Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>


Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?
Повторяем школьный курс

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Как найти рациональные корни
многочлена? Схема Горнера

Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать сходимость
несобственного интеграла?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

ТФКП для начинающих
Как построить область
на комплексной плоскости?

Линии на С. Параметрически
заданные линии

Отображение линий и областей
с помощью функции w=f(z)

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Статистические оценки
и доверительные интервалы

Оценка вероятности
биномиального распределения

Оценки по повторной
и бесповторной выборке

Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона

Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия

Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?

Уравнение линейной регрессии
Проверка значимости линейной
корреляционной модели

Модель пАрной регрессии.
Индекс детерминации

Нелинейная регрессия. Виды и
примеры решений

Коэффициент ранговой
корреляции Спирмена

Коэф-т корреляции Фехнера
Уравнение множественной
линейной регрессии

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом



  Карта сайта


25. Коэффициент корреляции Фехнера


Изучим ещё один подход к оценке корреляционной связи, который предложил немецкий психолог Г. Фехнер и превзошёл в простоте своего коллегу, англичанина Ч. Спирмена. Коэффициент корреляции Фехнера тоже является ранговым коэффициентом, но в отличие от коэффициента Спирмена использует лишь два ранга: «да-нет», «больше / меньше среднего». Поэтому заварим булки, расслабим цикорий и посмотрим, как кошки помогают налаживать жизни людей:

– Среди  семейных пар, живущих долго и счастливо, был проведён опрос: «Как вы относитесь к кошке в доме?». ДопустИмы лишь два ответа: положительный либо отрицательный; нейтральная позиция засчитывается положительно («ничего не имею против»). В результате исследования выяснилось, что в  парах мнения супругов совпадают, а в  парах – нет (т. е. кто-то «за», а кто-то «против»).

В результате появляется возможность оценить корреляционную зависимость семейного счастья от согласия по этому вопросу. Вычислим коэффициент корреляции Фехнера, по формуле:

…В большинстве источников приведены именно такие буквенные обозначения, и я не буду отступать от мейнстрима.

Коэффициент корреляции Фехнера (как и линейный и коэффициент Спирмена) изменяется в тех же пределах  и интерпретируется по той же шкале:

при этом если , то корреляционная связь обратная, а если , то прямая.

Таким образом, можно сделать вывод, что кошки здесь особо ни при чём :) А вот успеваемость, вероятнее всего, имеет значение – вернёмся к нашему подопытному примеру:

Пример 80

Имеются выборочные данные по  студентам:  – количество прогулов за некоторый период времени и  – суммарная успеваемость за этот период:

Найти коэффициент корреляции Фехнера, сделать вывод.

Решение: в отличие от шуточной вводной задачи, здесь у нас даны количественные показатели, и для расчёта коэффициента корреляции Фехнера выполняем следующие действия. Сначала найдём среднее количество прогулов:


после чего каждому значению  присваиваем свой ранг:
– если  больше либо равно , то ставим «плюс»;
– и если  меньше, чем , то «минус».

Аналогично находим:
 – среднюю успеваемость и каждому значению  присваиваем ранг по тому же принципу:
– если , то «плюс»;
– если , то «минус».

Решение удобно оформлять таблицей:

Теперь в каждой паре  нужно  сравнить ранги: если знаки совпадают, то ставим единичку (правый столбец), а если не совпадают – то ноль.

В чём логика такого ранжирования и сравнения? Если студент прогуливает меньше среднего , то по идее, его успеваемость должна быть выше средней . И наоборот, если гуляет больше  – то и успевает хуже . И, как мы видим, всё так и есть, за исключение уникума под номером пять, который и прогуливает больше среднего  и успевает выше среднего  (правда, ненамного).

Осталось подсчитать количество совпадений (впрочем, считать тут нечего): , количество несовпадений:  и вычислить коэффициент корреляции Фехнера:

, таким образом, существует сильная обратная корреляционная зависимость суммарной успеваемости  от количества прогулов . И это подтвердилось уже в 3-й раз: линейная корреляция дала результат , а ранговая Спирмена.

…И возможно, некоторые читатели до сих пор не до конца понимают, что такое корреляционная зависимость. Навёрстываем упущение! – об этом понятии речь зашла ещё в статье Аналитической группировка.

Коэффициент корреляции Фехнера также называют коэффициентом корреляции знаков. И характеризует он степень согласованности отклонений соответствующих значений   относительно своих средних . …Переварили фразу? :) …Молодцы!

Задачу легко решить вручную (если объём совокупности невелик) или опять же в MS Excel, и я даже запилил небольшой ролик на эту тему:

Следующее задание для самостоятельного решения, по социологии:

Пример 82

По результатам выборочного исследования 10 сотрудников организации получены следующие данные:

Высказать предположение о наличии и направлении корреляционной зависимости размера заработной платы от уровня IQ. Вычислить коэффициент корреляции Фехнера между показателями, сделать выводы.

Все числа в экселевском файле – решаем! И не заморачивайтесь такой ерундой, как IQ.

Как я уже отмечал, коэффициент Фехнера особо уместен, когда в исследовании есть гипотеза о сопоставлении показателей по принципу «да / нет», «больше / меньше среднего». Но существуют и «противопоказания». Так, если среди эмпирических данных есть числа, сильно отличающиеся от средних значений, то подход Фехнера становится непригоден. Это характерно для многих нелинейных зависимостей. Поэтому будьте начеку!

И в заключение урока, да и почти всего курса ещё раз хочу порекомендовать статистику для ваших исследований в других областях – экономике, социологии, психологии, медицине и т. д.

Ну а теперь выходим на финишную прямую:

Модель множественной регрессии

Решения и ответы:

Пример 81. Решение: чем выше IQ сотрудников, тем больше может быть их средняя заработная плата. Таким образом, предполагаем наличие прямой («чем больше, тем больше») корреляционной зависимости заработной платы от уровня IQ.

Вычислим средние значения признаков:
 – средний IQ;
 ден. ед. – средняя з/п.

Каждому значению  присвоим ранг: «+», если  и «–», если . Аналогично присвоим ранги значениям :

Сравним ранги в каждой паре  (правый столбец) и подсчитаем количество совпадений: . Найдём количество несовпадений:

Вычислим коэффициент корреляции Фехнера:
, таким образом, существует заметная прямая корреляционная зависимость заработной платы от IQ, что подтверждает выдвинутое предположение.

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?




© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено