Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах, кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости. Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.

Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:

Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.

Обозначения: плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве. Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.

В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .

Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например,  и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.

Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа:

• Общее уравнение плоскости
• Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам?
• Как составить уравнение плоскости по трём точкам?
• Нормальный вектор плоскости
• Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
• Как построить плоскость, параллельную данной?
• Как найти расстояние от точки до плоскости?
• Взаимное расположение плоскостей:
• Совпадающие плоскости
• Параллельные плоскости
• Расстояние между параллельными плоскостями
• Пересекающиеся плоскости
• Угол между плоскостями

и мы не будем томиться долгими ожиданиями:

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты  одновременно не равны нулю.

Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.

А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.

В самом общем случае, когда числа  не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:

Проведённый обзор полезен не только в аналитической геометрии, но и для решения ряда задач математического анализа.

Как составить уравнение плоскости?

Конструировать уравнение плоскости будем с помощью векторов и точек. Их должно быть как можно меньше, но достаточно, чтобы однозначно определить плоскость. Одним словом, красивая математическая лаконичность. Математика – царица наук, не стерва, но строгА. А уж насколько доступна, во многом зависит от вашего к ней отношения =)

Казалось бы, плоскость можно определить с помощью двух неколлинеарных векторов. Но векторы свободны и бродят по всему пространству, поэтому ещё нужна фиксированная точка.

Как составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам?

Рассмотрим точку  и два неколлинеарных вектора . Уравнение плоскости, которая проходит через точку  параллельно векторам , выражается формулой:

! Примечание: под выражением «вектор параллелен плоскости» подразумевается, что вектор можно отложить и в самой плоскости. Для наглядности я буду откладывать векторы прямо в плоскости.

Принципиально ситуация выглядит так:

Обратите внимание, что точка и два коллинеарных вектора не определят плоскость однозначно (векторы будут свободно «вертеться» вокруг точки и зададут бесконечно много плоскостей).

Пример 1

Составить уравнение плоскости по точке  и векторам .

Решение: Составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам:

Определитель удобнее всего раскрыть по первому столбцу:

Раскрываем определители второго порядка:

На первом месте у нас находится знак «минус». Хорошим тоном считается убрать наглеца, в этих целях меняем знак у каждого слагаемого. Проводим дальнейшие упрощения и получаем уравнение плоскости:

Сократить здесь ничего нельзя, поэтому:

Ответ:

…числа, конечно, страшноваты получились для первого примера =) …но переделывать, пожалуй, не буду, на практике большие числа – вещь распространённая.

Как проверить задание? Для проверки пока не хватает информации, но я обязательно выполню её чуть позже.

Пример 2

Составить уравнение плоскости по точке  и двум неколлинеарным векторам .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Иногда может потребоваться решить обратную задачу – по известному уравнению плоскости найти параллельные ей векторы. Кстати, сколько параллельных векторов существует у плоскости? Бесконечно много. Однако нельзя объять необъятное, поэтому «вытащим» из уравнения плоскости три таких вектора:

Пусть плоскость задана общим уравнением . Тогда векторы  будут параллельны данной плоскости (а, значит, компланарны), и любые два из них – линейно независимы. Так, в Примере № 1 мы составили уравнение плоскости . Построенной плоскости будут параллельны следующие векторы: . Если честно, не припомню, чтобы приходилось этим пользоваться, тем не менее, справка не лишняя.

Итак, «конструкция» из двух  неколлинеарных векторов и точки однозначно определяет плоскость. Но существует более очевидный способ, о котором упоминалось выше, и он громким стуком в дверь уже давно просится на урок. Три точки. Дёшево и сердито.

Как составить уравнение плоскости по трём точкам?

Любые ли три точки пространства задают плоскость? Нет. Во-первых, точки должны быть различными. А во-вторых, они не должны лежать на одной прямой (сразу все три).

Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки , которые не лежат на одной прямой, можно составить по формуле:

На самом деле это разновидность предыдущего способа, смотрим на картинку:

Если известны три различные точки, не лежащие на одной прямой, то легко найти два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости:

То есть, наша формула фактически совпадает с формулой предыдущего параграфа. Многие уже заметили явную аналогию с материалами статьи Уравнение прямой на плоскости. Закономерности будут сохраняться и дальше!

Чтобы не умереть от скуки, предлагаю раскрутить примеры-шарады:

Пример 3

Составить уравнение плоскости по точкам .

Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам. Используем формулу:

Вот теперь и аналитически видно, что всё дело свелось к координатам двух векторов. Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:

Больше ничего упростить нельзя, записываем:

Ответ:

Проверка напрашивается сама собой – в полученное уравнение плоскости нужно подставить координаты каждой точки. Если хотя бы одна из трёх точек «не подойдёт», ищите ошибку.

Для «мёртвого» зачёта всегда выполняйте проверку мысленно или на черновике!!!

Пример 4

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки  и начало координат.

Это пример для самостоятельного решения. Ещё раз присмотримся к формуле . В каждом столбце определителя встречаются координаты точки , и это можно с выгодой использовать. В предложенной задаче даны три точки: , начало координат. В качестве точки  можно выбрать любую из трёх точек. Подумайте, как рациональнее оформить решение! Да, и постарайтесь, не пропускать это задание, в самом конце решения увидите важный технический нюанс ;-)

Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)

Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов. Но для решения задач нам будет хватать и одного.

Если плоскость задана общим уравнением , то вектор   является вектором нормали данной плоскости. Просто до безобразия. Всё, что нужно сделать – это «снять» коэффициенты из уравнения плоскости.

Обещанного три экрана ждут, вернёмся к Примеру № 1 и выполним его проверку. Напоминаю, что там требовалось построить уравнение плоскости по точке  и двум векторам . В результате решения мы получили уравнение . Проверяем:

Во-первых, подставим координаты точки  в полученное уравнение:

Получено верное равенство, значит, точка  действительно лежит в данной плоскости.

Во-вторых, из уравнения плоскости снимаем вектор нормали: . Поскольку векторы  параллельны плоскости, а вектор  перпендикулярен плоскости, то должны иметь место следующие факты: . Перпендикулярность векторов легко проверить с помощью скалярного произведения:

Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

В ходе проверки я фактически процитировал следующее утверждение теории: вектор  параллелен плоскости  в том и только том случае, когда .

Решим важную задачу, которая имеет отношение и к уроку Скалярное произведение векторов: 

Пример 5

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение: Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы  коллинеарны:

Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора  разделить на длину вектора .

Перепишем вектор нормали в виде  и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ:

Проверка: , что и требовалось проверить.

Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока Скалярное произведение векторов, наверное, заметили, что координаты единичного вектора  – это в точности направляющие косинусы вектора :
 

Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор, и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.

Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.

С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.

Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору  , выражается формулой:

Выглядит значительно привлекательнее, чем предыдущие мытарства. В некоторых задачах аналитической геометрии уравнение плоскости можно составить несколькими способами, и решение через точку и нормальный вектор – самое оптимальное.

Пример 6

Составить уравнение плоскости по точке  и вектору нормали .

Решение: Используем формулу:

Ответ:

Проверка выполняется очень легко:

1) Из полученного уравнения  снимаем вектор нормали:  – всё хорошо, полученный вектор совпал с вектором из условия (в ряде случаев может получиться коллинеарный вектор).

2) Подставим координаты точки  в уравнение плоскости:

Верное равенство, значит, точка  принадлежит данной плоскости.

Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

Пример настолько прозрачен, что хочется немного завуалировать условие:

Пример 7

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно оси .

Это пример для самостоятельного решения. Просто, но со вкусом.

Перейдём к более содержательным примерам. Типовая задача:

Как построить плоскость, параллельную данной?

Пример 8

Построить плоскость, проходящую через точку  параллельно плоскости .

Решение: Обозначим известную плоскость через . По условию требуется найти плоскость , которая параллельна плоскости  и проходит через точку .

Выполним схематический чертёж, который поможет быстрее разобраться в условии и понять алгоритм решения:

У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали. Добавить нечего =) Осталось оформить мат в два хода:

1) Из уравнения  найдём вектор нормали плоскости: .

2) Уравнение плоскости  составим по точке  и вектору нормали :

Ответ:

Как выполнить проверку, я уже рассказал.

Продолжаем раскидывать стог сена пространственной геометрии:

Как найти расстояние от точки до плоскости?

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из точки  к данной плоскости:

Формула очень похожа на формулу «плоской» геометрии расстояния от точки до прямой (см. Пример № 8 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости).

Расстояние от точки  до плоскости  выражается формулой

При желании или надобности можно найти и точку , но для этого нужно разобраться с уравнениями прямой в пространстве и посетить урок Основные задачи на прямую и плоскость.

Пример 9

Найти расстояние от точки  до плоскости

Решение: анализировать тут нечего, главное, не допустить ошибку в вычислениях:

Ответ:

Такое даже для самостоятельного решения неловко предлагать.

Заключительный раздел урока будет посвящен взаимному расположению плоскостей. Мы уже немного поговорили о параллельных плоскостях, и сейчас продолжим тему:

Взаимное расположение плоскостей

Для практики наиболее важна информация о взаимном расположении двух плоскостей, но и о трёх плоскостях также будет краткая справка.

Рассмотрим две плоскости пространства, заданные общими уравнениями:

Они могут:

1) совпадать;

2) быть параллельными: ;

3) пересекаться по некоторой прямой «эль»: .

Всё очень и очень похоже на взаимное расположение прямых на плоскости (урок Простейшие задачи с прямой на плоскости).

Совпадающие плоскости

Две плоскости совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим плоскости  и составим систему:

Из каждого уравнения системы следует, что . Таким образом, система совместна и плоскости  совпадают.

Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных  пропорциональны: , но .

На практике очень часто первые три коэффициента банально совпадают (). Посмотрим, например, на уравнения параллельных плоскостей из Примера № 8:

Комментарии, думаю, излишни, всё прекрасно видно. Но на всякий случай выполню формальную проверку, вдруг кому потребуется. Составим систему:

Из первых трёх уравнений следует, что , а из четвёртого уравнения следует, что , значит, система несовместна. Но коэффициенты при переменных   пропорциональны, следовательно, плоскости параллельны.

Задача о нахождении параллельной плоскости уже была, поэтому решим что-нибудь новое:

Как найти расстояние между плоскостями?

Расстояние между двумя параллельными плоскостями  выражается формулой:

Координаты точек  нам неизвестны, да их и не нужно знать, поскольку перпендикуляр между плоскостями можно протянуть в любом месте.

Найдём расстояние между параллельными плоскостями Примера № 8:

Пример 10

Найти расстояние между параллельными плоскостями .

Решение: Используем формулу:


Ответ:

У многих наверняка возник вопрос: вот у этих плоскостей  – первые три коэффициенты одинаковы, но это же не всегда так! Да, не всегда.

Пример 11

Найти расстояние между параллельными плоскостями

Проверим пропорциональность коэффициентов: , но , значит, плоскости действительно параллельны. Первые три коэффициента пропорциональны, но не совпадают. Однако формула-то  предусмотрена для совпадающих коэффициентов!

Есть два пути решения:

1) Найдём какую-нибудь точку, принадлежащую любой из плоскостей. Например, рассмотрим плоскость . Чтобы найти точку, проще всего обнулить две координаты. Обнулим «икс» и «зет», тогда: .

Таким образом, точка  принадлежит данной плоскости. Теперь можно использовать формулу расстояния от точки до плоскости , рассмотренную в предыдущем разделе.

2) Второй способ связан с небольшим трюком, который нужно применить, чтобы таки использовать формулу ! Это пример для самостоятельного решения.

Пересекающиеся плоскости

Третий, самый распространённый случай, когда две плоскости пересекаются по некоторой прямой :

Две плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных  НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Сразу отмечу важный факт: Если плоскости  пересекаются, то система линейных уравнений  задаёт прямую в пространстве. Но о ней позже.

В качестве примера рассмотрим плоскости . Составим систему для соответствующих коэффициентов:

Из первых двух уравнений следует, что , но из третьего уравнения следует, что , значит, система несовместна, и плоскости пересекаются.

Проверку можно выполнить «по пижонски» одной строкой:

Параллельные плоскости мы уже разобрали, теперь поговорим о перпендикулярных плоскостях. Очевидно, что к любой плоскости можно провести бесконечно много перпендикулярных плоскостей, а для того, чтобы зафиксировать конкретную перпендикулярную плоскость, нужно задать две точки:

Пример 12

Дана плоскость . Построить плоскость , перпендикулярную данной и проходящую через точки .

Решение: Начинаем анализировать условие. Что мы знаем о плоскости ? Известны две точки. Можно найти вектор , параллельный данной плоскости. Но этого мало, нужен ещё один. Так как плоскости должны быть перпендикулярны, то вторым вектором следует взять нормальный вектор плоскости .

Проводить подобные рассуждения здОрово помогает схематический чертёж:

Для лучшего понимания задачи отложите вектор нормали  от точки  в плоскости .

Кстати, теперь чётко видно, почему одна точка не определит перпендикулярную плоскость – вокруг единственной точки будет «вращаться» бесконечно много перпендикулярных плоскостей. Так же нас не устроит и единственный вектор (без всяких точек). Вектор является свободным и «наштампует» нам бесконечно много перпендикулярных плоскостей (которые, к слову, будут параллельны между собой). В этой связи минимальную жёсткую конструкцию обеспечивают две точки.

Задача разобрана, решаем:

1) Найдём вектор .

2) Из уравнения  снимем вектор нормали: .

3) Уравнение плоскости  составим по точке  (можно было взять и ) и двум неколлинеарным векторам :

Ответ:

Проверка состоит из двух этапов:

1) Проверяем, действительно ли плоскости будут перпендикулярны. Если две плоскости перпендикулярны, то их векторы нормали будут ортогональны. Логично. Из полученного уравнения  снимаем вектор нормали  и рассчитываем скалярное произведение векторов:

Таким образом,

2) В уравнение плоскости  подставляем координаты точек . Обе точки должны «подойти».

И первый, и второй пункт можно выполнить устно.

Перейдём к заключительной задаче урока:

Как найти угол между плоскостями?

Две пересекающиеся плоскости  образуют четыре двухгранных угла и любой из этих углов называют углом между плоскостями.

Обозначим угол между плоскостями через :

Наклон плоскости однозначно определяется её вектором нормали, поэтому угол между плоскостями можно найти через угол между нормальными векторами данных плоскостей. А угол между векторами рассчитывается с помощью обыденной формулы, рассмотренной на уроке Скалярное произведение векторов:

Распишем формулу в коэффициентах:

Обратите внимание, что формула может дать и тупой угол, например, 150 градусов. Такой ответ не будет страшной ошибкой, но за угол между плоскостями, как правило, принимают острый угол, поэтому концовку задания лучше дополнить расчётом «традиционного» угла: 180 – 150 =30 градусов.

Задачка поинтереснее:

Пример 13

Найти угол между плоскостями

Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока.

Что-то не хочется мне вас сегодня отпускать… наверное, хорошо себя вели и активно работали на уроке =) Придётся рассказать что-нибудь ещё.

Взаимное расположение трёх плоскостей

Три плоскости могут располагаться в пространстве 8 способами, если интересуют все случаи, пожалуйста, посмотрите в книге Атанасяна-Базылева или в Интернете, видел вроде в Википедии, точно уже не помню.

Самый известный случай взаимного расположения трёх плоскостей – плоскости пересекаются в одной точке. Живой пример находится совсем недалеко от вас. Посмотрите вверх – в угол комнаты, где пересекаются две стены и потолок. Пессимисты могут посмотреть вниз.

Аналитически данному случаю соответствует система линейных уравнений , которая имеет единственное решение.

Ничего не напоминает? Вот, оказывается, где прячется метод Крамера… – в углу вашей комнаты!

На следующем уроке мы изучим Прямые в пространстве.

Спасибо за работу, домашнего задания не будет!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте