Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Двумерная непрерывная случайная величина.
Функция распределения вероятностей и функция плотности

В предыдущих двух статьях (ссылки по тексту) мы рассмотрели двумерную дискретную случайную величину , в том числе с зависимыми компонентами , и теперь перейдём к двумерной непрерывной СВ. Задач запланировано немало, и поэтому сразу начинаем.

По аналогии с одномерным случаем, для системы случайных величин тоже вводится понятие функции распределения вероятностей, она определяется как  – вероятность того, что случайная величина  примет значение мЕньшее, чем  и  – мЕньшее, чем , при этом переменные  «пробегают» все действительные значения от «минус» до «плюс» бесконечности. Откуда следует, что данная функция  удовлетворяет неравенству , является неубывающей по каждому аргументу и обладает предельными свойствами . Таким образом, и в содержательном и в математическом смысле это пространственный аналог одномерной функции распределения вероятностей.

…всем всё понятно?  … – на сайте есть всё для понимания! (ссылки в помощь). Впрочем, люди здесь собрались подготовленные («чайникам» эту тему не предлагают), и поэтому я не буду стесняться в выражениях :) И юмор тоже будет изощрённым.

Если система  состоит из дискретных случайных величин, то  представляет собой кусочную функцию двух переменных с графиком-«лестницей» в пространственной системе координат . Будете первопроходцами ;) (Пример 7)

Если же компоненты  – непрерывны, то  непрерывна в любой точке плоскости  и её график представляет собой кусочно-гладкую или даже полностью гладкую поверхность, пожалуйста: .

Проверим, что для этой функции выполняются все свойства функции распределения. Так как арктангенс (смотрим или вспоминаем график) – есть возрастающая функция, то с увеличением «икс» и / или «игрек» наша функция тоже будет возрастать. Учитывая предельные значения , легко убедиться, что:
 – вероятностный смысл этого результата состоит в том, что случайная величина  достоверно примет одно из значений  с конечными «координатами».

, а также:

здесь смысл тоже прост – СВ не может принять значение с «иксом» и / или «игреком», который бы был меньше, чем «минус бесконечность».

И из вышесказанного следует, что данная функция может принимать значения только из промежутка .

Кроме того, функция распределения обладает ещё одним свойством. Если мы устремим  к , то получим:
 – не что иное, как функцию распределения вероятностей случайной величины , которая рассматривается отдельно, без случайной величины .

И «зеркальный» случай. Если , то:
 – получается функция распределения случайной величины  без учёта компоненты .

Здесь  получились одинаковыми, но в общем случае они, конечно, различны.

Едем дальше:

Помимо функции , для двумерной непрерывной СВ вводится понятие функции плотности распределения вероятностей, которая определяется как смешанная производная 2-го порядка от функции распределения:

График этой функции называют поверхностью распределения, и в силу свойства  данная поверхность «висит» над координатной плоскостью .

Найдём плотность распределения в нашем демонстрационном примере. Для этого сначала возьмём частную производную, например, по «икс»:

и затем дифференцируем полученный результат по «игрек», получая тем самым смешанную производную 2-го порядка:

Аналогично одномерному случаю, для функции плотности справедлив следующий факт:
, который означает, что в результате испытания случайная величина  достоверно примет одно из своих возможных значений .

Если все возможные пары  образуют ограниченную область  (как оно часто бывает), то свойство выражается через обычный двойной интеграл по этой области:

…будём проверять свойство для нашего примера? :) Ну, конечно, будем, двойной несобственный интеграл здесь очень прост:

Сначала вычислим внутренний несобственный интеграл. Ввиду чётности подынтегральной функции, интервал интегрирования удобно споловинить, а результат удвоить:
 – подставляем во внешний интеграл:
, что и требовалось проверить.

Следует заметить, что самого по себе выполнения свойства  ещё не достаточно для того, чтобы произвольная функция  задавала плотность распределения. Всегда проверяйте, что она неотрицательна, в нашем случае – положительна:
 – для ЛЮБЫХ «икс», «игрек».

Обратно: как получить функцию , если известна плотность ?
По стандартной формуле:

В качестве разминки найдите  – двойной несобственный интеграл с бесконечными нижними пределами и получИте исходную функцию распределения. Одномерный аналог этой задачи рассмотрен в Примере 6 статьи Непрерывная случайная величина.

После чего разберём более содержательное задание, узнаем новые формулы и порисуем заодно:

Пример 6

Непрерывная двумерная случайная величина  распределена равномерно в прямоугольнике с вершинами . Требуется:

1) Составить функцию плотности распределения  случайной величины  и плотности распределений  составляющих  и .

2) Найти функцию распределения вероятностей .

3) Вычислить

Построить графики .

Решение: из условия следует, что случайная величина  с равной вероятностью может принять любое значение из области , которая ограничена прямоугольником :

По сути, перед нами двумерная версия равномерного распределения вероятностей, и для нахождения её плотности проще всего разделить единицу на площадь области . Очевидно, что эта площадь равна  и искомая функция плотности:

Сразу изобразим график, его сподручнее построить от руки:

Здесь я символически очертил всю плоскость , дабы указать, что функция  определена в любой её точке. Убедимся, что мы действительно составили функцию плотности, для этого нужно проверить её характеристическое свойство:

, что и требовалось проверить.
Легко видеть, что двойной интеграл  численно равен объёму цилиндрического бруса, в данном случае – параллелепипеда с основанием  и высотой

Составим плотности распределения  случайных величин  и . Для этого есть специальные формулы:
 и  при иных значениях .

Примечание: поскольку компонента  принимает значения лишь из промежутка от 1 до 3, то .

И «зеркальные» выкладки:

Проверим, что полученные функции действительно являются одномерными плотностями распределения вероятностей:

2) Составим функцию распределения  – вероятностей того, что компонента  примет значение СТРОГО меньшее, чем  и  – СТРОГО меньшее, чем , при этом нам нужно учесть все значения переменных  – от «минус» до «плюс» бесконечности.

Так как двумерная СВ может принимать значения лишь из прямоугольника , то при   или  функция распределения будет равна нулю: , на чертеже ниже я заштриховал эту площадь серым цветом (логическая связка «или» подразумевает выполнение хотя бы одного неравенства). Наоборот, при  событие  – будет достоверным (зелёная штриховка). Теперь восстановим функцию распределения в центральной области:
 – в результате получено уравнение гиперболического параболоида («седла») с вершиной в точке , чертёж этой поверхности можно найти в начале статьи об экстремумах ФНП.
Примечание: вне прямоугольника интеграл  равен нулю, и поэтому мы сразу перешли к левой нижней точке: .

И осталось прояснить ситуацию с областями, отмеченными красной и малиновой галочками:

В области  (красный цвет) событие  является достоверным, и поэтому функция  упрощается до функции распределения по компоненте :
 – и не пренебрегаем элементарной проверкой:

В области  (малиновый цвет) достоверным становится событие  и поэтому:
, контроль:

В обоих случаях получены уравнения плоскостей, и я рад представить вам свой небольшой шедевр:

…надо было заснять на веб камеру, глядишь, станет классикой постиндустриальной живописи :)

Таким образом, функция распределения вероятностей:

Обратите внимание, что в нашей задаче справедливо равенство , и это означает, что... скоро узнАем!

3) Вычислим  – вероятность того, что случайная величина примет значение из указанной в скобках области. Это можно сделать двумя способами, по формуле:

в нашем случае:

Примечание: данная формула справедлива как для строгих, так и для нестрогих неравенств в различных комбинациях – в силу непрерывности функции , это не имеет значения. Но обратите внимание, что значения «икс», «игрек» следует подставлять в нужный «кусок» функции распределения, так, например, при нахождении  не следует проводить вычисления .

Второй способ состоит в нахождении двойного интеграла от функции плотности по соответствующей области:

Вероятность  вычислим по той же формуле (см. выше), принимая во внимание предельные значения :

или так:

И, наконец:
– по той причине, что этому условию удовлетворяют все точки прямоугольника  за исключением нижней стороны , но с позиций геометрии её площадь равна нулю, и поэтому данный факт не принимается во внимание. О подобном парадоксе я уже рассказывал, когда мы изучали функцию распределения одномерной случайной величины.

В этой связи, кстати, задача с открытой областью  будет решаться аналогично, с той поправкой, что придётся скорректировать строгость неравенств при записи функции плотности распределения.

Возможно, у вас возник вопрос: а почему я не разобрал построение функции распределения для двумерной дискретной СВ? Дело в том, что даже в простых случаях у такой функции получается 10-20 кусков, и поэтому такое задание, как правило, не предлагают для решения. Впрочем, в очень простом случае кусков будет всего 5, и я-то предложу вам маленькую факультативную задачку:

Пример 7

Двумерная дискретная случайная величина  задана таблично:

Составить функцию распределения.

Эта СВ взята из демонстрационного примера статьи о зависимых случайных величинах, и если вам совсем трудно, то вспомните её содержательный смысл. Краткое решение совсем близко. Желающие могут построить график, и если он получился удачно – присылайте, опубликую!

И задача для закрепления материала:

Пример 8

Непрерывная двумерная случайная величина  задана своей функцией распределения   в квадрате  и принимает значения только из этой области. Найти:

1) значение параметра  ;

2) функцию плотности распределения и проверить, что она является таковой;

3) плотности составляющих , выполнить аналогичную проверку;

4) вероятности .

Таблица значений тригонометрических функций в помощь. И на всякий случай таблица производных и интегралов, …ну а кому сейчас легко? :) …я и сам как-то опрометчиво предположил, что решение пункта 4 легче провести через интегралы, но оно оказалось явно не легче :) Поэтому, всегда анализируйте, какой способ выгоднее.

Стараемся всё решить самостоятельно – не подглядываем!

Жду вас в заключительной части темы, где мы поговорим о независимости и зависимости двумерной непрерывной случайной величины, её условных законах распределения, математических ожиданиях, дисперсиях и коэффициентах ковариации, корреляции.

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте