Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Области на комплексной плоскости

Ехали медведи, на велосипеде,
А за ними области, на комплексной плоскости.

После курса молодого ТФКП-ниста, рассмотрим материал, важный для изучения всего комплексного анализа. Сначала будет немного терминов и теории, затем практика, где мы научимся распознавать и строить различные области на комплексной плоскости.

И в первом же абзаце нам встретились строгие понятия. Комплексная плоскость – это геометрическое представление множества  комплексных чисел:

Если к множеству  присоединить бесконечно удалённую точку , то говорят о расширенной комплексной плоскости, которую иногда обозначают . Пожалуйста, различайте эти термины и виды плоскостей. 

Окрестностью точки  называют круг произвольного радиуса . При этом под кругом подразумевается открытый круг – без его границы (окружности). Внешняя часть этого круга (точки за пределами границы) образует окрестность бесконечно удалённой точки:

И вообще, под областью в комплексном анализе «по умолчанию» понимают, как правило, открытую область – без учёта её границы. Всегда имейте в виду этот факт.

Дадим строгие определения области и её границы.

Точку  называют внутренней точкой области , если существует её окрестность (пусть очень малая), такая, что ВСЕ точки этой окрестности принадлежат области . Область  – это множество её внутренних точек, причём, любые две точки этого множества можно соединить гладкой или кусочно-гладкой* линией, полностью состоящей из внутренних точек.

* Линию называют гладкой, если в любой её точке можно провести касательную (существует конечная производная). Кусочно-гладкая линия состоит из фрагментов («кусков») гладких линий, последовательно соединённых между собой, простейший пример – ломаная.

Из определения следует, что два непересекающихся круга (например) или даже два соприкасающихся круга – единой области не образуют. А вот следующее множество точек– да, для удобства область  я изобразил в 1-й координатной четверти:

…Рука почти не дрогнула, но до Рубенса, конечно, далековато :)

Точка  называется граничной точкой области, если в ЛЮБОЙ её окрестности есть точки КАК принадлежащие этой области, так и НЕ принадлежащие ей. Множество граничных точек области называют границей данной области. В данном примере это оранжевая линия  («гамма большое», можно просто «гэ»).

Под замкнутой областью понимают саму область + её границу, такую область обозначают с чёрточкой наверху: .

Точка  называется внешней точкой области , если существует её окрестность (пусть очень малая), ВСЕ точки которой НЕ принадлежат области .

Следует заметить, что линия  на рисунке выше делит комплексную плоскость на ДВЕ области: область  и её внешнюю часть, причём, обе области имеют одну и ту же границу. Обратите внимание, что точка  является внутренней точкой «внешней» области по определению.

И ещё одно важное понятие – связность области.

Комплексную область называют односвязной, если (вдумываемся!) ЛЮБАЯ замкнутая линия, лежащая внутри неё, содержит внутри себя лишь точки данной области. Или в эквивалентной топологической формулировке: если любую замкнутую линию, лежащую внутри области можно непрерывно стянуть в точку, не выходя за пределы этой области.

В частности, односвязна область, которая ограничена одной замкнутой линией без самопересечений. Пример такой области приведён на рисунке выше: какой бы замкнутый «путь» в области  мы ни выбрали, внутри него (соответствующей линии) – ВСЕ точки будут принадлежать области .

Но бывают и другие ситуации:

Здесь область  ограничена двумя замкнутыми линиями , которые не пересекаются, и такая область является двусвязной. В ней мы можем выбрать замкнутый маршрут, внутри которого далеко не все точки будут принадлежать области  (любой замкнутый путь вокруг ). При этом линия  может быть вырождена в дугу непрерывной линии или даже в единственную точку, не принадлежащую области .

Требование непересечения линий  – критично. Так, если  касается  в одной точке, то область становится односвязной. Если же касания два, то получатся две разные области.

Аналогично определяются трёх- четырёх- и так далее связные области. В частности, четырёхсвязная область имеет четыре непересекающиеся граничные линии. В примере ниже одна из таких линий представляет собой точку:

Грубо говоря, связность области можно определить по количеству внутренних «дырок»: у двусвязной области она одна, и трехсвязной – две, у четырёхсвязной – три и так далее.

С теорией уложились бодренько, теперь практика.

Как задать область на комплексной плоскости?

Можно графически (чем я только что занимался), но лучше – аналитически, с помощью неравенств. Начнём с простейших примеров:

Неравенству  соответствуют те комплексные числа, действительная часть которых больше нуля, поэтому оно определяет правую полуплоскость (штриховать уж не буду). Если неравенство нестрогое , то к области следует добавить ось . Соответственно, неравенство  задаёт левую полуплоскость, а  – её же вместе с мнимой осью.

Аналогично, неравенству  удовлетворяют те комплексные «зет», мнимая часть которых больше нуля, поэтому сие неравенство определяет верхнюю полуплоскость, а неравенство  – дополнительно ось . Неравенству  соответствует нижняя полуплоскость и неравенству  – она же вместе с действительной осью.

Рассмотрим более содержательные примеры:

Пример 1

Построить области, заданные неравенствами:

а) ;
б) .

Дополнительно обозначим оси привычным «иксом» и «игреком» и решаем.

а) Двойному неравенству  соответствуют те комплексные «зет», действительная часть которых не меньше «минус» единицы и меньше двух. Этому условию соответствуют все числа из полосы, ограниченной прямыми , при этом прямая  принадлежит искомой области (серая штриховка на рис. ниже).

б) Неравенству  удовлетворяют все числа, мнимая часть которых больше нуля и не больше . Соответствующая область представляет собой полосу между прямыми , при этом прямая  принадлежит области, а действительная ось – нет (голубой цвет):

При выполнении чертежа от руки во многих случаях оптимален следующий масштаб:
1 ед. = 2 тетрадные клетки (1 см).

Занятное задание для самостоятельного решения:

Пример 2

Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющее следующим условиям:

а) ;
б) .

Здесь в каждом пункте подразумевается одновременное выполнение обоих условий, и более точно их следует записать в форме системы: а) , б) . На практике вам может встретиться и тот и другой вариант.

Выполняем чертежи от руки (хотя бы схематически!), сверяемся с решением в конце урока и продолжаем:

Пример 3

Изобразить следующие области:

а) ;
б) .

Решение: а) Давайте вдумаемся в это неравенство:  – ему удовлетворяют все числа, модуль которых меньше единицы. А это числа из круга с центром в начале координат радиуса 1 (серая штриховка на чертеже ниже).

И вообще, неравенство  задаёт круг с центром в начале координат радиуса . Если неравенство нестрогое , то к кругу следует добавить его границу, то бишь окружность (которая, к слову, определяется уравнением ).

Неравенство же  определяют внешнюю часть этого замкнутого круга (всю оставшуюся плоскость – окромя круга с его границей). В нашем конкретном примере  – это вся комплексная плоскость, кроме замкнутого единичного круга с центром в начале координат.

И пункт б) я начну с общего случая. Неравенство  определяет круг с центром в точке  радиуса . Это можно запомнить формально. Но давайте опять же вникнем в смысл. Как и в действительном случае (см. самый низ), модуль разности означает расстояние между числами. Таким образом, число  отстоИт от числа  меньше, чем на , а этому условию как раз и удовлетворяет любая точка указанного выше круга. Аналогично предыдущему пункту, неравенство  определяет соответствующий замкнутый круг, а неравенство  – его внешнюю часть.

Теперь вернёмся к конкретному неравенству  и представим его в виде  (внимание!):

 – замкнутый круг с центром в точке  (малиновый цвет):

При выполнении чертежа от руки строго рекомендую циркуль, при этом его остриё нежелательно отрывать от бумаги, пока не прочертите всю окружность.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 4

Изобразить на комплексной плоскости область, ограниченную линиями , .

Не ленимся – рисуем, и факультативное неравенство – рассуждаем:

Пример 5

Изобразить область, соответствующую неравенству
На первом шаге используйте свойство модуля .
После чего нас ждёт ещё одна важная фигура:

Пример 6

Изобразить область, соответствующую условию .

Решение: двойное неравенство вида  можно записать в виде системы:

Первое условие определят круг с центром в начале координат радиуса , второе условие (представляем в уме!) – внешнюю часть замкнутого круга с тем же центром, но меньшего радиуса . И коль скоро это система, то её решением будет общая часть (пересечение) этих областей.

Таким образом, двойное неравенство вида  определяет кольцо с центром в начале координат, внутреннего радиуса  и внешнего радиуса .

Наш случай  элементарен:

Заметьте, что кольцо – это двусвязная область.

Если одно или оба неравенства нестрогие, то к области следуют добавить соответствующую окружность или обе.

И по аналогии с предыдущими примерами, неравенству  соответствует кольцо с центром в точке , внутреннего радиуса , внешнего радиуса . Этот случай для самостоятельного потребления, с приправой, чтобы не было так пресно:

Пример 7

Изобразить на комплексной плоскости область, удовлетворяющую условиям , .

…Посидите, подумайте, какие числа удовлетворяю первому условию…. Да, и старайтесь не пренебрегать учебными задачами, в них я часто комментирую важные детали, которые не вошли в «основной текст».

И в заключение урока за аргумент замолвим слово:

Пример 8

Изобразить на комплексной плоскости область, удовлетворяющую условию

И решение очень простое: этому условию соответствуют те комплексные числа, аргумент которых больше , но меньше . Геометрически – это соответствующий фрагмент плоскости между лучами  и :

При  выполнении чертежа от руки используйте транспортир, а если позабылись углы – справку по тригонометрии.

Если одно из неравенств или оба – нестрогие, то соответствующие лучи следует добавить к области и изобразить непрерывной линией. Однако начало координат в любом случае в область не войдёт (т. к. для него аргумент не определён), а посему эта точка должна быть «выколота».

Если же дано неравенство вида , то углы следует отмерять не от начала координат, а от точки , и лучи тоже откладывать от неё. Сама же точка при любых раскладах в область не войдёт. С геометрией этого случая разберитесь самостоятельно, и простенькое задание для тренировки:

Пример 9

Найти множество точек, удовлетворяющее условиям , .

Решаем! ;)

В некоторых задачах неравенство для аргумента может быть «одинарное», например,  или . Но самом деле оно двойное. Учитывая, что главное значение аргумента изменяется в пределах , имеем области:
 и  соответственно

Далее разберём…, пожалуй, линии на комплексной плоскости, некоторые из которых мы уже вовсю начали использовать.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте