Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

ТФКП для начинающих. Функция комплексной переменной

Не занимайтесь комплексными функциями после комплексного обеда

Открываем новый раздел под названием теория функции комплексной переменной (ТФКП), часто также говорят, комплексного переменного. Теории будет, как обычно, немного – больше практики, в соответствии с концепцией проекта.

Начинающим рекомендую изучать всё по порядку, к слову, вы уже далеко не «чайники», и для «самоваров» – оглавление, ибо урок задался недетский:

• комплексные числа, быстрое повторение;
• введение в ТФКП, рекомендуемая доступная литература;
• понятие функции комплексной переменной, простейшие примеры;
• комплексная экспонента;
• комплексный синус и косинус, ну и тангенс с котангенсом, вестимо;
• комплексные гиперболические функции;
• формула Эйлера;
• действительная и мнимая часть комплексной функции;
• комплексный логарифм;
• комплексная степеннАя и показательная функция;
• комплексные обратные тригонометрические функции;
• комплексные обратные гиперболические функции,

+ план дальнейшего освоения темы.

Поехали:

для изучения раздела нужно знать, что такое комплексные числа и уметь выполнять действия с ними. Но азы быстренько повторим, да и новенькая инфа сразу будет:

комплексное число – это двумерное число вида , где  и  – произвольные действительные числа, а  – мнимая единица. Число  – это действительная часть () комплексного числа , число  – его  мнимая часть () .

Множество комплексных чисел обозначают стилизованной, утолщённой или жирной буквой .

Комплексные числа изображают на комплексной плоскости, которая состоит из действительной оси, мнимой оси и начала координат:

Кроме того, будем рассматривать бесконечно удалённую точку . В теории строго доказано (и показано), что она единственна – в какую бы сторону комплексной плоскости мы ни уходили, то будем приближаться к этой точке. …Ну вот и повеяло матаном :)

Запись  называют алгебраической формой комплексного числа, но это не единственный вариант. Любое комплексное число (кроме нуля) можно представить в тригонометрической форме , где  – это модуль комплексного числа, а  – его  аргумент.

Модуль  – это расстояние  от соответствующей точки комплексной плоскости до начала координат (красный отрезок на чертеже выше), аргумент   – это угол между положительной полуосью действительной оси  и соответствующим отрезком (зелёная стрелка).

Если число, расположено в верхней полуплоскости либо на оси , то аргумент, очевидно, находится в пределах . Если же число лежит в нижней полуплоскости, то угол принято «откручивать» по часовой стрелке и добавлять к нему знак «минус», а посему он принимает значения из интервала . Значение из промежутка  называют главным значением аргумента. Ещё есть не главные, их бесконечно много. Это когда к главному «прикручиваются» обороты, так, вместо угла  можно невозбранно рассмотреть  или, например, . Впрочем, за последний вариант бранить вас будут :)

Таким образом, аргумент можно записать в виде:
, где  принимает все целые значения . Далее под записью  будем понимать именно главное значение аргумента, когда .

Что касаемо формул, то здесь разнообразие. И чтобы не писать слишкоммногобуков:

ну а с геометрией (где какие числа лежат) разберитесь самостоятельно. И выпишите, кстати, эти формулы на листочек, будет удобно в них заглядывать.

…Что ещё? Ещё вспомним понятие сопряженного комплексного числа. Числа вида ,  называют сопряжёнными (по отношению друг к другу). Обратите внимание на чёрточку сверху второго числа – это общепринятое обозначение.

Теперь переходим непосредственно к теме с аббревиатурой ТФКП, которую также называют комплЕксным анализом. Не ошибайтесь в ударении – это как компАсы у матросов или дОбыча у горняков, к тому же кОмплексный анализ подразумевает нечто другое, а именно всеобъемлющий анализ чего-либо.

А анализ комплЕксный – это анализ математический с его основными понятиями: функция, предел, непрерывность, производная, интеграл, ряд и др. С той поправкой, что все эти вещи рассматриваются в комплексной области.

Сейчас, когда вы читаете эти строки, на сайте представлены далеко не все темы ТФКП, поэтому я сразу приведу рекомендуемый список доступной литературы. Для наработки практики можно использовать следующие источники:

– М. Л. Краснов, А. И. Киселёв, Г. И. Макаренко - Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями;

– П. Е. Данко и КО - Высшая математика в упражнениях и задачах;

– методичка Пожарского А. А. (СПбГУ) – очень обстоятельный источник с достаточно редкими темами; также мне понравились методички мехмата и КФУ.

И потребителям теории:

– И. И. Привалов - Введение в теорию функции комплексного переменного – имеет статус учебника, что дорогОго стОит;

– И. Г. Араманович, Г. Л. Лунц. Л. Э. Эльсгольц - Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.

+ конечно, стандартные кирпичи по матану, Бохан, Фихтенгольц и др.

Выражаю благодарность посетителям, которые порекомендовали некоторые из этих источников в тематическом посте нашего блога, кстати, загляните – найдёте массу полезной информации.

Начинаем. И начнём мы с основополагающего понятия:

функцией комплексной переменной называют правило (закон) , по которому каждому допустимому комплексному значению  ставится в соответствие одно или бОльшее количество значений .

В первом случае функцию называют однозначной, первое, что пришло в голову: ,  во втором – многозначной, классика жанра: – как вы помните, корень энной степени имеет ровно «эн» корней.

Рассмотрим . Очевидно, эта функция определена для всех значений , и не составляет никакого труда вычислить её значение в любой точке. Так, если , то . Геометрически это изображается с помощью двух комплексных плоскостей:

Плоскость, которая соответствует независимой переменной , обозначают , а плоскость, которая соответствует значениям  функции  –  буквами . Большие буквы тоже можно использовать: и , что привычнее.

В отличие от действительной переменной, комплексная переменная  не имеет определённого направления изменения, и мы можем двигаться по произвольной траектории в комплексной плоскости . При этом правило   разные линии плоскости  отображает в разные (в общем случае) линии плоскости . Таким образом, можно говорить о графике функции комплексной переменной. Правда, график этот специфический, у меня он ассоциируется с морозными узорами на стекле и масляными пятнами на воде. И что именно происходит – сразу понятно лишь в простых случаях, так, функция  «вытягивает» все точки плоскости  в 2 раза, отображая их на плоскость .

В некоторых источниках графики раскрашивают и даже строят трёхмерные модели, но мы не будем на этом останавливаться, важно, что у вас сложилось само понимание графика функции .

Немедленно приступаем к практике, повторяя заодно алгебраические действия с комплексными числами:

Пример 1

Вычислить значение комплексной функции в точке. Представить его в тригонометрической форме.

а)   в точке ;
б)  в точках , ;
и давайте ещё рассмотрим такой пример:
в)  в точке .

Решение: а) Если функция задана «иксами» / «игреками», то всё очень просто. Это не что иное, как действительная и мнимая часть независимой переменной . В нашем случае , стало быть , и соответствующее значение функции:

Представим результат в тригонометрической форме. Для этого нужно найти его модуль:

и аргумент, поскольку , то (см. формулы выше):

Таким образом, .

И следующие пункты более распространены:

б) если функция задана непосредственно через «зет», то выполняем обычные действия, главное, помнить знаменитый квадрат  и быть внимательным:

Вычислим значение функции  в точке , используем формулу :

Вычислим значение той же функции в точке :

Представим полученные значения в тригонометрической форме. Найдём модуль и аргумент числа :

Таким образом, .

Теперь обратим внимание на следующую вещь: значения ,   получились сопряжёнными, а у таких чисел модули равны, а аргументы – противоположны по знаку. Сиё следует из элементарной геометрии.

Поэтому .

Напоминаю, что знак «минус» под косинусом ни в коем случае убирать нельзя (пользуясь чётностью косинуса). Минус из-под синуса тоже выносить не нужно. Если аргумент отрицателен, то записываем его именно так, как записано в этом примере.

в) Вычислим значение функции  в точке :

Используем стандартный приём. Чтобы избавить от мнимой единицы на нижнем этаже, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю число, дабы воспользоваться формулой :

, модуль и аргумент находить не хочется.

А вот на счёт самой функции  есть что сказать. Как вы прочувствовали, с комплексными числами можно делать многое, но на ноль всё-таки делить нельзя :) Поэтому данная функция определена  для всех «зет», кроме . Запишем этот факт с помощью стандартного значка области определения функции:  – все комплексные числа кроме нуля.

Таким образом, для комплексной функции в ходу те же понятия области определения  и области значений  функции.

Тренируемся самостоятельно – в лучших традициях я предлагаю самые интересные задания:

Пример 2

Вычислить значение комплексной функции в точке, найти его модуль и аргумент:

а)  в точках ;
б)  в точке

Решения и ответы в конце урока.

Хорошо, то были наиболее простые функции. Но как быть с экспонентой, логарифмом, синусом, косинусом и иже с ними функциями? Существуют ли они в комплексной области? Да, существуют! Правда, теряют «действительный» («школьный») смысл.

Комплексная экспонента – есть сумма функционального ряда:
 – знакомая картинка, только раньше мы имели дело с действительной экспонентой («е в степени икс»), и теперь пришло время обобщить её на комплексный случай

Этот ряд сходится абсолютно к  на всей комплексной плоскости (при любом конечном значении «зет».). О понятии сходимости ряда я рассказал, когда мы раскладывали в ряды действительные функции, но повторюсь и сейчас. Рассмотрим произвольное конечное «зет», например, . Если мы возьмём несколько первых членов ряда, скажем, три, то получим очень грубое приближение соответствующего значения экспоненты:  Если членов взять больше, например, пять, то сумма (тоже конкретное число) уже будет лучше приближать истинное значение . И чем больше членов – тем точнее приближение. И, наконец, бесконечная сумма   –  в точности равна . Обращаю внимание, что значение  не «летает где-то в воздухе» – ему соответствует определённая точка комплексной плоскости, и чуть позже мы представим это число в алгебраической форме .

Для комплексной экспоненты справедливы привычные свойства , и, кроме того, эта функция периодическая (да, вот такая неожиданность) с мнимым периодом , то есть справедливо равенство , где  («ка» принимает все целые значения).

Комплексные синус и косинус – есть суммы следующих рядов:

которые абсолютно сходятся тоже на всей комплексной плоскости.

Это функции периодичные с привычным действительным периодом  и нулями  для синуса и  для косинуса. Однако комплексные синус с косинусом могут приниматься любые значения, в том числе действительные, причём бОльшие единицы, поэтому что-то вроде  – обычное себе дело.

Для комплексных тригонометрических функций справедливы все «действительные» тригонометрические формулы, в частности, .

Особое место в комплексном анализе занимают гиперболические функции, которые до сих пор оставались в тени. Гиперболический синус:

и гиперболический косинус:

Эти ряды элементарно получаются из разложения экспоненты для  и для , и желающие могут вывести их самостоятельно. Гиперболический тангенс с котангенсом определяются аналогично: . Для комплексных гиперболиков справедливы «действительные» формулы, самая известная из них – основное гиперболическое тождество: .

Преобразуя соответствующие ряды, несложно выразить комплексный синус и косинус через экспоненту: , откуда следует их взаимосвязь с гиперболическими собратьями: , ну или так можно записать: .

Из разложений экспоненты, синуса и косинуса следует* важнейшая, я бы даже сказал одна из ключевых – формула Эйлера:

, где   – произвольное действительное число.

* Самостоятельно подставьте  в разложение экспоненты и получИте формулу.

В частности, если  – аргумент комплексного числа , то мы можем записать его не только в тригонометрической , но ещё и в показательной форме . Таким образом, показательная форма комплексного числа – это не какая-то «надуманная» конструкция, а строгая вещь, основанная на формуле Эйлера.

Известнейший частный случай формулы соответствует значению :

 – в результате чего получается экзистенциальное тождество, связывающее пять фундаментальных констант: ноль, единицу, «е», «пи» и «и». Этот факт приводил в восторг многих математиков, и мы с воодушевлением продолжаем тему.

С помощью формулы Эйлера легко представить в алгебраической форме любое значение экспоненты. Если  – произвольное комплексное число, то:

В частности, для  имеем:
 – число  в алгебраической форме. Значения  и  получились «плохими» (но конкретными!), поэтому так и оставляем.

Синус и косинус комплексного значения  тоже можно представить в алгебраической форме, формулы приведу без вывода:

Так, для того же значения :

Ради исследовательского интереса проверьте формулы для произвольного действительного «зет», например,  (учитывая, что ).

Эти три формулы (экспоненты, синуса, косинуса) перепишите себе на листок – будут постоянно требоваться на практике. Напомню также выражения , с помощью которых можно перейти от гиперболиков к «обычному» синусу и косинусу, ну а их формулы только что были выше.

Продолжаем:

Пример 3

а) вычислить значение функции   в точке , результат представить в алгебраической форме;
б) Записать число  в алгебраической форме;
в) …нет, маньячить не будем, решаем:

а) Вычислим значение функции  в точке :

используем формулу :

б) Используем формулу :

И творческие примеры для самостоятельного решения:

Пример 4

а) решить уравнение  (используйте запись );
б) представить в алгебраической форме число  (формула есть выше!).

Сверяемся и продолжаем.

До сих пор мы находили значения функций «вручную», и возникает вопрос: а нельзя ли усовершенствовать процесс, чтобы сразу подставлять «икс» и «игрек» из  в функцию и получать результаты? Конечно, можно! И нужно, ведь это удобно.

Функцию  можно представить в виде , где  и  – это функции двух действительных переменных, которым посвящен целый раздел сайта. При этом функцию  называют действительной частью функции , а  – её мнимой частью.

Пример 5

Найти действительную и мнимую части функций, возьмём те, которые уже были:

а) ;
б) .

Решение: а) поскольку , то:

теперь нужно перегруппировать слагаемые – сначала записать те, в которых нет мнимой единицы, а потом те – где она есть, после чего вынести «и» за скобку:

Таким образом,  действительная часть функции , а  – её мнимая часть.

Как я уже отметил, запись  удобно использовать для расчёта конкретных значений функции, например, в точке . Распишу очень подробно, хотя на самом деле вычисления здесь устные:

Что и говорить, это гораздо удобнее, чем подставлять  непосредственно в . А если точек много, то без формы  обойтись вообще практически невозможно.

б) Поскольку , то:

используем формулу Эйлера :

Таким образом,  – действительная часть функции , а  – её мнимая часть.

Самостоятельно:

Пример 6

Определить действительную и мнимую часть функций:

а) , формула куба суммы в помощь;
б) ;
в) .

Этого пока достаточно, ещё успеется много раз :)

И во второй части нашего увлекательного урока кратко познакомимся с другими функциями.

Комплексный логарифм  определяется как функция, обратная к экспоненциальной, опуская выкладки:

, где  («ка» принимает все целые значения), при этом  называют главным значением логарифма, оно получается при  и представИмо в алгебраической форме следующим образом:

Таким образом, логарифм можно расписать так:
, где .

Как видите, это многозначная функция, а точнее бесконечнозначная – каждому ненулевому значению «зет» соответствует бесконечно много значений «дубльвэ».

Для комплексного логарифма справедливы привычные формулы:

и не очень привычная:
, где  – произвольное комплексное число.

Пример 7

Вычислить значения функции  в точке .

Решение: запишем функцию в виде  и вычислим её значения в точке :
 и давайте сразу разберёмся, что здесь к чему.

А ситуация следующая: значению   соответствует бесконечно много значений логарифма , прежде всего, это его главное значение  (при ) и остальные значения . Можно ещё записать так:

Представим главное значение логарифма в алгебраической форме по формуле . Для этого найдём модуль и аргумент числа :

Таким образом:
, где  – значения логарифма  в алгебраической форме.

Пример 8

Вычислить  и .

Быстренько решаем самостоятельно и переходим к другим функциям.

Общая степеннАя функция , где  – произвольное комплексное число, определяется с помощью основного логарифмического тождества, справедливого и в комплексном случае:

Очевидно, эта функция многозначна, и её главное значение соответствует главному значению логарифма: .

Общая показательная функция , где  определяется аналогично:
 и имеет главное значение .

Рассмотрим «классические» примеры:

Пример 9

а) вычислить значения функции  в точке ;
б) вычислить .

Решение: а) если , то значения степеннОй функции  таковы:

Значения  только что были найдены в Примере 8:
,  – таким образом, «и» в степени «и», оказывается, равно бесконечному количеству действительных значений.

б) Логарифм  можно вычислить двумя способами.

1) Непосредственно по определению:

Поскольку (см. предыдущий пункт)  для всех , то все эти числа расположены на действительной положительной полуоси , а значит, их модули: , а аргумент . Таким образом:
, где .
Что это за конструкция? Здесь каждому целому значению «эм» соответствует бесконечно много целых значений «ка». Вот такое вот получилось множество значений .

2) Вычислим этот логарифм с помощью свойства :

ну а логарифм «и» был найден в Примере 8:
, где .

Пара примеров для самострельного решения:

Пример 10

а) записать в алгебраической форме ;
б) вычислить ;
в) найти значения функции  в точке .

Результаты представить в алгебраической форме (формула Эйлера в помощь).

И на посошок арки. Обратные тригонометрические функции в комплексной области определяются как функции, обратные к , и выражаются через комплексный логарифм:

при этом в разных источниках вы можете встретить несколько разные формулы для арктангенса и арккотангенса (кстати, не путайте их по невнимательности).

Эти функции многозначны (ибо логарифм) и их главные части, обозначаемые , , , , соответствуют главному значению логарифма.

Решим эпичное уравнение:

Пример 11

Решение: поскольку , то обратные значения:

Используем формулу , здесь, чтобы не возникло «накладок» с обозначениями вместо «зет» я использовал букву «тэ»:

квадратный корень имеет два значения, поэтому получаем две ветки решений:
 и

1) Найдём значения 
Поскольку число  лежит на мнимой оси, причём выше нуля, то:

Таким образом:

2) И со значениями  почти всё так же:
 (обратите внимание, что  тоже больше нуля и число  лежит на мнимой оси – тоже в верхней полуплоскости).
и в результате получаем:

Обе ветки решения можно записать единой строкой, используя значок «плюс-минус»:

ответ:  – корни уравнения .

И фантазии В. Ф. Чудесенко для самостоятельного решения:

Пример 12

Представить  в алгебраической форме.

Образец для сверки внизу страницу. И для справки приведу формулы обратных гиперболических функций, их творчески можно назвать ареаболиками :) Они взаимосвязаны с арками тригонометрических функций следующим образом:

ареасинус: ;
ареакосинус: ;
ареатангенс: ;
ареакотангенс: .

Ну а арки в свою очередь выражаются через логарифм. Таким образом, если вам дано что-то вроде , то сначала переходим к соответствующему арку:
, а затем – к логарифму, формулы там недалеко вверху были.

На этом первое занятие подошло к концу, хотелось короче, но получилось как всегда :) Далее по курсу разберём:

– Области на комплексной плоскости – важнейший материал, нужный во многих темах;
– Линии на комплексной плоскости. Параметрический вид;
– Отображение линий и областей с помощью комплексной функций;
– Предел и непрерывность комплексной функции;
– Производная функции комплексной переменной;
– Как найти функцию по известной действительной или мнимой части?
– Конформное отображение. Смысл производной
…

(продолжение следует)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте