Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>


Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?
Повторяем школьный курс

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Как найти рациональные корни
многочлена? Схема Горнера

Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать сходимость
несобственного интеграла?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

ТФКП для начинающих
Как построить область
на комплексной плоскости?

Линии на С. Параметрически
заданные линии

Отображение линий и областей
с помощью функции w=f(z)

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Статистические оценки
и доверительные интервалы

Оценка вероятности
биномиального распределения

Оценки по повторной
и бесповторной выборке

Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона

Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия

Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?

Уравнение линейной регрессии
Проверка значимости линейной
корреляционной модели

Модель пАрной регрессии.
Индекс детерминации

Нелинейная регрессия. Виды и
примеры решений

Коэффициент ранговой
корреляции Спирмена

Коэф-т корреляции Фехнера
Уравнение множественной
линейной регрессии

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом



  Карта сайта


Области на комплексной плоскости

Ехали медведи, на велосипеде,
А за ними области, на комплексной плоскости.


После курса молодого ТФКП-ниста, рассмотрим материал, важный для изучения всего комплексного анализа. Сначала будет немного терминов и теории, затем практика, где мы научимся распознавать и строить различные области на комплексной плоскости.

И в первом же абзаце нам встретились строгие понятия. Комплексная плоскость – это геометрическое представление множества  комплексных чисел:

Если к множеству  присоединить бесконечно удалённую точку , то говорят о расширенной комплексной плоскости, которую иногда обозначают . Пожалуйста, различайте эти термины и виды плоскостей. 

Окрестностью точки  называют круг произвольного радиуса . При этом под кругом подразумевается открытый круг – без его границы (окружности). Внешняя часть этого круга (точки за пределами границы) образует окрестность бесконечно удалённой точки:

И вообще, под областью в комплексном анализе «по умолчанию» понимают, как правило, открытую область – без учёта её границы. Всегда имейте в виду этот факт.

Дадим строгие определения области и её границы.

Точку  называют внутренней точкой области , если существует её окрестность (пусть очень малая), такая, что ВСЕ точки этой окрестности принадлежат области . Область  – это множество её внутренних точек, причём, любые две точки этого множества можно соединить гладкой или кусочно-гладкой* линией, полностью состоящей из внутренних точек.

* Линию называют гладкой, если в любой её точке можно провести касательную (существует конечная производная). Кусочно-гладкая линия состоит из фрагментов («кусков») гладких линий, последовательно соединённых между собой, простейший пример – ломаная.

Из определения следует, что два непересекающихся круга (например) или даже два соприкасающихся круга – единой области не образуют. А вот следующее множество точек– да, для удобства область  я изобразил в 1-й координатной четверти:

…Рука почти не дрогнула, но до Рубенса, конечно, далековато :)

Точка  называется граничной точкой области, если в ЛЮБОЙ её окрестности есть точки КАК принадлежащие этой области, так и НЕ принадлежащие ей. Множество граничных точек области называют границей данной области. В данном примере это оранжевая линия  («гамма большое», можно просто «гэ»).

Под замкнутой областью понимают саму область + её границу, такую область обозначают с чёрточкой наверху: .

Точка  называется внешней точкой области , если существует её окрестность (пусть очень малая), ВСЕ точки которой НЕ принадлежат области .

Следует заметить, что линия  на рисунке выше делит комплексную плоскость на ДВЕ области: область  и её внешнюю часть, причём, обе области имеют одну и ту же границу. Обратите внимание, что точка  является внутренней точкой «внешней» области по определению.

И ещё одно важное понятие – связность области.

Комплексную область называют односвязной, если (вдумываемся!) ЛЮБАЯ замкнутая линия, лежащая внутри неё, содержит ВСЕ точки данной области. Или в эквивалентной топологической формулировке: если любую замкнутую линию, лежащую внутри неё можно непрерывно стянуть в точку, не выходя за пределы данной области.

В частности, односвязна область, которая ограничена одной замкнутой линией без самопересечений. Пример такой области приведён на рисунке выше: какой бы замкнутый «путь» в области  мы ни выбрали, внутри него (соответствующей линии) – ВСЕ точки будут принадлежать области .

Но бывают и другие ситуации:

Здесь область  ограничена двумя замкнутыми линиями , которые не пересекаются, и такая область является двусвязной. В ней мы можем выбрать замкнутый маршрут, внутри которого далеко не все точки будут принадлежать области  (любой замкнутый путь вокруг ). При этом линия  может быть вырождена в дугу непрерывной линии или даже в единственную точку, не принадлежащую области .

Требование непересечения линий  – критично. Так, если  касается  в одной точке, то область становится односвязной. Если же касания два, то получатся две разные области.

Аналогично определяются трёх- четырёх- и так далее связные области. В частности, четырёхсвязная область имеет четыре непересекающиеся граничные линии. В примере ниже одна из таких линий представляется собой точку:

Грубо говоря, связность области можно определить по количеству внутренних «дырок»: у двусвязной области она одна, и трехсвязной – две, у четырёхсвязной – три и так далее.

С теорией уложились бодренько, теперь практика.

Как задать область на комплексной плоскости?

Можно графически (чем я только что занимался), но лучше – аналитически, с помощью неравенств. Начнём с простейших примеров:

Неравенству  соответствуют те комплексные числа, действительная часть которых больше нуля, поэтому оно определяет правую полуплоскость (штриховать уж не буду). Если неравенство нестрогое , то к области следует добавить ось . Соответственно, неравенство  задаёт левую полуплоскость, а  – её же вместе с мнимой осью.

Аналогично, неравенству  удовлетворяют те комплексные «зет», мнимая часть которых больше нуля, поэтому сие неравенство определяет верхнюю полуплоскость, а неравенство  – дополнительно ось . Неравенству  соответствует нижняя полуплоскость и неравенству  – она же вместе с действительной осью.

Рассмотрим более содержательные примеры:

Пример 1

Построить области, заданные неравенствами:

а) ;
б) .

Дополнительно обозначим оси привычным «иксом» и «игреком» и решаем.

а) Двойному неравенству  соответствуют те комплексные «зет», действительная часть которых не меньше «минус» единицы и меньше двух. Этому условию соответствуют все числа из полосы, ограниченной прямыми , при этом прямая  принадлежит искомой области (серая штриховка на рис. ниже).

б) Неравенству  удовлетворяют все числа, мнимая часть которых больше нуля и не больше . Соответствующая область представляет собой полосу между прямыми , при этом прямая  принадлежит области, а действительная ось – нет (голубой цвет):

При выполнении чертежа от руки во многих случаях оптимален следующий масштаб:
1 ед. = 2 тетрадные клетки (1 см).

Занятное задание для самостоятельного решения:

Пример 2

Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющее следующим условиям:

а) ;
б) .

Здесь в каждом пункте подразумевается одновременное выполнение обоих условий, и более точно их следует записать в форме системы: а) , б) . На практике вам может встретиться и тот и другой вариант.

Выполняем чертежи от руки (хотя бы схематически!), сверяемся с решением в конце урока и продолжаем:

Пример 3

Изобразить следующие области:

а) ;
б) .

Решение: а) Давайте вдумаемся в это неравенство:  – ему удовлетворяют все числа, модуль которых меньше единицы. А это числа из круга с центром в начале координат радиуса 1 (серая штриховка на чертеже ниже).

И вообще, неравенство  задаёт круг с центром в начале координат радиуса . Если неравенство нестрогое , то к кругу следует добавить его границу, то бишь окружность (которая, к слову, определяется уравнением ).

Неравенство же  определяют внешнюю часть этого замкнутого круга (всю оставшуюся плоскость – окромя круга с его границей). В нашем конкретном примере  – это вся комплексная плоскость, кроме замкнутого единичного круга с центром в начале координат.

И пункт б) я начну с общего случая. Неравенство  определяет круг с центром в точке  радиуса . Это можно запомнить формально. Но давайте опять же вникнем в смысл. Как и в действительном случае (см. самый низ), модуль разности означает расстояние между числами. Таким образом, число  отстоИт от числа  меньше, чем на , а этому условию как раз и удовлетворяет любая точка указанного выше круга. Аналогично предыдущему пункту, неравенство  определяет соответствующий замкнутый круг, а неравенство  – его внешнюю часть.

Теперь вернёмся к конкретному неравенству  и представим его в виде  (внимание!):

 – замкнутый круг с центром в точке  (малиновый цвет):

При выполнении чертежа от руки строго рекомендую циркуль, при этом его остриё нежелательно отрывать от бумаги, пока не прочертите всю окружность.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 4

Изобразить на комплексной плоскости область, ограниченную линиями , .

Не ленимся – рисуем, и факультатив – рассуждаем:

Пример 5

Изобразить область, соответствующую неравенству
На первом шаге используйте свойство модуля .
После чего нас ждёт ещё одна важная фигура:

Пример 6

Изобразить область, соответствующую условию .

Решение: двойное неравенство вида  можно записать в виде системы:

Первое условие определят круг с центром в начале координат радиуса , второе условие (представляем в уме!) – внешнюю часть замкнутого круга с тем же центром, но меньшего радиуса . И коль скоро это система, то её решением будет общая часть (пересечение) этих областей.

Таким образом, двойное неравенство вида  определяет кольцо с центром в начале координат, внутреннего радиуса  и внешнего радиуса .

Наш случай  элементарен:

Заметьте, что кольцо – это двусвязная область.

Если одно или оба неравенства нестрогие, то к области следуют добавить соответствующую окружность или обе.

И по аналогии с предыдущими примерами, неравенству  соответствует кольцо с центром в точке , внутреннего радиуса , внешнего радиуса . Этот случай для самостоятельного потребления, с приправой, чтобы не было так пресно:

Пример 7

Изобразить на комплексной плоскости область, удовлетворяющую условиям , .

…Посидите, подумайте, какие числа удовлетворяю первому условию…. Да, и старайтесь не пренебрегать учебными задачами, в них я часто комментирую важные детали, которые не вошли в «основной текст».

И в заключение урока за аргумент замолвим слово:

Пример 8

Изобразить на комплексной плоскости область, удовлетворяющую условию

И решение очень простое: этому условию соответствуют те комплексные числа, аргумент которых больше , но меньше . Геометрически – это соответствующий фрагмент плоскости между лучами  и :

При  выполнении чертежа от руки используйте транспортир, а если позабылись углы – справку по тригонометрии.

Если одно из неравенств или оба – нестрогие, то соответствующие лучи следует добавить к области и изобразить непрерывной линией. Однако начало координат в любом случае в область не войдёт (т. к. для него аргумент не определён), а посему эта точка должна быть «выколота».

Если же дано неравенство вида , то углы следует отмерять не от начала координат, а от точки , и лучи тоже откладывать от неё. Сама же точка при любых раскладах в область не войдёт. С геометрией этого случая разберитесь самостоятельно, и простенькое задание для тренировки:

Пример 9

Найти множество точек, удовлетворяющее условиям , .

Решаем! ;)

В некоторых задачах неравенство для аргумента может быть «одинарное», например,  или . Но самом деле оно двойное. Учитывая, что главное значение аргумента изменяется в пределах , имеем области:
 и  соответственно

Далее разберём…, пожалуй, линии на комплексной плоскости, некоторые из которых мы уже вовсю начали использовать.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: а) Искомая область ограничена прямыми  снизу и сверху соответственно и прямой  справа, причём последняя области не принадлежит (серая штриховка на чертеже).

б) Данная область представляет собой квадрат, ограниченный прямыми  и , при этом прямые  и  не принадлежат области (зелёный цвет на чертеже):

Примечание: обратите внимание, что угловые точки, соответствующие строгим неравенствам, не принадлежат областям («выколоты»).

Пример 4. Решение: Неравенству  соответствует внешняя часть круга с центром в начале координат радиуса 3.
Преобразуем второе неравенство:  – круг с центром в точке  радиуса 1,5.

Искомая область представляет собой пересечение этих двух областей («полумесяц»):

Примечание: опять же обратите внимание, что точки пересечения окружностей не входят в область (по причине строгости второго неравенства).

Пример 5. Решение: используем свойство модуля: .
Умножим обе части неравенства на , имея в виду, что :

Сначала удобно разобраться с равенством . Условию  соответствуют значения , равноудалённые от точек . В нашем случае  – это точки, которые равноудалены от точек , а это точки, лежащие на оси .
Неравенству же  соответствуют ТАКИЕ точки «зет», у которых расстояние до точки  меньше расстояния до точки , а это точки правой полуплоскости .
Таким образом, нестрогому неравенству  соответствует правая полуплоскость, включая ось :

Примечание: соответственно, неравенству  удовлетворяют точки левой полуплоскости (без мнимой оси), исключая точку . Однако если изначально дано неравенство , то эту точку следует добавить к решению.

Пример 7. Решение: естественным образом присоединим к комплексной плоскости декартову систему координат . Условию , очевидно, соответствуют точки прямой , а неравенству  («икс больше игрек») – все точки ниже этой прямой.
Преобразуем двойное неравенство:
 – ему соответствует кольцо с центром в точке , внутреннего радиуса , внешнего  радиуса , при этом внутренняя окружность входит в область.

Искомая область представляет собой пересечение выявленных выше областей:

Примечание: точки пересечения прямой  с внутренней окружностью в область входят, а с внешней окружностью – нет.

Пример 9. Решение: представим первое неравенство в виде :
 – замкнутый круг с центром в точке  радиуса .
Представим второе неравенство в виде :
 – часть плоскости, полученная поворотом луча, исходящего из точки , от угла  (относительно положительной полуоси ) до , при этом первый граничный луч в область не входит, а второй – входит:

Из чертежа следует, что сразу обоим условиям удовлетворяет единственная точка – это точка касания окружности второго граничного луча.

Ответ:  

Следует добавить, что искомое множество точек может быть и пустым – если области не пересекаются. В только что разобранном примере для этого достаточно строгости неравенств первого и / или второго условия.

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?




© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено