Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум и библиотека: + подписка на новости проекта!

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Кнопка для сайта: Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



  Карта сайта


Как найти функцию комплексной переменной
по известной действительной или мнимой части?


Рассмотрим еще одну распространенную задачу комплексного анализа: нахождение функции комплексной переменной по известной действительной или мнимой части. Для её освоения необходимо ознакомиться с заданиями урока функция комплексной переменной, где были даны азы темы, поэтому если вы только начинаете разбираться с комплексными функциями, то начните с вышеуказанной статьи.

Сначала вернёмся к задаче предыдущего урока: дана функция комплексной переменной . Требуется найти действительную  и мнимую  части функции и проверить условия Коши-Римана. Найти производную . Ну, или производную в точке, фантазия математических злодеев здесь бедновата.

Коротко повторим алгоритм решения данной задачи: на первом этапе следует выполнить подстановку . Сразу же напоминаю две наиболее ходовые формулы:

В результате функция комплексной переменной должна быть представлена в виде:

Далее идёт проверка условий Коши-Римана. По сути, необходимо найти четыре частных производных и убедиться в справедливости равенств:

В практических примерах условия Коши-Римана выполняются в 99,9% случаев, а значит, с лёгким сердцем можно взять производную .

Зачем я всё это повторил заново? Дело в том, что сейчас нам предстоит рассмотреть обратную задачу, которая формулируется примерно так:

Дана действительная  часть функции комплексной переменной . Требуется найти мнимую часть  функции. Найти саму функцию , используя некоторое начальное условие.

Алгоритм решения будет раскручиваться в обратном направлении:

1) Используя условия Коши-Римана, находим мнимую часть . Очень хорошо, если вы разобрались с дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах, так как хитросплетения первого этапа будут точно такими же, как в тех диффурах.

2) Теперь и действительная и мнимая части известны, поэтому составляем функцию . Дальнейшие действия будут направлены на то, чтобы все «иксы» и «игреки» превратить в «зеты». В частности, наиболее распространенные формулы будут работать в обратном направлении:

То есть, из каши  с помощью раскрытия скобок, перегруппировки слагаемых и т.д. следует выуживать жирные куски масла. Например, составить выражение  и превратить его в .

3) На завершающем этапе будет получена функция , в которой есть только комплексная переменная «зет» и константы. Используя начальное условие, окончательно уточняем функцию . Действие несложное, более подробно вернёмся к нему в практических примерах.

Многие догадались, что существует и зеркальная задача: когда по условию дана мнимая часть , а требуется найти действительную часть . Алгоритм решения практически тот же самый – с помощью условий Коши-Римана находим действительную часть , и понеслась нелёгкая.

Обе задачи встречаются одинаково часто, и я постараюсь максимально детально разобрать оба случая.

Пример 1

Дана действительная часть  функции комплексной переменной. Найти мнимую часть  данной функции и составить функцию , удовлетворяющую начальному условию .

Решение:
1) Сначала найдем мнимую часть функции . В распоряжении у нас есть действительная часть. А что с неё взять, кроме частных производных?

Вспоминаем условия Коши-Римана:

В целях решения данной задачи равенства удобнее переписать в другом порядке:

В соответствии с первым условием:

В соответствии со вторым условием:
 – обратите внимание на смену знака.

В результате у нас протянулся мостик в виде двух частных производных к неизвестной мнимой части:

Следующий этап полностью совпадает с решением дифференциального уравнения в полных дифференциалах, то есть по двум частным производным необходимо восстановить общий интеграл  (мнимую часть). Не сильно хочется, но хотя бы один раз вновь всё пропишу подробно:
 – работаем с этой производной;
 – про эту производную пока забываем.

Поскольку , то общий интеграл  восстанавливаем частным интегрированием по «игрек»:
, где  неизвестная функция, зависящая только от «икс».

Напоминаю, что при частном интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому  можно вынести за знак интеграла. Для самопроверки всегда полезно найти частную производную:   (функция  зависит только от «икс», поэтому её производная по «игрек» равна нулю).

Теперь от нашей недоделанной мнимой части  берём частную производную по «икс»:
 – и результат приравниваем к «забытой» частной производной:

После сокращений получаем:

Восстанавливаем функцию  интегрированием:

Подставляем найденную функцию  в недоделанную мнимую часть . В итоге, после всех манипуляций:
 – мнимая часть функции

2) Действие второе. Найдем функцию :

(1) Подставляем действительную часть , которая была дана в условии и найденную мнимую часть .

(2) Раскрываем скобки.

(3) Выполняем перегруппировку слагаемых, для удобства я заключил их в скобки. В целях перегруппировки нужно проанализировать, что в ближайшей перспективе может получиться? Так, например, смотрим на слагаемое , и в голову приходит мысль, что тут будет фигурировать формула , поэтому, и собираем вместе слагаемые, которые очевидно будут относиться к данной формуле.

(4) Проводим вынесение за скобки некоторых множителей, учитывая, что в нашей функции  всё дело явно сведётся к двум формулам: .
При этом всегда можно сделать проверку, раскрыв скобки, например:
.

(5) Используя две вышеуказанные формулы, получаем функцию

Обратите внимание, что в функции  присутствует только комплексная переменная «зет» и константы. Если остался какой-нибудь мусор с «иксами», «игреками», значит, вы допустили ошибку где-то выше.

3) Третий этап короткий. Найдём значение константы . В соответствии с начальным условием :

В соответствии с условием в ответе следует записать мнимую часть и саму функцию, естественно, с учётом найденного значения константы :

Ответ: ,

Да, конечно, задача не из самых элементарных, но с другой стороны, весьма логично – конструировать гораздо труднее, чем разрушать. По этой причине несложно сделать проверку:

Сначала проверяем выполнение начального условия :
 – начальное условие выполнено.

Второй этап проверки – представить найденную функцию  в виде , иными словами, в точности решить задачу, которая подробно разобрана на уроке функция комплексной переменной.

Творческий пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Дана действительная часть  функции комплексной переменной. Найти мнимую часть  данной функции и составить функцию , удовлетворяющую начальному условию .

Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Не отходя от кассы, рассмотрим зеркальную задачу, когда известна мнимая часть функции. Алгоритм, как уже упоминалось, будет очень похожим:

Пример 3

Дана мнимая часть  функции комплексной переменной. Найти действительную часть  и функцию , удовлетворяющую начальному условию .

Решение:
1) Найдем действительную часть функции .

Так как , то:

Согласно условиям Коши-Римана:
 – работаем с этой производной.
 – про эту пока забываем.

Примечание: в отличие от Примеров 1,2 условия Коши-Римана применяются в «обычном» виде, то есть переписывать их в другом порядке  – не нужно.

Также напоминаю, что без разницы, с какой производной начинать. Можно было «забыть» о первой производной, а пляску начинать со второй – получилось бы совершенно равноценное решение. Впрочем, этот момент хорошо показан в статье Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Едем дальше:

Поскольку , то действительная часть восстанавливается частным интегрированием по «икс». А если интегрируем по «икс», то «игрек» считается константой:
, где  – неизвестная функция, зависящая только от «игрек».

Для проверки можно мысленно или на черновике найти частную производную:
, что и требовалось проверить.

Берём недоделанную действительную часть  и находим частную производную по «игрек»:
 – результат приравниваем к «забытой» частной производной:

Таким образом, после сокращений:

Интегрированием восстанавливаем функцию :

В результате:
 – действительная часть функции .

2) Найдем функцию :

(1) Подставляем мнимую часть и найденную действительную часть.

(2) Раскрываем скобки.

(3) Снова выполняем перегруппировку слагаемых. Анализирую слагаемые, видим, что среди них есть слагаемые с кубами, а значит, дело сведётся к формуле . Поэтому в первой скобке группируем слагаемые, которые явно относятся к данной формуле. Аналогично – замечаем среди слагаемых слагаемые с квадратами, и во второй скобке группируем слагаемые, чтобы далее воспользоваться формулой .

(4) Проводим вынесение за скобки множителей, чтобы внутри осталось, то, что нужно. При этом полезно мысленно или черновике сделать проверку, раскрыв скобки  и .

(5) Запаковываем функцию.

В итоге получена функция , в которой присутствует только комплексная переменная «зет» и константы.

3) В соответствии с начальным условием :

Ответ: ,

Готово. Примеры с кубами встречаются достаточно часто, поэтому два примера для самостоятельного решения:

Пример 4

Дана мнимая часть  функции комплексной переменной. Найти действительную часть  и искомую функцию , удовлетворяющую начальному условию .

Этот пример можно решить по шаблону только что разобранного примера. Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Пример 5

Для заданной функции  найти сопряженную функцию  и функцию  при известном значении .

Для полного счастья пример, где дана действительная часть , здесь целесообразно придерживаться алгоритма Примеров №№1-2. Единственное отличие будет состоять в том, что появится «зет» в кубе.

Также обратите внимание на формулировку условия, она немного другая, но не меняет смысла задачи. Полное решение и ответ в конце урока.

В большинстве случаев вам встретится что-нибудь из уже рассмотренных заданий с квадратами да кубами, но время от времени попадаются более занятные примеры на формулы Эйлера, о которых шла речь в статье функция комплексной переменной.
Вот они, вот они:

Коль скоро мы рассматриваем обратную задачу, то данные формулы тоже будут применяться в обратном направлении:

Еще два, причём, не самых простых примера из реальных контрольных работ студентов:

Пример 6

Для заданной функции  найти сопряженную функцию  и функцию  при заданном начальном условии.

Решение: Первый пункт алгоритма обкатан и стандартен:

1) Найдем мнимую часть функции .
Так как , то:

В соответствии с условиями Коши-Римана (а когда дана действительная часть, их нужно сначала переписать в другом виде – см. Примеры №№1,2):
 – работаем с этой производной;
 – про эту производную пока забываем.

Поскольку , то:

Найдём частную производную по «икс»:
 – результат приравниваем к «забытой» частной производной:

Сокращаем равенство и восстанавливаем функцию :

В результате:
 – мнимая часть функции

2) Второй пункт будет куда веселее. Составим функцию :

(1) Подставляем действительную и мнимую части.

(2) Раскрываем скобки.

(3) Выполняем перегруппировку слагаемых, при этом выносим  за скобку.

(4) В скобках необходимо организовать конструкцию , чтобы воспользоваться формулой Эйлера. Немного подумав, догадываемся, что нужно вынести за скобку мнимую единицу.

(5) Используем формулу Эйлера , при этом

(6) По школьному правилу действий со степенями подводим экспоненты под единый показатель. Попутно в показателе раскрываем скобки

(7) В показателе экспоненты проводим окончательную упаковку:

В результате получена вполне симпатичная функция , в которой присутствуют только комплексная переменная «зет» и константы.

3) Найдём значение константы … кто-нибудь еще помнит об этом маленьком третьем этапе? =). В соответствии с начальным условием :

Таким образом:

Ответ: ,

Погорячился я со сложностью, на самом деле пример был довольно прост. Но ничего страшного, я привык исполнять обещания, держите:

Пример 7

Для заданной функции  найти сопряженную функцию  и функцию  при заданном начальном условии.

В предложенном примере дана мнимая часть функции, поэтому придерживаемся алгоритма Примеров №№3,4. Задание технически сложное, потребуются хорошие навыки нахождения частных производных, а на втором этапе нужно будет догадаться, как распутать клубок и применить формулу Эйлера. Однако пример взят из реальной контрольной работы студента заочного отделения. Полное решение и ответ в конце урока.

На уроке функция комплексной переменной также были рассмотрены формулы для синуса и косинуса:

Но обратной задачи по этим формулам мне ни разу не встречалось. Тем не менее, я воодушевился предыдущим примером, на лице появилась добрая улыбка, а душа прям таки требует рассказать вам ещё какую-нибудь гадость. Поэтому в заключение разберу любопытный пример, который не так давно встретился в моей практике.

Пример 8

Восстановить функцию  по известной мнимой части  и значению .

Условие опять немного перефразировано.

Решение:
1) Найдем действительную часть функции .
Нарезаем частные производные от :

В соответствии с условиями Коши-Римана:
 – работаем с этой производной;
 – про эту пока забываем.

Если , то:

…и на этом этапе стандартного алгоритма я крепко задумался. Превратил мысленно «игреки» в константы, и пришёл к выводу, что интеграл, конечно, берётся…. Но является довольно сложным с неприятным и долгим решением. Кстати, похожие штуковины рассмотрены в статье Сложные интегралы.

Что делать? Есть другая возможность!
 – про эту производную пока забываем;
 – работаем с этой производной.

То есть, восстановление действительной части пытаемся начать с другой частной производной, вдруг интеграл проще получится?

Если  , то:

И действительно, интеграл получился намного более простым! Здесь я использовал метод подведения функции под знак дифференциала (не забывайте, что «икс» – константа!).

Находим частную производную по «икс» от недоделанной действительной части:

Приравниваем результат к «забытой» частной производной:

Страшные дроби благополучно сократились и:

Таким образом:  – действительная часть функции .

2) Найдем функцию :

(1) Поставляем действительную и мнимую части.

(2) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому оформляем дроби под единым знаменателем.

(3) Раскладываем знаменатель на множители при помощи формулы разности квадратов: . Конечно, это не совсем очевидно, особенно для чайника. И для  сомневающихся читателей выполню проверку:

(4) Сокращаем дробь на .

(5) Упаковываем функцию: .

Готово:

3) В соответствии с начальным условием:
Таким образом:  – искомая функция.

Ответ: ,

Вот так вот иногда бывает. Казалось бы, такая простенькая функция , а сколько приключений! Никогда не нужно теряться – если дверь закрыта, пробуйте залезть в форточку! И не забывайте, я в доле =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:
1) Найдём мнимую часть . Частные производные от действительной части:

В соответствии с  условиями Коши-Римана:

Поскольку , то:

 
Таким образом:


В результате:
 – мнимая часть функции
2) Найдем функцию :

3) В соответствии с начальным условием :

Ответ: ,

Пример 4: Решение: Найдем действительную часть функции .
Так как , то:

В соответствии с условиями Коши-Римана:
 
Поскольку , то:

Найдём частную производную по «игрек»:
 
Таким образом:


В результате:
 – действительная часть функции .
Найдем функцию :

В соответствии с начальным условием :

Ответ: ,

Пример 5: Решение: Найдем мнимую часть функции .
Вычислим частные производные от :

В соответствии с условиями Коши-Римана:

Так как , то:


Таким образом:


В результате:  – мнимая часть функции .
Найдем функцию :

В соответствии с начальным условием:
Ответ: ,  – искомая функция.

Пример 7: Решение: Найдем действительную часть функции .
Так как , то:

В соответствии с условиями Коши-Римана:
 
Поскольку , то:

Примечание: Интеграл  берётся по частям.
Найдём частную производную по «игрек»:
 
Таким образом:

В результате:
 – действительная часть функции .
Найдем функцию :

В соответствии с начальным условием :

Ответ: ,

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено