
линейной регрессии

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом



  Карта сайта


26. Уравнение множественной линейной регрессии


До сих пор мы рассматривали однофакторные регрессионные модели. Грубо говоря, нам был дан единственный признак-фактор  (причина), который влиял на признак-результат  (следствие). И на основании эмпирических данных (выборочных пар значений  в объеме  штук) мы оценивали тесноту корреляционной зависимости  от , а также строили линейные и нелинейные уравнения регрессии.

Но, разумеется, на зависимый показатель  часто влияют несколько или даже очень много факторов:  и наша сегодняшняя цель состоит в том, чтобы покорить множественную регрессию. Тема не очень сложная, однако, обширная и трудоёмкая, и на этом единственном уроке я разберу самые востребованные и распространённые задачи. Итак, мы научимся:

Быстро строить уравнение множественной линейной регрессии   в MS Excel (метод наименьших квадратов), находить основные характеристики модели и проверять её качество. Этот пункт реализован в видеоролике и будет полезен для самопроверки + тем читателям, кто не погружён в статистику, а проводит лишь прикладное исследование в какой-либо предметной области (экономике, социологии, психологии, etc).

Выполнять детальные расчёты для двухфакторной линейной модели , в том числе находить весь сопутствующий скарб: коэффициенты корреляции, детерминации, эластичности, бета; проверять значимость коэффициентов и всего уравнения. Помимо подробного мануала, смотрИте то же видео и ещё есть калькулятор, который позволяет не только автоматизировать расчёты, но и распечатать на чистовик готовое решение.

И в конце статьи – краткая информация по расчётам модели с бОльшим количеством факторов. Формулы и добрые пожелания.

Чего НЕ будет? Не будет подробной теории и теоретизации; если вам нужен подобный материал, то некоторые источники я уже рекомендовал на уроке Модель однофакторной регрессии, копипаст:

Н. Ш. Кремер Б. А. Путко Эконометрика
И. И. Елисеева Эконометрика
и ещё мне понравилась нижегородская методичка ННГАСУ:
О. В. Любимцев О. Л. Любимцева Линейные регрессионные модели в эконометрике

Желающие без труда отыщут и более серьёзную литературу, как говорится, степень геморроя зависит от вашего аппетита :)

Ну а здесь будет всё (или почти всё) просто и популярно; …некоторые меня обвиняют в поверхностности, но пусть лучше материал усвоит максимальное количество читателей. Всё разберём на конкретном примере и простейшем случае, когда нам дано лишь два фактора:

Пример 82

По результатам выборочного исследования  торговых предприятий региона были получены отчётные данные за предыдущий год:

…как обычно, я не ручаюсь за правдоподобность и достоверность приведённых данных, оставляя их на совести автора методички. Но это на самом деле и не важно, у нас на повестке дня математика.

Требуется:

– обосновать и оценить влияние каждого фактора на размер чистой прибыли предприятия;

найти уравнение двухфакторной линейной регрессии ;

найти коэффициент множественной корреляции и детерминации;

вычислить частные коэффициенты корреляции;

вычислить коэффициенты эластичности;

вычислить бета-коэффициенты;

проверить значимость коэффициентов уравнения регрессии на уровне ;

определить соответствующие доверительные интервалы для коэффициентов;

проверить статистическую значимость всей модели на том же уровне ;

спрогнозировать среднеожидаемую прибыль предприятия при  оборотах и  чел. / 1 млн. руб.

Но перед тем как решать, конечно же, нужно понять смысл предложенных показателей.

Итак, фактор  – количество оборотов оборотных средств. Что это такое? Оборотные средства – это деньги на закупку товара. Компания закупила товар и полностью продала его: таким образом, оборотные средства совершили один оборот. И предложенные в условии значения  – это количество оборотов, которые совершили оборотные средства за год. Очевидно, что чем быстрее обращаются деньги, тем больше совершается продаж и тем больше может быть прибыль предприятия. Таким образом, предполагаем прямую корреляционную зависимость прибыли предприятия  от количества оборотов оборотных средств . Следует ещё раз заметить, что это лишь общая тенденция, а не какое-то жёсткое правило, ведь есть товары с высокой и очень низкой маржой (наценкой).

Фактор второй,  – трудоёмкость продаж. К сожалению, автор задачи не уточнил данный показатель, но, судя по всему, это среднее (за год) количество персонала, которое  приходилось на один миллион выручки. Так или иначе, суть состоит в том, что чем больше людей в компании, тем больше расходы на оплату труда и тем меньше может быть её прибыль. Таким образом, предполагаем  обратную корреляционную зависимость прибыли  от трудоёмкости продаж .

Построив диаграммы рассеяния, не поленюсь:


– легко уловить, что обе зависимости близкИ к линейной.

И в самом деле, вычислим линейные коэффициенты корреляции:

 – таким образом, существует сильная прямая корреляционная зависимость прибыли от количества оборотов оборотных средств;

 – и сильная обратная корреляционная зависимость прибыли от трудоёмкости продаж;

Коэффициенты можно рассчитать подробно (см. по ссылке выше), но в данном случае это «проходные» вычисления, поэтому используем стандартную экселевскую функцию:

= КОРРЕЛ(выделяем мышкой массив признака-факторавыделяем массив ) и жмём Enter.

Теперь нам нужно совместить обе причины в единой модели и построить выборочное уравнение двухфакторной линейной регрессии . Но не всё так просто. Для того чтобы модель множественной регрессии была качественной и вообще вменяемой, должны выполняться ряд условий. Во-первых, признаки-факторы должны быть некоррелированы. Вычислим коэффициент линейной корреляции между ними:

 – таким образом, корреляция между факторами весьма слабА и это очень хорошо. А логика здесь простА – если факторы сильно коррелированы (что называют мультиколлинеарностью), то один из них просто не имеет смысла включать в модель.

И, во-вторых, для линейной модели должны выполняться условия Гаусса-Маркова. Проверка этих условий – это отдельная большая тема, требующая местами кропотливых вычислений. Если у вас серьёзное исследование, то изучИте её более подробно (например, с помощью рекомендованной выше литературы) и воспользуйтесь специализированными статистическими программами. Ну а мы будем решать задачу в учебном режиме (по принципу «дано задание – нужно решить») и рассмотрим саму технику вычислений.

Коэффициенты уравнения регрессии   найдём методом наименьших квадратов – как решение системы:

Заполним расчётную таблицу, в нижней строке «подобьём» суммы:

Таким образом, получаем систему:

Систему решим по формулам Крамера, определители рассчитаем с помощью функции =МОПРЕД(выделяем область три на три) приложения MS Excel.

Вычислим главный определитель системы:
, значит, система имеет единственное решение.

В результате, искомое уравнение регрессии:

Полученное уравнение показывает, что с ростом оборота оборотных средств на 1 оборот (при неизменной трудоёмкости) прибыль увеличивается в среднем на 22,044 млн. руб., а с увеличением трудоемкости продаж на 1 чел. / млн. руб. (при неизменном обороте) – прибыль уменьшается в среднем на 3,9084 млн. руб.

Как видите, сделанный вывод аналогичен выводу, который мы сделали для уравнения линейной регрессии с одним фактором. И многие показатели также будут похожи, в том числе и методика их быстрого расчёта – самое время посмотреть кино:

  Как быстро найти уравнение множественной регрессии? (Ютуб)

Вы без труда сможете повторить все действия!  – открываем экселевский файл и решаем! Достаточно будет «черновых» расчётов, не таких красивых, как в видео. А у кого совсем нет времени и / или желания оформлять задание, есть калькулятор, который не только автоматически выполняет расчёты, но и ставит нужные выводы!

Вычислим коэффициент множественной корреляции  – он показывает силу совокупного влияния факторов  на результат . Технически это можно реализовать несколькими способами.

Чаще всего для расчёта использует найденные выше пАрные коэффициенты корреляции: 
, сведённые в симметричную матрицу :

И коэффициент множественной корреляции можно рассчитать по формуле:
, где  – определитель матрицы парных коэффициентов линейной корреляции, а  – определитель её факторной  части (без «игрековой» строки и столбца). Это общая формула (не только для двух, но и для бОльшего количества факторов).

В нашей задаче:

! Здесь и далее я буду местами пренебрегать знаком .

В результате:
 – таким образом, прибыль предприятий очень сильно зависит от предложенных в задаче факторов.

Здесь используем ту же шкалу Чеддока с той поправкой, что коэффициент множественной корреляции принимает значения  и не показывает направление зависимости (ибо факторы могут оказывать разнонаправленное действие, как в нашем случае):

Если фактора два, то формулу можно выразить в более человеческом виде:)
 – именно такой вариант употребим в массовой практике.

Вычислим коэффициент множественной детерминации:

 – таким образом, в рамках построенной модели 93,3% вариации прибыли обусловлено числом оборотов оборотных средств и показателем трудоёмкости продаж. Остальные  вариации объясняются факторами, не учтёнными в модели.

Коэффициент множественной детерминации также можно вычислить другим, более содержательным способом, о котором я рассказал на уроке Однофакторная регрессия. Здесь подход такой же:
, где  – общая сумма квадратов, а  – остаточная сумма квадратов.

Найдём среднее значение признака-результата  млн. руб. и заполним расчётную таблицу:

Таким образом, , в результате чего получаем тот же результат:

, с тем же выводом. Ну а для желающих понять или освежить в памяти смысл выполненных действий, ещё раз приведу ссылку на урок об однофакторной регрессии. Только сейчас случай двухфакторный, с тем же принципиальным подходом.

Вычислим частные коэффициенты корреляции. Что это такое, и чем они отличаются от парных коэффициентов ? Дело в том, что любой фактор опосредованно включает в себя (как правило) влияние других факторов, и это учитывается в парных коэффициентах. И в рамках модели множественной регрессии целесообразно исключить такое влияние, чтобы оценить «чистый» вклад каждого фактора в результат. Что и выражается частными коэффициентами корреляции

«Очистим» 1-й фактор от влияния 2-го:
 – таким образом, при устранении влияния трудоёмкости продаж чистая прибыль предприятий очень сильно зависит от числа оборотов оборотных средств.

И, наоборот, «очистим» 2-й фактор от опосредованного влияния 1-го:
 таким образом, при устранении влияния фактора оборотов оборотных средств чистая прибыль предприятий сильно зависит от трудоёмкости продаж.

Кроме того, можно найти частные коэффициенты детерминации и сделать вывод об «очищенном»  процентном вкладе каждого фактора в результат.

Но повторюсь в который раз, что все эти выводы делаются в рамках построенной модели и не являются какой-то «абсолютной истиной».

Вернёмся к полученному уравнению регрессии  и посмотрим на его коэффициенты при факторных переменных. Как мы видим, коэффициент  по модулю больше коэффициента , но это ещё не значит, что 1-й фактор оказывает бОльшее влияние на результат, чем 2-й фактор. Это лишь номинальные значения. Истинная же весомость факторов рассчитывается с помощью относительных показателей коэффициентов средней эластичности и бета-коэффициентов, о смысле которых я рассказал ещё в начальной школе. Здесь всё аналогично.

Для расчёта этих и некоторых других показателей нам потребуется найти средние значения признаков:
 
и их исправленные стандартные отклонения:

Отклонения можно рассчитать подробно (см. по ссылке выше), я же использовал экселевскую функцию =СТАНДОТКЛОН(массив значений выборки), которая возвращается исправленные стандартные отклонения; в новой версии Экселя эта функция модифицирована: =СТАНДОТКЛОН.В(массив значений выборки).

Вычислим коэффициенты средней эластичности:

 – таким образом, при увеличении оборотов оборотных средств на 1% (при неизменной трудоёмкости продаж) чистая прибыль увеличивается в среднем на 1,6%.

 – таким образом, при увеличении трудоёмкости продаж на 1% (при неизменных оборотах) чистая прибыль уменьшается в среднем на 0,6%.

И как мы видим, прибыль действительно более чувствительна к изменению 1-го фактора, однако всё же не настолько, насколько можно было подумать, глядя на коэффициенты .

Вычислим бета-коэффициенты:

 –  таким образом, при увеличении оборотов оборотных средств на одно стандартное отклонение (при неизменной трудоёмкости продаж) чистая прибыль увеличивается примерно  на 0,69 своего стандартного отклонения.

 – таким образом, при увеличении трудоёмкости продаж на одно стандартное отклонение (при неизменных оборотах) чистая прибыль уменьшается примерно на 0,46 своего стандартного отклонения.

Что ещё раз подтверждает бОльшую весомость 1-го фактора.

Проверим значимость коэффициентов уравнения регрессии на уровне значимости При этом рассмотрим лишь ключевые факторные коэффициенты .

Алгоритм такой же, как и в однофакторной модели. Но сначала повторим краткую суть предстоящих действий. Дело в том, что уравнение  получено по результатам выборки. Но существует генеральная совокупность торговых предприятий региона и генеральное уравнение . И возникает вопрос, насколько полученные выборочные значения  далеки от истинных значений ? Насколько можно доверять выборочным результатам? (тем более выборка малА). Для проверки статистической значимости полученных значений используем аппарат статистических гипотез.

1) Проверим значимость коэффициента . Рассмотрим нулевую гипотезу  – о том, что соответствующий коэффициент генерального уравнения  равен нулю. По существу, это означает, что полученный выборочный результат  обусловлен случайностью (малой выборкой, в частности) и на самом деле чистая прибыль не зависит от количества оборотов оборотных средств.

В качестве конкурирующей рассмотрим  – гипотезу о том, что линейная корреляционная зависимость прибыли от оборотов существует.

Для проверки гипотезы  на уровне значимости  используем статистический критерий , где  – значение выборочного коэффициента при 1-й факторной переменной, а  – его  стандартная ошибка. Случайная величина  имеет распределение Стьюдента с количеством степеней свободы , где  – количество факторов модели. Их у нас два, а посему .

Для уровня значимости  и количества степеней свободы  по соответствующей таблице либо с помощью Экселя (пункт 10в) находим критическое значение двусторонней области .

Найдём наблюдаемое значение критерия . Если оно попадёт в «красную» область ( либо ), то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной; если же , то оснований отвергать нулевую гипотезу на данном уровне значимости – нет.

Вычислим стандартную ошибку коэффициента, учитывая, что нас -факторная модель:

Наблюдаемое значение критерия:
 – поэтому на уровне значимости  гипотезу   отвергаем в пользу конкурирующей гипотезы .

Вывод: коэффициент  статистически значимо отличен от нуля, и полученное значение вряд ли объяснимо случайными факторами.

2) Аналогично проверяем статистическую значимость коэффициента , гипотезу  против конкурирующей гипотезы .

Вычислим стандартную ошибку 2-го коэффициента:

и наблюдаемое значение критерия:
 – поэтому на уровне значимости  гипотезу  отвергаем в пользу конкурирующей гипотезы .

Вывод: коэффициент  статистически значим.

Определим соответствующие доверительные интервалы.

Для первого коэффициента:

 (млн. руб.)  – таким образом, с доверительной вероятностью   данный интервал накроет истинное значение генерального коэффициента .

И аналогично для второго коэффициента:

 (млн. руб.) – таким образом, с доверительной вероятностью   данный интервал накроет истинное значение генерального коэффициента

Интервалы получились грубые, конечно, ибо выборка малА.

Проверим статистическую значимость всего выборочного уравнения регрессии .  Этот вопрос эквивалентен вопросу о проверке значимости выборочного коэффициента множественной детерминации .

Рассмотрим гипотезу  – о том, что генеральный коэффициент множественной детерминации равен нулю, иными словами факторы модели вообще никак не влияют на прибыль компаний. И альтернативное утверждение  гласит о том, что такое влияние есть.

Для проверки гипотезы используем статистический критерий , где  – значение выборочного коэффициента множественной детерминации (которое от исследования к исследованию случайно), а  – количество факторных (причинных) переменных. В нашей модели фактора два: , поэтому критерий принимает вид . Эта случайная величина имеет распределение Фишера (-распределение) с количеством степеней свободы .

Для того же уровня значимости  и количества степеней свободы  по соответствующей таблице или с помощью расчётного макета (пункт 12) определяем критическое значение критерия:

Теперь вычислим наблюдаемое значение критерия. Если окажется что  (красная область) то гипотезу  на уровне значимости  отвергаем; если же , то отвергать её – оснований нет:

В нашей задаче:
 – таким образом, на уровне значимости  гипотезу  отвергаем в пользу конкурирующей гипотезы .

Вывод: коэффициент множественной детерминации  статистически значим, а значит, статистически значимо и уравнение .

И немного лирики, спрогнозируем среднеожидаемую прибыль предприятия при  оборотах и трудоёмкости  чел. / 1 млн.:

 млн. руб.

В заключение урока краткая информация о том, как рассчитать модель множественной регрессии с бОльшим количеством факторов. Пусть признак-результат зависит, например, от трёх показателей . На первом шаге нужно составить симметричную матрицу парных коэффициентов линейной корреляции:

Важнейшим условием качества модели является слабая попарная коррелированность факторов (достаточно близкие к нулю значения ). В серьёзных исследованиях, кроме того, следует проверить условия Гаусса-Маркова, но это большая и обстоятельная тема, которую я оставил за кадром.

Коэффициенты регрессии   находим как решение системы:

СравнИте её с системой двухфакторной модели и уловИте закономерность в коэффициентах. Да, столбцов в расчётной таблице будет побольше, но всё подъёмно, тестовые расчёты у меня заняли порядка 15 минут.

Коэффициент множественной детерминации удобно рассчитать по формуле:
, где  – определитель матрицы коэффициентов парной корреляции (см. выше), а  – определитель её факторной части (без последней строки и столбца).

Следует сказать, что у этого коэффициента есть недостаток. Дело в том, что при включении в модель любых дополнительных факторов, в том числе малозначимых или вовсе посторонних, значение  безвариантно возрастёт. И поэтому для контроля ситуации рассчитывают скорректированный коэффициент множественной детерминации:

, где  – количество факторов модели.

Теперь при добавлении явно «плохого» фактора, значение  даже уменьшится. Одним из критериев качества модели является тот факт, что значения  достаточно близки к единице и не сильно отличаются друг от друга.

Для коэффициентов частной корреляции тоже есть свои формулы, но них я не останавливаюсь, как на второстепенных. А с коэффициентами эластичности и бета-коэффициентами проблем вообще никаких – просто добавляется дополнительный коэффициент:

Вывод по каждому коэффициенту делается с оговоркой, что два других фактора неизменны.

Аналогичная ситуация в проверке значимости коэффициентов, просто проверяется ещё 3-й коэффициент.

И на посошок всё-таки общие формулы для линейной модели с «эм» факторами , корреляционная матрица:

и система линейных уравнений в матричной форме:

…вроде нигде не ошибся, перепроверьте!

И я вас поздравляю! И себя тоже. Курс математической статистики на МатПрофи завершён. У него была непростая судьба – по разным обстоятельствам его создание растянулось на несколько лет. Но это свершилось, и мы здесь…. И я вам желаю всегда доводить важные дела до конца. Всего наилучшего!

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?




© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено