Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену


  Карта сайта



Локальная и интегральная теоремы Лапласа


Данная статья является естественным продолжением урока о независимых испытаниях, на котором мы познакомились с формулой Бернулли и отработали типовые примеры по теме. Локальная и интегральная теоремы Лапласа (Муавра-Лапласа) решают аналогичную задачу с тем отличием, что они применимы к достаточно большому количеству независимых испытаний. Не нужно тушеваться слов «локальная», «интегральная», «теоремы» – материал осваивается с той же лёгкостью, с какой Лаплас потрепал кучерявую голову Наполеона. Поэтому безо всяких комплексов и предварительных замечаний сразу же рассмотрим демонстрационный пример:

Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет 200 раз.

По характерным признакам здесь следует применить формулу Бернулли . Вспомним смысл этих букв:

 – вероятность того, что в  независимых испытаниях случайное событие  наступит ровно  раз;
 – биномиальный коэффициент;
 – вероятность появления события  в каждом испытании;
 – вероятность противоположного события.

Применительно к нашей задаче:
 – общее количество испытаний;
 – количество бросков, в которых должен выпасть орёл;
 – вероятность выпадения орла в каждом броске;
 – вероятность выпадения решки.

Таким образом, вероятность того, что в результате 400 бросков монеты орёл выпадет ровно 200 раз:  …Стоп, что делать дальше? Микрокалькулятор (по крайне мере, мой) не справился с 400-й степенью и капитулировал перед факториалами. А считать через произведение что-то не захотелось =) Воспользуемся стандартной функцией Экселя, которая сумела обработать монстра: .

Заостряю ваше внимание, что получено точное значение и такое решение вроде бы идеально. На первый взгляд. Перечислим веские контраргументы:

– во-первых, программного обеспечения может не оказаться под рукой;
– и во-вторых, решение будет смотреться нестандартно (с немалой вероятностью придётся перерешивать);

Поэтому, уважаемые читатели, в ближайшем будущем нас ждёт:


Локальная теорема Лапласа

Если вероятность  появления случайного события  в каждом испытании постоянна, то вероятность  того, что в  испытаниях событие  наступит ровно  раз, приближённо равна:
 , где .

При этом, чем больше , тем рассчитанная вероятность  будет лучше приближать точное значению , полученное (хотя бы гипотетически) по формуле Бернулли. Рекомендуемое минимальное количество  испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат  может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность  ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность при значениях , близких к нулю либо единице. По этой причине ещё одним критерием эффективного использования формулы  является выполнение неравенства  ().

Так, например, если , то  и применение теоремы Лапласа для 50 испытаний оправдано. Но если  и , то  и приближение  (к точному значению ) будет плохим.

О том, почему  и об особенной функции   мы поговорим на уроке о нормальном распределении вероятностей, а пока нам потребуется формально-вычислительная сторона вопроса. В частности, важным фактом является чётность этой функции: .

Оформим официальные отношения с нашим примером:

Задача 1

Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно:

а) 200 раз;
б) 225 раз.

С чего начать решение? Сначала распишем известные величины, чтобы они были перед глазами:

 – общее количество независимых испытаний;
 – вероятность выпадения орла в каждом броске;
 – вероятность выпадения решки.

а) Найдём вероятность того, что в серии из 400 бросков орёл выпадет ровно  раз. Ввиду большого количества испытаний используем локальную теорему Лапласа: , где .

На первом шаге вычислим требуемое значение аргумента:


Далее находим соответствующее значение функции: . Это можно сделать несколькими способами. В первую очередь, конечно же, напрашиваются непосредственные вычисления:

Округление проводят, как правило, до 4 знаков после запятой.

Недостаток прямого вычисления состоит в том, что экспоненту переваривает далеко не каждый микрокалькулятор, кроме того, расчёты не особо приятны и отнимают время. Зачем так мучиться? Используйте калькулятор по терверу (пункт 4) и получайте значения  моментально!

Кроме того, существует таблица значений функции , которая есть практически в любой книге по теории вероятностей, в частности, в учебном пособии В.Е. Гмурмана. Закачайте, кто ещё не закачал – там вообще много полезного ;-) И обязательно научитесь пользовать таблицей (прямо сейчас!) – подходящей вычислительной техники всегда может не оказаться под рукой!

На заключительном этапе применим формулу :
 – вероятность того, что при 400 бросках монеты орёл выпадет ровно 200 раз.

Как видите, полученный результат очень близок к точному значению , вычисленному по формуле Бернулли.

б) Найдём вероятность того, что в серии из 400 испытаний орёл выпадет ровно  раз. Используем локальную теорему Лапласа. Раз, два, три – и готово:

 – искомая вероятность.

Ответ:

Следующий пример, как многие догадались, посвящён деторождению – и это вам для самостоятельного решения :)

Задача 2

Вероятность рождения мальчика равна 0,52. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется ровно: а) 40 мальчиков, б) 50 мальчиков, в) 30 девочек.

Результаты округлить до 4 знаков после запятой.

…Интересно тут звучит словосочетание «независимые испытания» =) Кстати, реальная статистическая вероятность рождения мальчика во многих регионах мира колеблется в пределах от 0,51 до 0,52.

Примерный образец оформления задачи в конце урока.

Все заметили, что числа получаются достаточно малыми, и это не должно вводить в заблуждение – ведь речь идёт о вероятностях отдельно взятых, локальных значениях (отсюда и название теоремы). А таковых значений много, и, образно говоря, вероятности «должно хватить на всех». Правда, многие события будут практически невозможными.

Поясню вышесказанное на примере с монетами: в серии из четырёхсот испытаний орёл теоретически может выпасть от 0 до 400 раз, и данные события образуют полную группу:

Однако бОльшая часть этих значений представляет собой сущий мизер, так, например, вероятность того, что орёл выпадет 250 раз – уже одна десятимиллионная: . О значениях наподобие  тактично умолчим =)

С другой стороны, не следует недооценивать и скромные результаты: если  составляет всего около , то вероятность того, орёл выпадет, скажем, от 220 до 250 раз, будет весьма заметна.

А теперь задумаемся: как вычислить данную вероятность? Не считать же по теореме сложения вероятностей несовместных событий сумму:

Гораздо проще эти значения объединить. А объединение чего-либо, как вы знаете, называется интегрированием:


Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность  появления случайного события  в каждом испытании постоянна, то вероятность  того, что в  испытаниях событие  наступит не менее  и не более  раз (от  до  раз включительно), приближённо равна:

, где

При этом количество испытаний, разумеется, тоже должно быть достаточно большим и вероятность  не слишком мала/велика (ориентировочно ), иначе приближение будет неважным либо плохим. 

Функция называется функцией Лапласа, и её значения опять же сведены в стандартную таблицу (найдите и научитесь с ней работать!!). Микрокалькулятор здесь не поможет, поскольку интеграл является неберущимся. Но вот в Экселе есть соответствующий функционал – используйте пункт 5 расчётного макета.

На практике наиболее часто встречаются следующие значения:
 – перепишите к себе в тетрадь.
Начиная с , можно считать, что , или, если записать строже:

Кроме того, функция Лапласа нечётна: , и данное свойство активно эксплуатируется в задачах, которые нас уже заждались:

Задача 3

Вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80 раз.

Я подобрал наиболее реалистичный пример, а то у меня тут нашлось несколько задач, в которых стрелок делает тысячи выстрелов =)

Решение: в данной задаче речь идёт о повторных независимых испытаниях, причём их количество достаточно велико. По условию требуется найти вероятность того, что мишень будет поражена не менее 65, но и не более 80 раз, а значит, нужно использовать интегральную теорему Лапласа: , где

Для удобства перепишем исходные данные в столбик:
 – всего выстрелов;
 – минимальное число попаданий;
 – максимальное число попаданий;
 – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле;
 – вероятность промаха при каждом выстреле.

, следовательно, теорема Лапласа даст хорошее приближение.

Вычислим значения аргументов:

Обращаю ваше внимание, что произведение  вовсе не обязано нацело извлекаться из-под корня (как любят «подгонять» числа авторы задач) – без тени сомнения извлекаем корень и округляем результат; я привык оставлять 4 знака после запятой. А вот полученные значения  обычно округляют до 2 знаков после запятой – эта традиция идёт из таблицы значений функции , где аргументы представлены именно в таком виде.

Используем указанную выше таблицу либо расчётный макет по терверу (пункт 5).
В качестве письменного комментария советую поставить следующую фразу: значения функции  найдём по соответствующей таблице:

– вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80 раз.

Обязательно пользуемся нечётностью функции! На всякий случай распишу подробно:

Дело в том, что таблица значений функции  содержит только положительные «икс», а мы работаем (по крайне мере, по «легенде») с таблицей!

Ответ:

Результат чаще всего округляют до 4 знаков после запятой (опять же в соответствии с форматом таблицы).

Для самостоятельного решения:

Задача 4

В здании имеется 2500 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что вечером будет включено не менее 1250 и не более 1275 ламп.

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Следует отметить, что рассматриваемые задачи очень часто встречаются в «обезличенном» виде, например:

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие  может появиться с вероятностью 0,5. Опыт повторяется в неизменных условиях 2500 раз. Определить вероятность того, что в 2500 опытах событие произойдет от 1250 до 1275 раз

И подобных формулировок выше крыши. По причине трафаретности задач условие нередко стремятся завуалировать – это «единственный шанс» хоть как-то разнообразить и усложнить решение:

Задача 5

В институте обучается 1000 студентов. В столовой имеется 105 посадочных мест. Каждый студент отправляется в столовую на большой перемене с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что в обычный учебный день:

а) столовая будет заполнена не более чем на две трети;
б) посадочных мест на всех не хватит.

Обращаю внимание на существенную оговорку «в ОБЫЧНЫЙ учебный день» – она обеспечивает относительную неизменность ситуации. После праздников в институт может прийти значительно меньше студентов, а на «День открытых дверей» нагрянуть голодная делегация =) То есть, в «необычный» день вероятности будут заметно отличаться.

Решение: используем интегральную теорему Лапласа , где

В данной задаче:
 – всего студентов в институте;
 – вероятность того, что студент отправится в столовую на большой перемене;
 – вероятность противоположного события.

а) Вычислим, сколько посадочных мест составляют две трети от общего количества:  мест

Найдём вероятность того, что в обычный учебный день столовая будет заполнена не более чем на две трети. Что это значит? Это значит, что на большой перемене придут от 0 до 70 человек. То, что никто не придёт или придут всего несколько студентов – есть события практически невозможные, однако в целях применения интегральной теоремы Лапласа эти вероятности все равно следует учесть. Таким образом:

Вычислим соответствующие аргументы:

В результате:

 – вероятность того, что в обычный учебный день столовая будет заполнена не более чем на две трети.

Напоминание: при  функцию Лапласа считаем равной .

Толкучка, однако =)

б) Событие «Посадочных мест на всех не хватит» состоит в том, что в столовую на большой перемене придут обедать от 106 до 1000 человек (главное, хорошо уплотнить =)). Понятно, что высокая посещаемость невероятна, но тем не менее: .

Рассчитываем аргументы:

Таким образом, вероятность того, что посадочных мест на всех не хватит:

Ответ:

А теперь остановимся на одном важном нюансе метода: когда мы проводим вычисления на отдельно взятом отрезке, то всё «безоблачно» – решайте по рассмотренному шаблону. Однако в случае рассмотрения полной группы событий следует проявить определённую аккуратность. Поясню этот момент на примере только что разобранной задачи. В пункте «бэ» мы нашли вероятность  – того, что посадочных мест на всех не хватит. Далее, по той же самой схеме рассчитаем:
 – вероятность того, что мест хватит.

Поскольку эти события противоположны, то сумма вероятностей должна равняться единице:

?! В чём дело? – вроде бы тут всё логично. Дело в том, что функция Лапласа является непрерывной, а мы не учли интервал от 105 до 106. Вот здесь то и пропал кусочек 0,0338. Поэтому по той же самой стандартной формуле следует вычислить:

Ну, или ещё проще:

Возникает вопрос: а что, если мы СНАЧАЛА нашли ? Тогда будет другая версия решения:

Но как так может быть?! – в двух способах получаются разные ответы! Всё просто: интегральная теорема Лапласа – это метод приближённого вычисления, и поэтому приемлемы оба пути.

Для более точных расчётов следует воспользоваться формулой Бернулли и, например, экселевской функцией БИНОМРАСП. В результате её применения получаем:

И я выражаю благодарность одному из посетителей сайта, который обратил внимание на эту тонкость – она выпала из моего поля зрения, так как исследование полной группы событий редко встречается на практике. Желающие могут ознакомиться с содержательной дискуссией по этому поводу.

Заключительный пример для самостоятельного решения:

Задача 6

В обычный учебный день вероятность присутствия студента на лекции равна 0,8. Найти вероятность того, что из 100 студентов на лекции будут присутствовать:

а) 85-90%;
б) половина студентов;
в) не менее 72 студентов.

Постарайтесь не пропускать задание ;-) Краткое решение и ответ совсем близко.

Здесь, несмотря на оговорку, все равно не всё гладко: известно, что процент прогулов у юношей заметно отличается от аналогичного показателя у девушек, поэтому усреднённая оценка несколько некорректна. Задачу следовало бы сформулировать для кадетского корпуса либо Института благородных девиц =) Неожиданно, но юноши, скорее всего, посещают занятия лучше =)

Вспомнилась, к слову, коварная задачка: вероятно ли встретить на улице 100 мужчин подряд? Запросто! Если навстречу прошагает рота солдат. Многие думают, что шансы встретить мужчину либо женщину составляют примерно 50 на 50 и даже встреча подряд десяти прохожих одного пола крайне маловероятна. Но почти все забывают об условии равновозможности событий. Так, например, если за углом находится отделение полиции или швейная фабрика, то встреча мужчины/женщины будет совсем не равновозможной.

Подобные моменты нужно обязательно учитывать в своих статистических исследованиях, которые бывают у каждого из нас хотя бы на бытовом уровне =)

Удачных поворотов!

Решения и ответы:

Задача 2: Решение: по условию:
 – всего новорожденных;
 – вероятность рождения мальчика. Тогда:
 – вероятность рождения девочки.
Используем локальную теорему Лапласа :
а)

Примечание: «икс» обычно округляют до 2 знаков после запятой.


Примечание: на практике часто пользуются стандартной таблицей значений функции , где даны только положительные значения «икс», поэтому при оформлении решения «минус» всегда  лучше «убрать» (ввиду чётности функции).
 – вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 40 мальчиков.

б)

 – вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 мальчиков.

в)

 – вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 30 девочек.

Ответ:

Задача 4: Решение: используем интегральную теорему Лапласа: , где:
,  – функция Лапласа.
В данной задаче:
 – всего ламп в здании;
 – минимальное количество одновременно включенных ламп;
 – максимальное количество одновременно включенных ламп;
 – вероятность того, что лампа включена (для каждой из ламп);
 –  вероятность противоположного события.
Вычислим аргументы:

Значения функции  найдём по соответствующей таблице:
 – вероятность того, что вечером будет включено не менее 1250 и не более 1275 ламп.
Ответ:

Задача 6: Решение: в данной задаче:
 – всего студентов;
 – вероятность присутствия студента на лекции;
 – вероятность отсутствия студента на лекции.

а) Найдём количество студентов, соответствующее 85 и 90 процентам:

Для контроля дальнейших вычислений используйте полностью автоматизированную программу >>> Это бонус для самых терпеливых читателей!
Используем интегральную теорему Лапласа:
;
В данном случае:

Таким образом:
 – вероятность того, что на лекции будут присутствовать 85-90% от 100 студентов.

б) Используем локальную теорему Лапласа:
, где
В данном случае

 – вероятность того, что на лекции будет присутствовать половина студентов (событие практически невозможно).

в) Используем интегральную теорему Лапласа: .

В результате:  – вероятность того, что на лекции будут присутствовать не менее 72 студентов.

Ответ:

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено