Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Предел функции двух переменных.
Понятие и примеры решений

Добро пожаловать на третий урок по теме ФНП, где наконец-то начали сбываться все ваши опасения =) Как многие подозревали, понятие предела распространяется и на функцию  произвольного количества аргументов, в чём нам сегодня и предстоит разобраться. Однако есть оптимистичная новость. Она состоит в том, что при  предел в известной степени абстрактен и соответствующие задания крайне редко встречаются на практике. В этой связи наше внимание будет сосредоточено на пределах функции  двух переменных или, как мы чаще её записываем: .

Многие идеи, принципы и методы схожи с теорией и практикой «обычных» пределов, а значит, на данный момент вы должны уметь находить пределы и самое главное ПОНИМАТЬ, что такое предел функции одной переменной. И, коль скоро судьба привела вас на эту страничку, то, скорее всего, уже немало понимаете-умеете. А если и нет – ничего страшного, все пробелы реально заполнить в считанные часы и даже минуты.

События этого занятия разворачиваются в нашем трёхмерном мире, и поэтому будет просто огромным упущением не принять в них живое участие. Сначала соорудим хорошо известную декартову систему координат в пространстве. Давайте встанем и немного походим по комнате…  …пол, по которому вы ходите – это плоскость . Поставим где-нибудь ось … ну, например, в любом углу, чтобы не мешалась на пути. Отлично. Теперь, пожалуйста, посмотрите вверх и представьте, что там зависло расправленное одеяло. Это поверхность, заданная функцией . Наше перемещение по полу, как нетрудно понять, имитирует изменение независимых переменных , и мы можем передвигаться исключительно под одеялом, т.е. в области определения функции двух переменных. Но самое интересное только начинается. Прямо над кончиком вашего носа по одеялу ползает маленький тараканчик, куда вы – туда и он. Назовём его Фредди. Его перемещение имитирует изменение соответствующих значений  функции (за исключением тех случаев, когда поверхность либо её фрагменты параллельны плоскости  и высота не меняется). Уважаемый читатель с именем Фредди, не обижайся, так надо для науки.

Возьмём в руки шило и проткнём одеяло в произвольной точке, высоту которой обозначим через , после чего строго под отверстием воткнём инструмент в пол – это будет точка . Теперь начинаем бесконечно близко приближаться к данной точке , причём приближаться мы имеем право ПО ЛЮБОЙ траектории (каждая точка которой, разумеется, входит в область определения). Если ВО ВСЕХ случаях Фредди будет бесконечно близко подползать к проколу на высоту  и ИМЕННО НА ЭТУ ВЫСОТУ, то функция  имеет предел в точке  при :

Если при указанных условиях проколотая точка расположена на краю одеяла, то предел всё равно будет существовать – важно, чтобы в сколь угодно малой окрестности острия шила были хоть какие-то точки из области определения функции. Кроме того, как и в случае с пределом функции одной переменной, не имеет значения, определена ли функция  в точке  или нет. То есть наш прокол можно залепить жвачкой (считать, что функция двух переменных непрерывна) и это не повлияет на ситуацию –  вспоминаем, что сама суть предела подразумевает бесконечно близкое приближение, а не «точный заход» в точку.

Однако безоблачная жизнь омрачается тем фактом, что в отличие от своего младшего брата, предел  гораздо более часто не существует. Это связано с тем, что к той или иной точке на плоскости  обычно существует очень много путей, и каждый из них должен приводить Фредди строго к проколу (опционально «залепленному жвачкой») и строго на высоту . А причудливых поверхностей с не менее причудливыми разрывами хоть отбавляй, что приводит к нарушению этого жёсткого условия в некоторых точках.

Организуем простейший пример – возьмём в руки нож и разрежем одеяло таким образом, чтобы проколотая точка лежала на линии разреза. Заметьте, что предел  всё ещё существует, единственное, мы потеряли право ступать в точки под линией разреза, так как этот участок «выпал» из области определения функции.  Теперь аккуратно приподнимем левую часть одеяла вдоль оси , а правую его часть, наоборот – сдвинем вниз или даже оставим её на месте. Что изменилось? А принципиально изменилось следующее: если сейчас мы будем подходить к точке  слева, то Фредди окажется на бОльшей высоте, чем, если бы мы приближались к данной точке справа. Таким образом, предела  не существует.

Рассмотрим фрагмент плоскости :

Пожалуйста, «сфотографируйте» другие типовые примеры, в которых неопределённость лишь КАЖЕТСЯ, но в действительности же пределов не существует:

И на всякий случай отмечу, что перечисленные функции сами по себе не являются какими-то «прокажёнными», то есть во многих других точках с пределами полный порядок, например:  и т.д.

Строгое определение предела функции двух переменных даётся по аналогии определения предела функции одной переменной. Подход Эдуарда Гейне заключается в рассмотрении последовательностей точек , стремящихся к , и соответствующих последовательностей значений функций , стремящихся к . Предел по Коши определяется всё теми же окрестностями, но в пространственном случае за -окрестность обычно выбирают круг либо прямоугольник с центром в точке , а -окрестность представляет собой целый «слой», заключенный между плоскостями . Точные формулировки можно найти, например, у Бохана либо Фихтенгольца, и если вы усвоили минимальные теоретические сведения о пределах, то никаких трудностей возникнуть не должно. Более обстоятельный материал есть в учебнике Ильина/Садовничего и К, где детально рассматривается в том числе и обобщенный случай предела функции в  пространстве. Кстати, не надо слишком сильно смеяться над моими тараканами – во время путешествия под одеялом я рассказал вам побольше, чем типовой кирпич по математическому анализу ;-) Но всё это, конечно, было в описательном плане – исключительно для понимания. Хотя определение предела по Гейне в такой интерпретации выглядит действительно смешно =)

Ну а сейчас мы переходим к обширному практическому материалу, и первые примеры будут посвящены заигранным баянам, которые встречаются не только на практике, но и в учебной литературе:

Пример 1

Найти предел функции

После прямой подстановки значений  в выражение под значком предела получается подлежащая ликвидации неопределённость . Прежде всего, обратим внимание, что поверхность  терпит разрыв в единственной точке. И действительно, равенство  выполняется только в начале координат. Но существует ли там предел?

Проведём небольшое исследование. Сначала начнём приближаться к точке  по оси абсцисс  (синяя стрелка).

И из вышесказанного легко понять серьёзный недостаток рассмотренного метода решения: строго говоря, он пригоден лишь для обоснования НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ предела. Ведь если мы выясним, что Фредди попадает на одну и ту же высоту  по любой прямой, то этого ещё не достаточно. Согласно определению предела, нужно показать, что такой же результат получится и при ЛЮБОМ ДРУГОМ способе подхода к предельной точке. Этот вопрос решается с помощью перехода к полярным координатам.

Заодно вспомним метод замены в пределе:

Перейдём к полярной системе координат:

Если , то полярному радиусу ничего не остаётся, как тоже стремиться к нулю: , что совершенно естественно. Вот так вот две переменные превращаются в одну!

Результат зависит от «угла атаки», следовательно, предела не существует.

При этом заметьте, что здесь учтены абсолютно все пути подхода к точке , поскольку полярной функцией можно задать любую прямую, кривую, ломаную, др. маршруты.

Но не всё в мире пределов так безрадостно:

Пример 2

Найти предел функции

Предложенная функция тоже терпит разрыв в начале координат, и предел может, как существовать, так и не существовать.

Как лучше решать подобные пределы? С моей точки зрения, выгодно придерживаться следующей тактики: сначала на черновике быстренько исследуем все прямые пути:

Проведём замену:

Предел не зависит от углового коэффициента прямой, по которой мы приближаемся к точке . Но расслабляться ещё рано! Не забываем, что в пучок прямых  не входит ось ординат! И поэтому уравнение  подлежит отдельному исследованию. Проще всего подставить данное значение в исходный предел:

Если бы с помощью этого «полуметода» нам удалось установить несуществование предела (что бывает довольно часто), то получилось бы самое простое и короткое решение! Однако в данном случае проверка сработала «вхолостую», и на чистовике решение следует оформить «полноценным» способом:

Перейдём к полярным координатам:
Если , то

Готово! Предел не зависит от угла , а значит и от маршрута, по которому мы приближаемся к началу координат. И особенно приятно, что полярные координаты учитывают ось ординат, с которой не пришлось возиться отдельно.

Перед вами хорошо знакомое «проколотое одеяло»:

Пара пределов для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти пределы функций
а)
б)

Советую не пренебрегать рассматриваемыми пределами, поскольку один, а скорее, несколько из них стопроцентно встретятся в вашей самостоятельной/контрольной работе по теме. Как вариант, «начинка» таких пределов может быть «укомплектована» множителями-константами, что принципиально не меняет результатов. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Рассмотрим более коварное задание:

Пример 4

Найти предел или доказать, что его не существует

Отличительная особенность предложенной функции состоит в том, что она терпит разрыв не в единичной точке, а по кубической параболе , и поэтому в данном примере возникает одна тонкость – здесь нехорошо говорить о том, что мы «приближаемся к точке  по ПРЯМЫМ ». Ведь прямые этого пучка (за исключением оси абсцисс) пересекают кубическую параболу более 1-го раза и на наших путях к началу координат будут «выколотые» точки, что делает эти маршруты нелегальными.

Тем не менее, замена  всё же возможна, но подразумевать она будет лишь участки прямых (даже очень малые), по которым мы можем беспрепятственно дойти до точки

Все эти выкладки, конечно, не нужно «вываливать на голову» рецензента – лучше использовать обтекаемую «техническую» фразу:

Проведём замену :

Вроде бы тишь да гладь – предел не зависит от значения .

И если сейчас проявить небрежность, то он ответ будет неверным!

Не забываем, что у нас ещё не учтён путь по оси (фраза корректна!):

Вот тебе и раз! Как говорится, где тонко, там и рвётся.

Вывод: предела не существует

Интересно отметить, что метод перехода к полярным координатам (а его можно использовать) здесь очень опасен! После стандартной замены получается предел , который вовсе не равен тройке! При значениях угла  (которые как раз и определяют ось ординат) в пределе получается ноль, и этот факт очень легко упустить из вида.

Примечание: при подстановке этих значений «фи» в числителе получается ноль, а в знаменателе бесконечно малое значение, и при делении получается именно ноль – неопределённости тут нет !

Никогда не спешите и будьте очень внимательными!

И ещё пара важных абзацев, которые появились благодаря вам:

Поступил вопрос: а почему, в качестве пути приближения к предельной точке, мы безвариантно выбираем ? Потому что в большинстве примеров это просто удобно. Вообще, для доказательства несуществования общего предела достаточно найти ДВА произвольных маршрута, по которым получаются разные значения. Так, в разобранном примере можно было взять не весь пучок прямых, а лишь ось абсцисс + ось ординат. Кстати, это единственные «чистые» пути, и здесь как раз можно смело заявить, что мы «приближаемся к точке по прямым ». Более того, если в пределе удобнее использовать путь, например, по параболе  и синусоиде , то флаг вам в руки!

И важнейший момент состоит в том, что пучок годится лишь для исследования начала координат! Если переменные стремятся к другой точке, то нужно взять другой пучок, прямые которого проходят именно через эту точку.

Спасибо и ещё раз спасибо!

Подумайте, порешайте самостоятельно:

Пример 5

Найти предел или доказать, что его не существует

Моя версия решения в конце урока.

И как раз другие пути становятся актуальны, если аргументы (или один из них) стремятся  к бесконечности:

Пример 6

Найти предел

Здесь выбор пути в плоскости  влияет на порядок роста числителя и знаменателя, отчего предел может запросто не существовать. Так, если приближаться к бесконечности по прямой , то:
 (знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель).

Но если приближаться к бесконечности по параболе , то числитель и знаменатель будут одного порядка роста, а значит, предел равен ненулевому значению:

Вывод: общего предела  не существует.

И в случае несущестования предела лучше использовать именно этот способ! Засада в том, что переход к полярным координатам тут совсем плохо отображает ситуацию, и во многих случаях замена приведёт к ошибочному выводу. Но есть и исключения, например, многострадальная функция , где после перехода получится результат, зависящий только от «фи».

Контрпример 6+

Анализируя «начинку» предела, появляются веские основания полагать, что какой бы маршрут мы ни выбрали – порядок роста числителя всегда будет меньше порядка роста знаменателя, следовательно, предел равен нулю.

И вот здесь перейдем к полярной системе координат:

Если  то , к слову, знак при «эр» можно и опустить.

Следует заметить, что если один или оба аргумента стремятся к «минус бесконечности», то полярный радиус всё равно будет стремиться к «плюс бесконечности» (проанализируйте, почему). Таким образом, замена пригодна для «бесконечностей» с любыми знаками, однако знаки «бесконечностей» сохраняют существенное значение, и очень скоро я вернусь к этому вопросу:

Геометрически это означает, что если мы уходим на бесконечность по направлениям , то поверхность будет бесконечно близко приближаться к плоскости , т.е. к координатной плоскости . Причём, приближаться сверху: так как все дела происходят в первой координатной четверти, то , и строго говоря, предел равен  (запись «плюс ноль» здесь символизирует приближение сверху).

Заметьте, что при  косинус становится отрицательным, а значит, поверхность приближается к плоскости  уже со стороны нижнего полупространства:   (запись «минус ноль» символизирует приближение снизу).

В данном примере это, конечно, не имеет особого значения, поскольку предел равен нулю вообще по любым бесконечным направлениям, но в общем случае разница критична. Условный пример:

, если  либо  (1-я и 2-я координатные четверти, где синус положителен);
, если  либо  (3-я и 4-я координатные четверти, где синус отрицателен).

Таким образом, после перехода к полярным координатам нужно держать на заметке, к каким именно «бесконечностям» стремятся аргументы функции!

Для самостоятельного решения:

Пример 7

Вычислить предел

Приятный случай, когда знаки бесконечностей не важны – этот вывод следует из того, что все переменные входят в функцию в чётных степенях и, кроме того, каждое подкоренное выражение заведомо неотрицательно. Здесь можно смело переходить к полярным координатам или вообще заменить сумму квадратов одной буквой, как я и сделал в образце решения.

Помимо специфических приёмов, в ходе вычисления пределов функций двух переменных используется широкий арсенал уже известных вам методов:

Пример 8

В результате прямой подстановки  сталкиваемся с неопределённостью , для устранения которой перспективным выглядит разложение числителя и знаменателя на множители. В числителе используем формулу разности квадратов, а в знаменателе проводим вынесение множителей за скобки (у 1-3-го и 2-4-го слагаемых):

Сокращение «виновника»  означает, что функция  терпит разрыв по типу «разрезанное одеяло» во всех точках прямой  за исключением точки . Впрочем, оставим этот материал до урока Непрерывность функции двух переменных и вернёмся к нашим баранам:

Пример 9

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

Получено нечто знакомое, и концовка решения, думаю, не нуждается в комментариях.

Перейдём к полярным координатам:
Если , то

Теперь ваша парочка:

Пример 10

Найти пределы
а)
б)

Решения занимают буквально 2-3 строчки. Если возникли затруднения с пунктом «бэ», пожалуйста, посмотрите Пример 5 статьи Сложные пределы.

И, конечно же, замечательные пределы, куда без них. Рассмотрим поучительный во всех смыслах пример:

Пример 11

Используем до боли знакомую тригонометрическую формулу , где  и стандартным искусственным приёмом организуем первые замечательные пределы :

Перейдём к полярным координатам:
Если , то

Казалось бы, решение идёт к закономерной развязке и ничто не предвещает неприятностей, однако в самом конце существует большой риск допустить серьёзный недочёт, о характере которого я уже чуть-чуть намекнул в Примере 3 и подробно расписал после Примера 6. Сначала концовка, затем комментарий:

Давайте разберёмся, почему будет плохо записать просто «бесконечность» или «плюс бесконечность». Посмотрим на знаменатель: так как , то полярный радиус стремится к бесконечно малому положительному значению: . Кроме того, . Таким образом, знак знаменателя и всего предела зависит только от косинуса:
, если полярный угол  (2-я и 3-я  координатные четверти: );
, если полярный угол  (1-я и 4-я координатные четверти: ).

Геометрически это означает, что если приближаться к началу координат слева, то поверхность, заданная функцией , простирается до бесконечности вниз:

и если справа – то вверх:

А между погружением на дно океана и полётом за облака, мягко говоря, есть разница.

Задание для самостоятельного решения:

Пример 12

Краткое решение и ответ в концу урока. Как видите, с технической точки зрения ничего особенно нового-то, и нет.

Вместо замечательных пределов можно использовать и замечательные эквивалентности:

Пример 13

Решим это предел устно: при  справедлива эквивалентность . В данном случае  и после эквивалентной замены получаем предел . Почему это корректно? В достаточно малой окрестности точки  поверхность,  практически совпадает с поверхностью , и поэтому одну функцию можно безболезненно заменить другой.

На втором шаге переходим к полярным координатам, после чего  превращается в , а примелькавшаяся сумма  – в . По итогу:

Желающие могут прорешать Примеры 11, 12 вторым способом, что, кстати, проще

Проверьте, насколько хорошо вы усвоили урок о бесконечно малых функциях:

Пример 14

Найти предел функции двух переменных

Решение совсем близко.

И заключительные примеры статьи посвящены второму замечательному пределу:

Пример 15

Приём решения такой же: делаем дробь трёхэтажной и искусственным возведением в степень организуем второй замечательный предел :

В силу непрерывности экспоненциальной функции, значок предела можно перенести в показатель:

Чтобы не возиться с мелкими символами, предел показателя удобно вычислить отдельно:

Тут лучше использовать метод «опровержения», рассмотрев 2 пути, однако это как раз то исключение, о котором я рассказал после Примера 6. Перейдём к полярным координатам:
Если , то

Результат зависит от полярного угла, поэтому предела , а значит, и предела  не существует.

Готово!

Геометрически это означает, что в процессе приближения к бесконечности по различным направлениям угла , поверхность  будет бесконечно близко приближаться к различным значениям высоты  . Так, например, если уходить на бесконечность по прямой , то для соответствующего угла 45 градусов:

И, как я уже отмечал в самом начале, на практике вам вполне могут предложить вычислить не общий предел, а предел по какому-либо частному пути, да тот же самый: «Вычислить предел  по направлению прямой ». Проблем вообще никаких:

Существует и частный предел по «школьной» параболе , в этом случае «угол атаки» , и задача легко решается через полярные координаты:

И тут следует напомнить, что предела по многим путям вовсе не существует. Например, если мы уходим на бесконечность по синусоидальному или спиралевидному маршруту. Проще всего это обосновать в полярной системе координат: угол «фи» постоянно меняется, а посему и предела нет.

На посошок:

Пример 16

Вычислить предел функции двух переменных или доказать, что его не существует:

Всё очень просто!

Материалов данного урока должно хватить для решения большинства практических примеров по теме, но, тем не менее, на следующих занятиях (Повторные пределы и Непрерывность функции двух переменных), мы продолжим работать с пределами функций двух переменных, и, более того, я расскажу вам ещё об одном эффективном методе их решения.

Спасибо за активное участие и до скорых встреч!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте