Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Предел функции двух переменных.
Понятие и примеры решений

Добро пожаловать на третий урок по теме ФНП, где наконец-то начали сбываться все ваши опасения =) Как многие подозревали, понятие предела распространяется и на функцию  произвольного количества аргументов, в чём нам сегодня и предстоит разобраться. Однако есть оптимистичная новость. Она состоит в том, что при  предел в известной степени абстрактен и соответствующие задания крайне редко встречаются на практике. В этой связи наше внимание будет сосредоточено на пределах функции  двух переменных или, как мы чаще её записываем: .

Многие идеи, принципы и методы схожи с теорией и практикой «обычных» пределов, а значит, на данный момент вы должны уметь находить пределы и самое главное ПОНИМАТЬ, что такое предел функции одной переменной. И, коль скоро судьба привела вас на эту страничку, то, скорее всего, уже немало понимаете-умеете. А если и нет – ничего страшного, все пробелы реально заполнить в считанные часы и даже минуты.

События этого занятия разворачиваются в нашем трёхмерном мире, и поэтому будет просто огромным упущением не принять в них живое участие. Сначала соорудим хорошо известную декартову систему координат в пространстве. Давайте встанем и немного походим по комнате…  …пол, по которому вы ходите – это плоскость . Поставим где-нибудь ось … ну, например, в любом углу, чтобы не мешалась на пути. Отлично. Теперь, пожалуйста, посмотрите вверх и представьте, что там зависло расправленное одеяло. Это поверхность, заданная функцией . Наше перемещение по полу, как нетрудно понять, имитирует изменение независимых переменных , и мы можем передвигаться исключительно под одеялом, т. е. в области определения функции двух переменных. Но самое интересное только начинается. Прямо над кончиком вашего носа по одеялу ползает маленький тараканчик, куда вы – туда и он. Назовём его Фредди. Его перемещение имитирует изменение соответствующих значений  функции (за исключением тех случаев, когда поверхность либо её фрагменты параллельны плоскости  и высота не меняется). Уважаемый читатель с именем Фредди, не обижайся, так надо для науки.

Возьмём в руки шило и проткнём одеяло в произвольной точке, высоту которой обозначим через , после чего строго под отверстием воткнём инструмент в пол – это будет точка . Теперь начинаем бесконечно близко приближаться к данной точке , причём приближаться мы имеем право ПО ЛЮБОЙ траектории (каждая точка которой, разумеется, входит в область определения). Если ВО ВСЕХ случаях Фредди будет бесконечно близко подползать к проколу на высоту  и ИМЕННО НА ЭТУ ВЫСОТУ, то функция  имеет предел в точке  при :

Если при указанных условиях проколотая точка расположена на краю одеяла, то предел всё равно будет существовать – важно, чтобы в сколь угодно малой окрестности острия шила были хоть какие-то точки из области определения функции. Кроме того, как и в случае с пределом функции одной переменной, не имеет значения, определена ли функция  в точке  или нет. То есть наш прокол можно залепить жвачкой (считать, что функция двух переменных непрерывна) и это не повлияет на ситуацию –  вспоминаем, что сама суть предела подразумевает бесконечно близкое приближение, а не «точный заход» в точку.

Однако безоблачная жизнь омрачается тем фактом, что в отличие от своего младшего брата, предел  гораздо более часто не существует. Это связано с тем, что к той или иной точке на плоскости  обычно существует очень много путей, и каждый из них должен приводить Фредди строго к проколу (опционально «залепленному жвачкой») и строго на высоту . А причудливых поверхностей с не менее причудливыми разрывами хоть отбавляй, что приводит к нарушению этого жёсткого условия в некоторых точках.

Организуем простейший пример – возьмём в руки нож и разрежем одеяло таким образом, чтобы проколотая точка лежала на линии разреза. Заметьте, что предел  всё ещё существует, единственное, мы потеряли право ступать в точки под линией разреза, так как этот участок «выпал» из области определения функции.  Теперь аккуратно приподнимем левую часть одеяла вдоль оси , а правую его часть, наоборот – сдвинем вниз или даже оставим её на месте. Что изменилось? А принципиально изменилось следующее: если сейчас мы будем подходить к точке  слева, то Фредди окажется на бОльшей высоте, чем, если бы мы приближались к данной точке справа. Таким образом, предела  не существует.

Рассмотрим фрагмент плоскости :

Пожалуйста, «сфотографируйте» другие типовые примеры, в которых неопределённость лишь КАЖЕТСЯ, но в действительности же пределов не существует:

И на всякий случай отмечу, что перечисленные функции сами по себе не являются какими-то «прокажёнными», то есть во многих других точках с пределами полный порядок, например:  и т. д.

Строгое определение предела функции двух переменных даётся по аналогии определения предела функции одной переменной. Подход Эдуарда Гейне заключается в рассмотрении последовательностей точек , стремящихся к , и соответствующих последовательностей значений функций , стремящихся к . Предел по Коши определяется всё теми же окрестностями, но в пространственном случае за -окрестность обычно выбирают круг либо прямоугольник с центром в точке , а -окрестность представляет собой целый «слой», заключенный между плоскостями . Точные формулировки можно найти, например, у Бохана либо Фихтенгольца, и если вы усвоили минимальные теоретические сведения о пределах, то никаких трудностей возникнуть не должно. Более обстоятельный материал есть в учебнике Ильина/Садовничего и К, где детально рассматривается в том числе и обобщенный случай предела функции в  пространстве. Кстати, не надо слишком сильно смеяться над моими тараканами – во время путешествия под одеялом я рассказал вам побольше, чем типовой кирпич по математическому анализу ;-) Но всё это, конечно, было в описательном плане – исключительно для понимания. Хотя определение предела по Гейне в такой интерпретации выглядит действительно смешно =)

Ну а сейчас мы переходим к обширному практическому материалу, и первые примеры будут посвящены заигранным баянам, которые встречаются не только на практике, но и в учебной литературе:

Пример 1

Найти предел функции

После прямой подстановки значений  в выражение под значком предела получается подлежащая ликвидации неопределённость . Прежде всего, обратим внимание, что поверхность  терпит разрыв в единственной точке. И действительно, равенство  выполняется только в начале координат. Но существует ли там предел?

Проведём небольшое исследование. Сначала начнём приближаться к точке  по оси абсцисс  (синяя стрелка).

И из вышесказанного легко понять серьёзный недостаток рассмотренного метода решения: строго говоря, он пригоден лишь для обоснования НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ предела. Ведь если мы выясним, что Фредди попадает на одну и ту же высоту  по любой прямой, то этого ещё не достаточно. Согласно определению предела, нужно показать, что такой же результат получится и при ЛЮБОМ ДРУГОМ способе подхода к предельной точке. Этот вопрос решается с помощью перехода к полярным координатам.

Перейдём к полярной системе координат:

Предельная точка  – есть начало координат, а посему:

, как оно чаще всего и бывает в подобных задачах.

Если , то полярному радиусу ничего не остаётся, как тоже стремиться к нулю: , что совершенно естественно.

Результат зависит от «угла атаки», следовательно, предела не существует.

Но не всё так просто:

Пример 2

Найти предел функции

Предложенная функция тоже терпит разрыв в начале координат, и предел может, как существовать, так и не существовать.

Как лучше решать подобные пределы? С моей точки зрения, выгодно придерживаться следующей тактики: сначала на черновике быстренько исследуем все прямые пути:

Проведём замену:

Предел не зависит от углового коэффициента прямой, по которой мы приближаемся к точке . Но расслабляться ещё рано! Не забываем, что в пучок прямых  не входит ось ординат! И поэтому уравнение  подлежит отдельному исследованию. Проще всего подставить данное значение в исходный предел:

Если бы с помощью этого «полуметода» нам удалось установить несуществование предела (что бывает довольно часто), то получилось бы самое простое и короткое решение! Однако в данном случае проверка сработала «вхолостую», и на чистовике решение следует оформить «полноценным» способом:

Перейдём к полярным координатам:
Если , то

Полученный предел равен нулю, однако этого ещё не достаточно для существования двойного предела! И достаточный признак таков: нужно подобрать функцию  – зависящую только от «эр» и стремящуюся к нулю при , такую, чтобы выполнялось неравенство:  хоть в какой-то окрестности (пусть очень малой) нулевого значения «эр». Тогда .
В нашем примере:

 (коль скоро «эр» и косинус квадрат неотрицательны)

Поскольку косинус и синус – есть функции ограниченные: то:
, стало быть:
, то есть функция  подобрана и двойной предел
 – существует.

Перед вами хорошо знакомое «проколотое одеяло»:

Тройка пределов для самостоятельного решения:

Пример 3

а)
б)
в)

Примерный образец чистового оформления в конце урока. В пункте «б» для выяснения оценочной функции  сведите знаменатель к одной тригонометрической функции, синусу либо косинусу. Это типовой приём. Ну а коварство, на которое вы наверняка попались, разберём в следующем задании:

Пример 4

Найти предел или доказать, что его не существует

Отличительная особенность предложенной функции состоит в том, что она терпит разрыв не в единичной точке, а по кубической параболе , и поэтому в данном примере возникает одна тонкость – здесь нехорошо говорить о том, что мы «приближаемся к точке  по ПРЯМЫМ ». Ведь некоторые прямые этого пучка  пересекают кубическую параболу более 1-го раза и на наших путях к началу координат будут «выколотые» точки, что делает эти маршруты нелегальными.

Тем не менее, замена  всё же возможна, но подразумевать она будет лишь участки прямых (даже очень малые), по которым мы можем беспрепятственно дойти до точки

Все эти выкладки, конечно, не нужно «вываливать на голову» рецензента – лучше использовать обтекаемую «техническую» фразу:

проведём замену :

Вроде бы тишь да гладь – предел не зависит от значения .

И если сейчас проявить небрежность, то он ответ будет неверным!

Не забываем, что у нас ещё не учтён путь по оси :

Вот тебе и раз! Как говорится, где тонко, там и рвётся.

Вывод: предела не существует

Интересно отметить, что метод перехода к полярным координатам (а его можно использовать) здесь очень опасен! После стандартной замены получается предел , который вовсе не равен тройке! При значениях угла  (которые как раз и определяют ось ординат) в пределе получается ноль, и этот факт очень легко упустить из вида.

Примечание: при подстановке этих значений «фи» в числителе получается ноль, а в знаменателе бесконечно малое значение, и при делении получается именно ноль – неопределённости тут нет !

Более того, даже если «эрный» предел един при любом значении «фи», то это ещё не гарантирует существования двойного предела! Нужно проверять достаточный признак либо использовать альтернативные методы обоснования, с которыми можно ознакомиться в более основательных трудах по теме. В частности (спасибо студентам МИФИ), могу порекомендовать их методичку, составитель А. Ю. Петрович, 2007 год.

И ещё пара важных абзацев, которые появились благодаря вам.

Поступил вопрос: а почему, в качестве пути приближения к предельной точке, мы безвариантно выбираем ? Потому что в большинстве примеров это просто удобно. Вообще, для доказательства несуществования общего предела достаточно найти ДВА произвольных маршрута, по которым получаются разные значения. Так, в разобранном примере можно было взять не весь пучок прямых, а лишь ось абсцисс + ось ординат. Более того, если в какой-то задаче удобнее использовать путь, например, по параболе, синусоиде и т. д., то флаг вам в руки!

И важнейший момент состоит в том, что пучок годится лишь для исследования начала координат! Если переменные стремятся к другой точке, то нужно взять другой пучок, прямые которого проходят именно через эту точку.

Спасибо и ещё раз спасибо!

Продолжаем, и в следующем примере мы как раз пронесём тот самый флаг. Эту статью я редактировал много раз, отчего Пример 5 исчез, и чтобы не сбивать нумерацию сразу::

Пример 6

Найти предел

Здесь выбор пути в плоскости  влияет на порядок роста числителя и знаменателя, и предел может запросто не существовать. Так, если приближаться к бесконечности по прямой , то:
 (знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель).

Но если приближаться к бесконечности по параболе , то числитель и знаменатель будут одного порядка роста, а значит, предел равен ненулевому конечному значению:

Вывод: общего предела  не существует.

И в случае несущестования предела лучше использовать именно этот способ! Переход к полярным координатам крайне опасен и может привести к ошибочному выводу, за исключением пределов наподобие (Пример 1), где результат оказался зависящим только от «фи».

Помимо специфических приёмов, в ходе вычисления пределов функций двух переменных используется широкий арсенал уже известных вам методов, в частности метод замены:

Пример 7

Вычислить предел

Решаем самостоятельно! Подсказывать не буду, а то получится совсем уж просто.

...Сверяемся и продолжаем:

Пример 8

В результате прямой подстановки  сталкиваемся с неопределённостью , для устранения которой перспективным выглядит разложение числителя и знаменателя на множители. В числителе используем формулу разности квадратов, а в знаменателе проводим вынесение множителей за скобки (у 1-3-го и 2-4-го слагаемых):

Сокращение «виновника»  означает, что функция  терпит разрыв по типу «разрезанное одеяло» во всех точках прямой  за исключением точки . Впрочем, оставим этот материал до урока Непрерывность функции двух переменных и вернёмся к нашим баранам:

Пример 9

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

Получено нечто знакомое, перейдём к полярным координатам:
Если , то

Полученный предел равен нулю, однако этого ещё не достаточно для существования двойного предела. Подбираем функцию . Ввиду ограниченности синуса и косинуса: 

Вывод:

Теперь ваша парочка:

Пример 10

Найти пределы
а)
б)

Решения занимают буквально 2-3 строчки. Если возникли затруднения с пунктом «бэ», пожалуйста, посмотрите Пример 5 статьи Сложные пределы.

И, конечно же, замечательные пределы, куда без них. Рассмотрим поучительный во всех смыслах пример:

Пример 11

Используем до боли знакомую тригонометрическую формулу , где  и стандартным искусственным приёмом организуем первые замечательные пределы :

Перейдём к полярным координатам:
Если , то

Казалось бы, решение идёт к закономерной развязке и ничто не предвещает неприятностей, однако в самом конце существует большой риск допустить ошибку. Сначала концовка, затем комментарий:

То есть общего предела не существует.

Почему так? Давайте посмотрим на знаменатель: так как полярный радиус неотрицателен, то он стремится к бесконечно малому положительному значению: . Кроме того, . Но есть ещё косинус, который и определяет результат:
, если полярный угол  (2-я и 3-я  координатные четверти: );
, если полярный угол  (1-я и 4-я координатные четверти: ).

Геометрически это означает, что если приближаться к началу координат слева, то поверхность, заданная функцией , простирается до бесконечности вниз:

и если справа – то вверх:

А между погружением на дно океана и полётом за облака, мягко говоря, есть разница.

Задание для самостоятельного решения:

Пример 12

Краткое решение и ответ в концу урока. Как видите, с технической точки зрения ничего особенно нового-то, и нет.

Вместо замечательных пределов можно использовать и замечательные эквивалентности:

Пример 13

Вспоминаем мотив: при  справедлива эквивалентность . В данном случае  и после эквивалентной замены получаем предел . Почему это корректно? В достаточно малой окрестности точки  поверхность,  практически совпадает с поверхностью , и поэтому одну функцию можно безболезненно заменить другой.

На втором шаге переходим к полярным координатам, после чего  превращается в , а примелькавшаяся сумма  – в . По итогу:

и коль скоро ,
то , а значит, в силу эквивалентности, нулю равен и исходный предел:

.

Желающие могут прорешать Примеры 11, 12 вторым способом, что, кстати, проще

Проверьте, насколько хорошо вы усвоили урок о бесконечно малых функциях:

Пример 14

Найти предел функции двух переменных

Решение совсем близко.

И заключительные примеры статьи посвящены второму замечательному пределу:

Пример 15

Приём решения такой же: делаем дробь трёхэтажной и искусственным возведением в степень организуем второй замечательный предел :

В силу непрерывности экспоненциальной функции, значок предела можно перенести в показатель:

Чтобы не возиться с мелкими символами, предел показателя удобно найти отдельно:

И тут лучше использовать метод «опровержения», рассмотрев 2 пути – по прямой и параболе, поскольку они меняют порядок роста числителя и знаменателя, что нетрудно углядеть; всегда проверяйте этот перспективный вариант. Идём к бесконечности по прямой :

Теперь по параболе :

Предел зависит от пути, поэтому предела , а значит, и предела  не существует.

Готово!

И, как я уже отмечал в самом начале, на практике вам вполне могут предложить вычислить не общий предел, а предел по какому-либо частному пути, да тот же самый: «вычислить предел  по направлению прямой ». Проблем вообще никаких:

Существует и частный предел по «школьной» параболе, который, очевидно, равен .

На посошок:

Пример 16

Вычислить предел функции двух переменных или доказать, что его не существует:

Всё очень просто!

Материалов данного урока должно хватить для решения большинства практических примеров по теме, но, тем не менее, на следующих занятиях (Повторные пределы и Непрерывность функции двух переменных), мы продолжим работать с пределами функций двух переменных, и, более того, я расскажу вам ещё об одном эффективном методе их решения.

Спасибо за активное участие и до скорых встреч!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте