Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Ряды для чайников. Примеры решенийВсех выживших приветствую на втором курсе! На этом уроке, а точнее, на серии уроков, мы научимся управляться с рядами. Тема не очень сложная, но для ее освоения потребуются знания с первого курса, в частности, необходимо понимать, что такое предел, и уметь находить простейшие пределы. Впрочем, ничего страшного, по ходу объяснений я буду давать соответствующие ссылки на нужные уроки. Некоторым читателям тема математических рядов, приемы решения, признаки, теоремы могут показаться своеобразными, и даже вычурными, нелепыми. В этом случае не нужно сильно «загружаться», принимаем факты такими, какими они есть, и просто учимся решать типовые, распространенные задания. Рекомендую следующий порядок изучения темы:1) Ряды для чайников, и для самоваров сразу содержание:)
2) Нахождение суммы ряда Далее плавно и гармонично переходим к изучению функциональных и степеннЫх рядов. Для сверхбыстрой подготовки по теме есть экспресс-курс в pdf формате, с помощью которого реально «поднять» практику буквально за день. Поехали: Понятие числового рядаВ общем виде числовой ряд можно записать так: . В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто: Cлагаемые – это ЧИСЛА, которые называются членами ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю), то такой ряд называют положительным числовым рядом. Пример 1 Записать первые три члена ряда Сначала , тогда: Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ: Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности, Пример 2 Записать первые три члена ряда Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде: Пример 3 Записать первые три члена ряда На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге: Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: , , . Почему? Ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю. Иногда встречается обратное задание Пример 4 Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения: Пример 5 Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда Сходимость числовых рядовОдной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость. При этом возможны два случая: 1) Ряд расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: либо суммы вообще не существует, как, например, у ряда 2) Ряд сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . Пожалуйста: – этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного примера можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы: . Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: , где – первый член прогрессии, а – её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной дроби. В данном случае: , . Таким образом: Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать. Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически. Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши, признак Лейбница и некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. И очень скоро мы всё разложим по полочкам. ! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать, что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида . Для повторения или изучения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений. Необходимый признак сходимости рядаЕсли ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: . Обратное в общем случае неверно, т.е., если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда: Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится Или короче: если , то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела . Вот сразу и обосновали расходимость одного ряда :) Но гораздо чаще предел расходящегося ряда равен бесконечности, при этом в качестве «динамической» переменной вместо «икса» выступает . Освежим наши знания: пределы с «иксом» называют пределами функций, а пределы с переменной «эн» – пределами числовых последовательностей. Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей. Докажем, что ряд из первого примера расходится. Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях: Пример 6 Исследовать ряд на сходимость В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности в статье Пределы. Примеры решений, наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны, тогда предел равен конечному числу. Решаем:
Готово. Пример 7 Исследовать ряд на сходимость Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится. Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде или . Также расходятся ряды из примеров № 6, 7: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя. Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда. Почему признак называется необходимым? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно. Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться! Знакомьтесь: Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится. Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда: Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда или сходимость ряда . Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов, и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:) Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости: Признаки сравнения для положительных числовых рядовЗаостряю ваше внимание, что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами). Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения. Сначала рассмотрим признак сравнения, а точнее, первую его часть: Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно, что ряд – сходится, и, начиная с некоторого номера , выполнено неравенство , то ряд тоже сходится. Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами. На практике неравенство часто выполнено вообще для всех значений : Пример 8 Исследовать ряд на сходимость Во-первых, проверяем (мысленно либо на черновике) выполнение необходимого признака сходимости: Внимание! Далее такая проверка будет подразумеваться по умолчанию, и далее я на этом не останавливаюсь! Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на старшую степень, находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится. Для всех натуральных номеров справедливо очевидное неравенство: а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби: Готово. Если у вас есть какие-то сомнения, то неравенство всегда можно расписать подробно! Распишем построенное неравенство для нескольких номеров «эн»: Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму : . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности! Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: , , и т.д. ! Обратите внимание, что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения. Например, если ряд таким же образом сравнить со сходящимся рядом ( выпишите несколько неравенств для первых членов), то условие не будет выполняться вообще! Здесь можно извернуться и подобрать для сравнения другой сходящийся ряд, например, , но это повлечёт за собой лишние оговорки и другие ненужные трудности. Поэтому для доказательства сходимости ряда гораздо проще использовать предельный признак сравнения (см. следующий параграф). Пример 9 Исследовать ряд на сходимость И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения: Если известно, что ряд – расходится, и, начиная с некоторого номера (часто с самого первого), выполнено неравенство , то ряд тоже расходится. Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами. Что нужно сделать? Решение и образец оформления в конце урока. Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения, и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера. Предельный признак сравнения числовых положительных рядовРассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Опционально многочлены могут находиться под корнями. Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения. Пример 10 Исследовать ряд на сходимость Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.
Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать). Примечание: когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела. Предельный признак сравнения применим почти для всех рядов, которые мы рассмотрели в предыдущем пункте: Пример 11 Исследовать ряд на сходимость Это пример для самостоятельного решения. Что делать, если многочлены находятся и в знаменателе, и в числителе? Алгоритм решения почти такой же – нам нужно подобрать для сравнения подходящий ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда. Пример 12 Исследовать ряд на сходимость Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Подбираем ряд для сравнения . 1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Об этом я уже рассказывал на уроке Методы решения пределов. Повторение – мать учения: мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего: . Если есть константа, её тоже отбрасываем: . Теперь извлекаем корень: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна двум. 2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, что она равна единице. 3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1 Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом , то есть, с расходящимся гармоническим рядом. По мере накопления опыта решения эти три пункта можно и нужно проводить мысленно. Само оформление решения должно выглядеть примерно так: ” ” (1) Составляем отношение общих членов. Пример 13 Исследовать ряд на сходимость Это пример для самостоятельного решения. В недалёком будущем вы будете сразу видеть, сходится такой ряд или расходится. Например, рассмотрим ряд . Ага, 3 – 1 = 2, значит, ряд нужно сравнить со сходящимся рядом , и сразу можно сказать, что наш исследуемый ряд тоже сходится. Дело за малым – осталось аккуратно оформить стандартное рутинное решение. Вот, пожалуй, и все начальные сведения о положительных числовых рядах, которые потребуются вам при решении практических примеров. Следующий урок по теме числовых рядов – Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Примечание: обратите внимание, что переменная-«счётчик» в данном примере «заряжается» со значения Пример 5: Пример 7: Проверим выполнение необходимого признака сравнения: Пример 9: Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для любого номера выполнено неравенство , а меньшим знаменателям соответствуют бОльшие дроби: Примечание: и здесь тоже есть неформальный смысл. Так как гармонический ряд расходится, то сумма его членов: . Мы показали, что члены ряда ещё больше членов ряда , и совершенно понятно, что сумма ряда не может быть меньше бесконечности. Пример 11: Сравним данный ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения: Пример 13: Эти три пункта выполняем мысленно или на черновике: Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом . Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |