Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?
Повторяем школьный курс

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Как найти рациональные корни
многочлена? Схема Горнера

Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать сходимость
несобственного интеграла?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

ТФКП для начинающих
Как построить область
на комплексной плоскости?

Линии на С. Параметрически
заданные линии

Отображение линий и областей
с помощью функции w=f(z)

Предел функции комплексной
переменной. Примеры решений

Производная комплексной
функции. Примеры решений

Как найти функцию
комплексной переменной?

Конформное отображение
Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Статистические оценки
и доверительные интервалы

Оценка вероятности
биномиального распределения

Оценки по повторной
и бесповторной выборке

Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона

Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия

Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?

Уравнение линейной регрессии
Проверка значимости линейной
корреляционной модели

Модель пАрной регрессии.
Индекс детерминации

Нелинейная регрессия. Виды и
примеры решений

Коэффициент ранговой
корреляции Спирмена

Коэф-т корреляции Фехнера
Уравнение множественной
линейной регрессии

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом


  Карта сайта


Линии на комплексной плоскости.
Параметрически заданные линии

Казалось бы, при чём здесь х, у…


Этот урок будет полезен не только адептам комплексного анализа, но и всем, кто хочет более подробно ознакомиться с линиями, заданными параметрически, до коих-таки дошли ноги.

Как можно задать линию на комплексной плоскости? Во время построения различных комплексных областей мы естественным образом присоединяли к комплексной плоскости декартову систему координат  и записывали уравнения линий «по-школьному», например,  и так далее:

Этот способ прост и широко используется на практике. Однако в некоторых случаях более удобен другой вариант, а именно параметрическое задание линии: . Как вариант, линию можно записать двумя параметрическими уравнениями: , где значениям «тэ» соответствуют различные точки  плоскости .

Параметр «тэ» можно ассоциировать с временем: он непрерывно изменятся от «минус» до «плюс» бесконечности , при этом каждому допустимому значению «тэ» соответствует определённая точки комплексной плоскости. Образно говоря, изменяясь, параметр «вычерчивает» линию.

Так, прямая , очевидно, запишется уравнением , прямая   – в виде , а парабола  – так: .

Следует заметить, что «икс» и «игрек» равноценны, в частности, вместо  можно рассмотреть  и эквивалентное уравнение , которое будет «прочерчивать» ту же самую линию, что и  (с точностью до значений параметра).

Уравнение вида  задаёт окружность с центром в начале координат радиуса «а». Оно следует из элементарных геометрических соображений и легко проверяется аналитически. В самом деле, подставим  и  в декартово уравнение  этой окружности:

и, в силу основного тригонометрического тождества:
 – верное равенство, таким образом, любая точка  удовлетворяет уравнению .

При этом для вычерчивания окружности достаточно рассмотреть промежуток , ибо синус с косинусом периодичны, и мы будем бесконечно «ездить» по окружности, если «пройдём» все значения . Также обратите внимание на следующую вещь: окружность «прорисовывается» против часовой стрелки. Направление проще всего установить опытным путём, рассмотрев несколько точек по ходу изменения параметра. Так, для единичной окружности   удобно взять значения  и, получив соответствующие точки , сделать вывод о направлении:

Такое направление, как многие знают из курса математики / физики, называют положительным. Однако ничто не мешает рассмотреть убывающий от  до 0 параметр, и тогда окружность «прорисуется» в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

Если аргумент косинуса и синуса умножить на число, бОльшее единицы, то результат будет достигнут «быстрее», так уравнение  нарисует нам ту же окружность при изменении параметра «тэ» от нуля до «пи». Если же взять «стандартный» промежуток , то окружность прочертится дважды.

И, наоборот, умножая аргумент на число из интервала от 0 до 1, процесс «замедлится», так, уравнение  задаст лишь верхнюю полуокружность при .

Поэтому всегда смотрИте не только на уравнение линии, но и на пределы изменения параметра в той или иной задаче, особенно, на начальное и конечное значение «тэ».

Тренируемся самостоятельно и ни в коем случае не пропускаем это задание:

Пример 1

Записать в параметрической форме :

а) уравнение действительной положительной полуоси , уравнение мнимой оси ;
б) уравнение линии  двумя способами;
в) канонические уравнения эллипса  и гиперболы  (подсказка: взгляните на основное гиперболическое тождество и график гиперболического косинуса). И напомню на всякий пожарный, что .

Сверяемся с решением в конце урока и переходим к более распространённой на практике задаче. Это обратная задача – когда по параметрическому уравнению , удобнее его записать так: , требуется определить вид линии. И здесь есть два «зеркальных» пути, которые направлены на исключение параметра «тэ»:

1) из 1-го уравнения выразить «тэ» через «икс» и подставить во 2-е уравнение,
2) или из 2-го уравнения выразить «тэ» через «игрек» и подставить в 1-е уравнение.

В обоих случаях получаем декартово уравнение  искомой линии, а если повезёт, то функцию  в явном виде:

Пример 2

Определить тип линии:

а) ;

б) ;

в) .

Решаем:
а) Перепишем уравнение  в виде , откуда напрашивается первый путь.

Из 1-го уравнения выражаем  – подставляем во 2-е уравнение :

 – парабола, которую в случае необходимости очень легко построить. А задание, к слову, может требовать от вас ещё и построения чертежа, поэтому я уделю самое пристальное внимание графикам, которые бывают далеко не самыми простыми.

б) Запишем уравнение в виде  и представим его в «алгебраической форме» . Используем формулу Эйлера  для :

и для :
 – используя чётность косинуса и нечётность синуса.

Таким образом:
 или нагляднее
Искомая линия представляет собой эллипс  с полуосями .

Следует заметить, что в вашей задаче может быть предложен конкретный диапазон изменения параметра. Так, пределам  соответствует лишь дуга эллипса в 1-й координатной четверти за исключением, причём, крайней точки .

Ну а если вы позабыли или не знаете, какую линию задают те или иные параметрические уравнения, то можно воспользоваться моим Геометрическим калькулятором (вкладка «Параметрические графики») или онлайн сервисами построения графиков, например, Вольфрамальфа, но должен предупредить – Вольфрам любит начинать отсчёт по осям не с нуля.

в) Расшифруем секанс с тангенсом  и запишем линию в виде .
Из 1-го уравнения даже выражать ничего не надо  – подставляем во 2-е уравнение:
, а вот с синусом повозиться немного придётся.

Из основного тригонометрического тождества  выражаем нужный нам  и из первого уравнения , таким образом:

В результате полученное выше соотношение  запишется в виде:

Возведём обе части в квадрат:

и проведём финальные упрощения:

 – равнобочная гипербола с полуосями  в своём каноническом положении.

Для визуальной проверки результата не помещает «забить» x=2sect и y=2tant в Вольфрамальфа и построить график, ну или мой графопостроитель есть.

Вот так оно бывает, гиперболу, оказывается, можно задать не только гиперболическими косинусом и синусом.

В некоторых примерах может получиться линия более высокого порядка (3-го, 4-го или даже выше) и тогда достаточно дать общий ответ, а-ля « – линия 4-го порядка», если вы конечно не супер-пупер знаток этих линий. Кстати, её и начертить тоже можно с помощью той же вольфрамки – с целью проверки соответствующего параметрического графика или просто ради исследовательского интереса.

Аналогичное задание для самостоятельного решения, самое интересное выбрал :)

Пример 3

Определить тип линии:

а) , не так-то всё тут просто;
б) ;
в)  и пункт на размышления:
г)  – для матёрых ТФКП-нистов.

Думаем (!), решаем, сверяемся (не помешает чертёж в Вольфрамке), разбираемся и продолжаем мучить области и иже с ними границы, отображая их с помощью функций.

Решения и ответы:

Пример 1. Решение:

а) , где  (действительная положительная полуось);
, где  (мнимая ось).

б) , где .
Перейдём от  к обратной функции: . Тогда уравнение той же линии запишется в виде , при этом значение параметра изменяется в пределах .

в) Уравнение эллипса, очевидно, таково: . В этом легко убедиться, подставив ,  в каноническое уравнение  эллипса.

Правая ветвь канонической гиперболы задаётся уравнением  при изменении параметра , причём, это именно одна, правая ветвь, ибо  для всех значений «тэ», а значит, все «иксы» положительны: . Для проверки подставим  и  в декартово уравнение :

 – верное равенство (основное гиперболическое тождество), что и требовалось проверить.

Соответственно, левая ветвь канонической гиперболы задаётся уравнением  при изменении параметра в тех же пределах .

Пример 3. Решение:
а) Запишем линию двумя параметрическими уравнениями: .
Представим 2-е уравнение в виде , при этом обратим внимание, что «игрек» неотрицателен при любом «тэ»:  и равен нулю при .

Представим 1-е уравнение в виде  – при любом «тэ», при этом минимального значения «икс» достигает в точке .

Подставим  в  – имея в виду, что , :

 – луч, исходящий из точки  (значение параметра ) в верхнюю полуплоскость.

При изменении параметра в пределах  этот луч «отрисовывается» дважды.

б) Запишем параметрические уравнения  . Из 1-го уравнения выразим параметр:

 – подставим во 2-е уравнение:
 – это гипербола (см. Пример 21), для пущей ясности уравнение можно допилить: .
Заметьте, что нелегальные значения  соответствуют асимптотам гиперболы.

в) Параметрические уравнения  удовлетворяют типовому неканоническому уравнению гиперболы   (при подстановке получается основное гиперболическое тождество). Поскольку  при любом «тэ», то речь идёт только о верхней ветви гиперболы с вершиной в точке .
Таким образом, уравнение  задаёт верхнюю ветвь гиперболы .

г) Запишем уравнение в виде  и используем формулу Эйлера  для  и для :

В результате получаем параметрические уравнения .
Из второго уравнения следует, что все точки искомой линии лежат на действительной оси, и поскольку косинус периодичен, то «отрисовываться» будет один и тот же отрезок бесконечное количество раз. Если , то . При увеличении параметра до  мы придём в левый конец этого отрезка: , затем снова пойдём вправо – до точки . И так далее, до бесконечности.

Таким образом, искомая линия – есть отрезок  действительной оси, «челночно» проходимый бесконечное количество раз (при изменении параметра ), справа налево и слева направо.

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?


© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте