Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>


Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?
Повторяем школьный курс

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Как найти рациональные корни
многочлена? Схема Горнера

Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать сходимость
несобственного интеграла?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

ТФКП для начинающих
Как построить область
на комплексной плоскости?

Линии на С. Параметрически
заданные линии

Отображение линий и областей
с помощью функции w=f(z)

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Статистические оценки
и доверительные интервалы

Оценка вероятности
биномиального распределения

Оценки по повторной
и бесповторной выборке

Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона

Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия

Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?

Уравнение линейной регрессии
Проверка значимости линейной
корреляционной модели

Модель пАрной регрессии.
Индекс детерминации

Нелинейная регрессия. Виды и
примеры решений

Коэффициент ранговой
корреляции Спирмена

Коэф-т корреляции Фехнера
Уравнение множественной
линейной регрессии

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом



  Карта сайта


Как отобразить линию и область с помощью комплексной функции?

Минуту ещё, мой ветер не стих,
Мне нравится здесь, в королевстве кривых (с)


Для начала расшифруем заголовок :) Вспоминаем определение с первого урока:

функцией комплексной переменной называют правило (закон) , по которому каждому допустимому комплексному значению  ставится в соответствие одно или бОльшее количество значений .

Так, функция  каждому комплексному «зет» ставит в соответствие одно значение «дубльвэ». К примеру, число  по правилу  превращается в число . Геометрически это выглядит так:

И наша сегодняшняя задача состоит в том, чтобы научиться отображать с помощью функций не отдельно взятые точки, а целые линии и более того – области. Напоминаю, что линию можно задать уравнением  (как вариант, функцией ), присоединив к исходной комплексной плоскости (слева) декартову систему координат . Также в ходу параметрическое задание линии: , а-ка .

Пример 1

С помощью функции  отобразить линии:

а) , б) , в) , г) , д) , …пожалуй, достаточно.

Решение: а) Отобразим прямую , то бишь ось  с декартовым уравнением . Когда прямая параллельна координатным осям либо задаёт саму ось, удобно использовать прямое рассуждение. Так как , то , и коль скоро , то имеем функцию .

Таким образом, действительные значения «икс» (точки оси ) переходят в действительные значения  – точки действительной оси . При этом имеет место несоответствие значений, так, если , то .  Но, так или иначе, функция  отображает ось  в ось .

Как вариант (может даже лучший), ось  можно записать в параметрической форме:  и подставив эти уравнения в :
 – получаем функцию в параметрическом виде.

При изменении параметра «тэ» от  «минус» до «плюс» бесконечности точки оси  непрерывно отображаются в точки  оси .

б) При отображении прямой  (оси ) рассуждения «зеркальны»: поскольку , то:
 – в результате значения «игрек» (точки оси ) переходят во множество комплексных чисел с одинаковой действительной частью. А именно, это числа, лежащие на прямой , параллельной оси  (синяя линия на чертеже ниже).

Таким образом, ось  отображается в прямую  плоскости .

Как вариант, можно использовать параметрическое уравнение оси , получив функцию в виде  с тем же самым выводом.

То были простые случаи, теперь общее правило. Чтобы отобразить линию  плоскости  на плоскость  с помощью функции , нужно составить и решить следующую систему:

, где  – действительная часть функции , а  – её мнимая часть. Это рабочие формулы (1), пожалуйста, перепишите их к себе на листок.

Алгоритм решения состоит в том, чтобы исключить из этих уравнений «икс» и «игрек» и связать между собой переменные «у» и «вэ», получив линию  на плоскости .

Действительная и мнимая часть функции  уже найдены:


и осталось перекоцать линии, предложенные в условии:

в) Отобразим с помощью функции  прямую . Составим соответствующую систему:

Решение начинают с последнего уравнения – тут у нас готовенький «игрек» , который мы подставляем во 2-е уравнение:
 – теперь из 1-го уравнения выражаем «икс»:  – и подставляем его в то же 2-е уравнение:

Таким образом, прямая  отобразилась в прямую  (зелёный цвет на чертеже ниже). Прямую  строим привычным образом в декартовой системе координат , где роль независимой переменной играет , а роль зависимой – .

г) Отобразим каноническую параболу :

«Разворачиваем» последнее уравнение:  и подставляем в 1-е:

Из 2-го уравнения выражаем  – подставляем в 1-е:

Таким образом, парабола  отобразилась в параболу  (оранжевый  цвет на чертеже ниже).

д) И, наконец, отобразим единичную окружность  с известным декартовым уравнением:

Плясать начинаем от третьего уравнения, и тут есть выбор: выразить «икс» через «игрек» либо наоборот. При прочих равных выражать лучше то, чтобы выгоднее была подстановка. Привлекательней выглядит подстановка во 2-е уравнение, а посему выражаем «игрек»   и подставляем его в оное:
, после чего 2-е уравнение удобно сразу возвести в квадрат:

Теперь нужно исключить переменную «икс», для этого из 1-го уравнения выразим:
 – подставляем во 2-е уравнение:

 – окружность с центром в точке  , радиуса 2.

Таким образом, окружность  отобразилась в окружность   (коричневый цвет на чертеже).

Решение можно упростить, рассмотрев параметрическое уравнение окружности :

В этом случае нужно составить систему  и, исключив параметр «тэ», получить то же уравнение  плоскости . Это рабочие формулы (2) для параметрически заданной линии , добавьте их в свой справочник.

В нашей задаче:
 – и уже здесь опытный глаз сможет определить тип линии. Уравнения  задают окружность радиуса 2 с центром в начале координат, но по первой координате у нас есть вычитание тройки, что означает сдвиг графика на 3 единицы влево.

Аналитически результат можно получить с помощью основного тригонометрического тождества , из которого выгоднее выразить синус  и подставить его во 2-е уравнение системы:

Далее по аналогии с первым способом решения возводим 2-е уравнение в квадрат:
, из 1-го уравнения выражаем косинус  и подставляем его во 2-е уравнение:
, получив тот же самый результат .

Ответ: а) ось , б) , в) , г) , д)

Скорее всего, у вас сложилось впечатление, что линия обязательно отображается в однотипную линию (прямая в прямую, окружность в окружность и т. д.). Разумеется, это не так. В общем случае комплексная функция  запросто отобразит линию – в линию другого типа, прямую в окружность, например, и это ещё самое обыкновенное чудо.

Следующие примеры для самостоятельного решения, классика жанра:

Пример 2

Отобразить линии 1) , 2)  (составить параметрические уравнения), 3)  с помощью функции .
и задание, я бы сказал, повышенной сложности:

Пример 3

Найти образы координатных осей  при отображении

Здесь удобно использовать параметрические уравнения. При отображении оси  следует иметь в виду, что точка  не входит в область определения функции. РассмотрИте два участка оси и проанализируйте, во что они отображаются при изменении параметра «тэ», продвинутые читатели могут использовать односторонние пределы, которые мы активно эксплуатировали при нахождении несобственных интегралов второго рода.

Решаем, сверяемся с образцом внизу страницы и переходим к отображению областей. В классической учебной задаче область ограничена несколькими линиями:

Пример 4

Отобразить область  с помощью функции :

Это всё из ваших контрольных работ, решаем: действительная и мнимая части данной функции уже найдены в Примере 2:  и на первом шаге напрашивается отобразить вершины области:

После чего выясняем, во что отобразятся куски границы:

1) Отрезок прямой  между точками  и .

Запишем параметрические уравнения этой прямой:  и подставим их в действительную и мнимую часть функции:
, при этом «тэ» у нас изменятся в пределах , ибо отрезок.
Теперь нужно исключить параметр. Из 2-го уравнения выражаем  и ещё сразу выразим «тэ»: . Подставим эти выражения в 1-е уравнение:

и избавимся от четырёхэтажности дроби:

возведём обе части в квадрат:

выделим полный квадрат:


Таким образом, отрезок  отобразился в дугу окружности с центром в точке  радиуса . Но в какую именно? Ведь точки  и  делят окружность на две дуги. Для прояснения этого вопроса смотрим на пределы изменения параметра , выбираем какое-нибудь промежуточное значение, проще всего взять , и подставляем его в параметрические уравнения  :
 – в результате получились координаты точки, которая лежит на меньшей дуге – её я обозначил красной линией (см. чертёж ниже).

Да, и, кстати, не лишним будет проверить, что координаты точек  удовлетворяют уравнению , а то вдруг мы вообще где-то ошиблись?

2) Отобразим отрезок прямой  между точками  и .

Алгоритм тот же самый. Записываем параметрические уравнения прямой:  и подставляем их в действительную и мнимую часть функции:
, при этом отрезку  соответствуют тот же диапазон .
Из 1-го уравнения выражаем  и  – подставляем во 2-е уравнение:

Возводим обе части в квадрат и допиливаем нашу белоснежку:

И уже тут лучше сразу устно проверить, что координаты точек  удовлетворяют полученному уравнению.
Таким образом, отрезок  отобразился в дугу окружности с центром в точке  радиуса . В какую именно дугу? Берём промежуточное значение параметра , подставляем его в систему выше и выясняем, что получена точка дуги, которую я провёл зелёным цветом (см. чертёж ниже).

3) И, наконец, третье отображение, его мы уже выполнили в Примере 3. Дуга окружности  между точками  и  отображается в дугу окружности   между точками  и  (устно проверяем, что координаты точек удовлетворяют уравнению).

Выясним, в какую именно дугу. Запишем параметрические уравнения окружности :  и подставим их в действительную и мнимую части функции:

Исходной дуге , очевидно, соответствуют следующие пределы изменения параметра: . Берём какое-нибудь промежуточное значение, например,  и подставляем его в систему выше:

 – в результате получились координаты точки, которая лежит именно на той дуге, которую я провёл синим цветом (справа):

Таким образом, функция  отобразила область  в область : Вот  такая вот птичка получилась.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Отобразить область   с помощью функции .

И после сверки переходим к мегапопулярной теме… – да, они самые!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: найдём действительную и мнимую часть функции  . Так как , то, домножая числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю число, получаем:

Таким образом:
 – действительная часть функции ;
 (не теряем «минус»!) – её мнимая часть.

1) Отобразим с помощью функции прямую . Составим и решим соответствующую систему:
 – подставим  в первые два уравнения:
 – из 1-го уравнения выразим  – подставим во 2-е уравнение и избавимся от трёхэтажности дроби:

Таким образом, прямая  плоскости  отображается в прямую  плоскости  (см. рис ниже).

2) Отобразим линию  – луч, исходящий из начала координат и делящий 2-ю координатную четверть пополам, при этом начало исключается, так как для него аргумент не определён. Данный луч лежит на прямой . Запишем её уравнение в параметрической форме: если , то  , таким образом: . При этом лучу  соответствуют следующие пределы изменения параметра : от 0 (не включая ноль)  до , то есть значения параметра убывают.

Запишем  действительную и мнимую часть функции в параметрической форме :
, при этом финальному значению  соответствует предельная точка  (начало координат) плоскости , а при  («тэ» стремится к нулю слева) действительная и мнимая части функции стремятся к «минус» бесконечности: . Выясним, вдоль какой линии это всё происходит. Из 1-го уравнения системы выразим  – подставим во 2-е уравнение:  – вдоль прямой .

Таким образом, при изменении параметра  от 0 (не включая ноль) до   биссектриса 2-й координатной четверти   отображается в биссектрису 3-й координатной четверти, проходимой от «минус» бесконечности до нуля (синие линии на чертеже ниже).

Примечание: при желании можно рассмотреть возрастающий параметр , и тогда лучи будут «отрисовываться» в противоположных направлениях.

3) Отобразим окружность , которой соответствует декартово уравнение . Запишем соответствующую систему:
 – подставим  – в первые два уравнения:
 и оба уравнения удобно сразу возвести в квадрат:.
Из уравения окружности выразим  – подставим в 1-е уравнение:
, откуда выразим «игрек квадрат»:

 – и подставим его во 2-е уравнение:

Таким образом, окружность  отобразилась в окружность  (коричневые линии на чертеже).<>

<
Ответ: 1) , 2) , 3) .

Пример 3. Решение: так как , то

а) Запишем параметрические уравнения оси  и подставим их в функцию:

1) Рассмотрим участок . Предельному значению  соответствует точка:
 – лежащая на оси .
А если мы приближаемся к единице слева, то .
Таким образом, участок оси  от  до  отображается в аналогичный участок оси , проходимый (внимание!) справа налево от  (не включая точку) до «минус» бесконечности.

2) Рассмотрим участок . Вблизи единицы справа ситуация такова:

Предельному значению  соответствует та же точка .
Таким образом, участок оси  от  до   отображается в аналогичный участок оси , проходимый справа налево от «плюс» бесконечности до точки   (точка исключается).

б) Запишем параметрические уравнения оси  и подставим их в функцию:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число:

Составим систему из действительно и мнимой частей функции:

Преобразуем первое уравнение:  и выразим из него:
 и, кроме того, ещё нужно выразить «тэ»:

Подставим  и  во 2-е уравнение системы:

сокращаем числитель и знаменатель на двойку и на :


и возводим обе части в квадрат:

Таким образом, ось  отобразилась в единичную окружность   плоскости .

Ответ: а) ось , проходимая от точки  до  и от  до той же точки (точка исключается), б) .

Пример 5. Решение: найдём действительную и мнимую часть функции . Так как , то:

Таким образом:

Область  ограничена дугой окружности  сверху и прямой  снизу (см. рис. ниже). Найдём координаты вершин области:  и отобразим их с помощью функции :

1) Отобразим отрезок . Запишем параметрические уравнения прямой   и подставим их в действительную и мнимую часть функции:
, при этом .
Из 2-го уравнения выразим  – подставим в 1-е уравнение:
 – парабола с вершиной в точке  и ветвями по направлению оси .
Таким образом, отрезок , очевидно, отобразился во фрагмент параболы  между точками  (проверяем, что координаты удовлетворяют уравнению).

2) Отобразим дугу  окружности . Запишем её параметрические уравнения:   и определим пределы изменения параметра. Точке  соответствует следующее значение тангенса: (можно заглянуть в тригонометрическую таблицу). И из соображений симметрии находим конечное значение параметра: . Таким образом, параметр изменяется в пределах .

 Подставим  в действительную и мнимую часть функции:

По известным формулам перейдём к двойному аргументу:
 – в результате получены параметрические уравнения окружности .

Таким образом, дуга  окружности  отобразилась в дугу  окружности  (проверяем, что координаты точек  удовлетворяют уравнению).

Выясним, в какую именно дугу. Берём какое-нибудь промежуточное значение из диапазона , напрашивается , и подставляем его в полученные параметрические уравнения :
 – в результате получены координаты точки, которая лежит на бОльшей (левой) дуге.

В результате область  отобразилась в Пакмэна:))

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?




© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено