![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Ряды для чайников. Примеры решенийВсех выживших приветствую на втором курсе! На этом уроке, а точнее, на серии уроков, мы научимся управляться с рядами. Тема не очень сложная, но для ее освоения потребуются знания с первого курса, в частности, необходимо понимать, что такое предел, и уметь находить простейшие пределы. Впрочем, ничего страшного, по ходу объяснений я буду давать соответствующие ссылки на нужные уроки. Некоторым читателям тема математических рядов, приемы решения, признаки, теоремы могут показаться своеобразными, и даже вычурными, нелепыми. В этом случае не нужно сильно «загружаться», принимаем факты такими, какими они есть, и просто учимся решать типовые, распространенные задания. Рекомендую следующий порядок изучения темы:1) Ряды для чайников, и для самоваров сразу содержание:)
2) Нахождение суммы ряда Далее плавно и гармонично переходим к изучению функциональных и степеннЫх рядов. Для сверхбыстрой подготовки по теме есть экспресс-курс в pdf формате, с помощью которого реально «поднять» практику буквально за день. Поехали: Понятие числового рядаВ общем виде числовой ряд можно записать так: В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто: Cлагаемые Пример 1 Записать первые три члена ряда Сначала Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ: Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности, Пример 2 Записать первые три члена ряда Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде: Пример 3 Записать первые три члена ряда На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: Иногда встречается обратное задание Пример 4 Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения: Пример 5 Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда Сходимость числовых рядовОдной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость. При этом возможны два случая: 1) Ряд 2) Ряд Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически. Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши, признак Лейбница и некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда ! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать, что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида Необходимый признак сходимости рядаЕсли ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: Обратное в общем случае неверно, т.е., если Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится Или короче: если Но гораздо чаще предел расходящегося ряда равен бесконечности, при этом в качестве «динамической» переменной вместо «икса» выступает Докажем, что ряд из первого примера Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях: Пример 6 Исследовать ряд на сходимость В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности Решаем:
Готово. Пример 7 Исследовать ряд на сходимость Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится. Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде Почему признак называется необходимым? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно. Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться! Знакомьтесь: Легко заметить, что Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда: Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов, и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:) Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости: Признаки сравнения для положительных числовых рядовЗаостряю ваше внимание, что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами). Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения. Сначала рассмотрим признак сравнения, а точнее, первую его часть: Рассмотрим два положительных числовых ряда Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами. На практике неравенство Пример 8 Исследовать ряд на сходимость Во-первых, проверяем (мысленно либо на черновике) выполнение необходимого признака сходимости: Внимание! Далее такая проверка будет подразумеваться по умолчанию, и далее я на этом не останавливаюсь! Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на старшую степень, находим похожий ряд: Для всех натуральных номеров а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби: Готово. Если у вас есть какие-то сомнения, то неравенство всегда можно расписать подробно! Распишем построенное неравенство для нескольких номеров «эн»: Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: ! Обратите внимание, что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения. Например, если ряд Пример 9 Исследовать ряд на сходимость И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения: Если известно, что ряд Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами. Что нужно сделать? Решение и образец оформления в конце урока. Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения, и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера. Предельный признак сравнения числовых положительных рядовРассмотрим два положительных числовых ряда Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Опционально многочлены могут находиться под корнями. Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения. Пример 10 Исследовать ряд на сходимость Сравним данный ряд со сходящимся рядом
Почему для сравнения был выбран именно ряд Примечание: когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: Предельный признак сравнения применим почти для всех рядов, которые мы рассмотрели в предыдущем пункте: Пример 11 Исследовать ряд на сходимость Это пример для самостоятельного решения. Что делать, если многочлены находятся и в знаменателе, и в числителе? Алгоритм решения почти такой же – нам нужно подобрать для сравнения подходящий ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда. Пример 12 Исследовать ряд на сходимость Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Подбираем ряд для сравнения 1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Об этом я уже рассказывал на уроке Методы решения пределов. Повторение – мать учения: мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего: 2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, что она равна единице. 3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1 Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом По мере накопления опыта решения эти три пункта можно и нужно проводить мысленно. Само оформление решения должно выглядеть примерно так: ” ” (1) Составляем отношение общих членов. Пример 13 Исследовать ряд на сходимость Это пример для самостоятельного решения. В недалёком будущем вы будете сразу видеть, сходится такой ряд или расходится. Например, рассмотрим ряд Вот, пожалуй, и все начальные сведения о положительных числовых рядах, которые потребуются вам при решении практических примеров. Следующий урок по теме числовых рядов – Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Примечание: обратите внимание, что переменная-«счётчик» в данном примере «заряжается» со значения Пример 5: Пример 7: Проверим выполнение необходимого признака сравнения: Пример 9: Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом Примечание: и здесь тоже есть неформальный смысл. Так как гармонический ряд расходится, то сумма его членов: Пример 11: Сравним данный ряд с расходящимся рядом Пример 13: Эти три пункта выполняем мысленно или на черновике: Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|