Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Как вычислить двойной интеграл? Примеры решенийПрозвучал удар гонга, который открывает второй раунд в бою с двойными интегралами. Если вы недавно надели перчатки или вообще боксируете с грушей, то, пожалуйста, начните с первого раунда Двойные интегралы для чайников. Настоятельно рекомендую разобраться со всеми примерами вводного урока без халтуры, это очень важно. К тому же, добрый дядя Саша нарисовал много картинок, которые можно распечатать и наклеить у себя в туалете. Помните, что Коперник свои блестящие открытия в астрономии делал именно там. Однако задорное получилось вступление…. Задумался вот… почему? Да потому что мне хорошо. А отчего хорошо, поясню в конце статьи. Вспоминаем общую запись двойного интеграла: В первой статье Двойные интегралы для чайников я очень подробно рассмотрел понятие двойного интеграла, алгоритм его решения, важнейшие задачи на обход области интегрирования. Также были прорешаны простейшие двойные интегралы в примерах на нахождение площади плоской фигуры. Снова посмотрим на общую запись двойного интеграла и заметим, что в нём притаилась функция двух переменных . А когда речь заходит о функции двух переменных, то это часто попахивает частными производными второго порядка. Поэтому для освоения примеров вам нужно уметь более или менее уверенно их находить. В большинстве практических задач требуется формально вычислить двойной интеграл, но, помимо этого, он обладает отличным геометрическим смыслом – с помощью двойного интеграла помимо площади можно вычислить еще и объём. Геометрический смысл двойного интеграла поясню ниже на конкретных примерах. Начинаем набивать наш двойной интеграл разнообразной начинкой: Пример 1 Вычислить двойной интеграл Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже: Напоминаю, что выполнение чертежа – это строго показанный начальный этап решения. Чертёж крайне важно выполнить правильно и точно, поскольку ошибка в графике незамедлительно запорет всё задание. Выберем следующий порядок обхода: Вопросы порядка обхода области интегрирования, я комментировать практически не буду, пожалуйста, смотрите статью Двойные интегралы для чайников. Таким образом: Обратите внимание на следующее действие: в данном случае можно вынести «икс» из внутреннего интеграла во внешний интеграл. Почему? Во внутреннем интеграле интегрирование проводится по «игрек», следовательно, «икс» считается константой. А любую константу можно вынести за знак интеграла, что благополучно и сделано. С интегралами настоятельно рекомендую разбираться по пунктам: 1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, найдём внутренний интеграл: Вместо «игрека» подставляем функции! 2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл , при этом ни в коем случае не забываем про «икс», который там уже находится: Готово. Замечательно, если у вас под рукой есть микрокалькулятор, на котором можно считать обыкновенные дроби, он значительно ускорит заключительные вычисления. В последующих примерах я не буду подробно расписывать приведение дробей к общему знаменателю, а просто запишу ответ. Выполняем вторую часть задания: изменим порядок обхода области и вычислим двойной интеграл вторым способом. Перейдём к обратным функциям: Для наглядности еще раз приведу чертёж, он будет точно таким же, но с другими обозначениями графиков: Второй способ обхода области: Таким образом: Вот здесь уже «икс» является «родным» для внутреннего интеграла, поэтому его нельзя вынести во внешний интеграл. 1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим внутренний интеграл: Вместо «икса» подставляются функции! 2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл и проведём окончательные вычисления: Результаты совпали, значит, задание выполнено верно. Если есть время, постарайтесь всегда проводить проверку, даже если этого не требуется в условии: вычислили интеграл одним способом – затем изменили порядок обхода области и вычислили вторым способом. Ответ: Пример 2 Вычислить двойной интеграл Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что в двойном интеграле изначально присутствует константа. А константу можно вынести за знак двойного интеграла, в данном случае: Как видите, свойство линейности справедливо не только для «обычных», но и для кратных интегралов. Интеграл от интеграла недалеко падает. Самое главное потом при вычислениях вынесенную константу не потерять. А забывают о ней часто. Примерный образец чистового оформления примера в конце урока. Двойной интеграл как объем телаРассмотрим основной геометрический смысл двойного интеграла . Предполагаем, что функция существует в каждой точке плоской области и задаёт некоторую поверхность трехмерного пространства. Для определенности считаем, что , то есть поверхность располагается над плоскостью . Согласно общей концепции интегрирования, произведение равно бесконечно малому объёму элементарного кусочка тела (посмотрите на кусок, выделенный на чертеже пунктирными линиями, и мысленно сделайте бесконечно малыми его «длину» и «ширину»). Двойной же интеграл объединяет эти бесконечно малые значения по всей области , в результате чего мы получаем суммарный (интегральный) объём всего цилиндрического бруса : Что это за тело, думаю, понятно – снизу цилиндрический брус ограничен заштрихованной областью , а сверху – фрагментом поверхности («шапкой»). Дополнительно поясню геометрический смысл на Примере № 1. В нём мы рассматривали двойной интеграл , причём область интегрирования имела следующий вид: Из начала координат перпендикулярно экрану монитора мысленно проведите на себя стрелку оси . Подынтегральная функция задаёт плоскость в пространстве, которая проходит над областью и ограничивает цилиндрический брус сверху, поэтому значение его объёма получилось положительным: . Да, такой вот малюсенький брусок, 1/15-я единичного «кубика». Двойной интеграл может быть и отрицательным, в таких случаях график функции полностью (или бОльшей частью) лежит под областью . И если в задаче требуется найти именно объём тела с помощью двойного интеграла (в тройном этот вопрос отпадает), то к «кускам», лежащим ниже плоскости , следует добавить знак «минус» (по аналогии с площадью криволинейной трапеции, лежащей ниже оси абсцисс). Однако на практике почти всегда встречаются задачи на формальный расчёт двойных интегралов, поэтому мы продолжим совершенствовать технику вычислений: Пример 3 Вычислить двойной интеграл Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже: После того, как корректно выполнен чертеж и правильно найдена область интегрирования, самое время разобраться с порядком обхода. Согласно первому способу обхода, область придется разделить на две части, при этом нужно будет вычислить следующие интегралы: Энтузиазма, прямо скажем, мало. Проанализируем, а не проще ли использовать второй способ обхода области? Перейдем к обратным функциям, переход здесь элементарен: Порядок обхода области: Таким образом: Ну вот, совсем другое дело. И снова заметьте, что во внутреннем интеграле интегрирование осуществляется по «икс», поэтому константу можно сразу вынести во внешний интеграл 1) Найдём внутренний интеграл: Всё-таки подстановка пределов интегрирования, порой, выглядит своеобразно. Сначала вместо «икса» мы подставили верхний предел интегрирования , затем вместо «икса» подставили нижний предел интегрирования . Будьте внимательны при подстановках! 2) Результат предыдущего пункта подставим во внешний интеграл, при этом не забываем про , который там уже находится:
Ответ: Для тренировки можете попробовать вычислить двойной интеграл менее рациональным способом: . Результаты должны совпасть. Пример 4 Вычислить двойной интеграл Это пример для самостоятельного решения. Постройте область и проанализируйте, какой способ обхода области выгоднее использовать. Полное решение и ответ в конце урока. Усложняем задачу, теперь подынтегральная функция будет представлять собой сумму. Рассмотрим еще два примера, где я остановлюсь на приёме вычисления интеграла, который типичен и эффективен для кратных интегралов: Пример 5 Вычислить двойной интеграл Решение: Сначала рассмотрим то, чего делать не нужно – в данном случае не следует использовать свойство линейности кратного интеграла и представлять его в виде: Решение, как обычно, начинаем с построения области интегрирования: Область незамысловата, даже штриховать не буду. В данном примере, как легко заметить, не имеет особого значения порядок интегрирования, поэтому выберем первый, более привычный вариант обхода области: Таким образом: Здесь, в отличие от двух предыдущих примеров, из внутреннего интеграла ничего вынести нельзя, поскольку начинкой является сумма. С повторными интегралами опять разбираемся по отдельности. Да, кстати, кто хочет посмотреть, как решать повторные интегралы одной строкой, пожалуйста, зайдите на страницу Готовые решения по высшей математике и закачайте архив с примерами решений кратных интегралов. 1) Сначала берём внутренний интеграл: Хотелось бы остановиться на нескольких существенных моментах. Во-первых, о частном интегрировании. О нём я уже подробно рассказывал в статье Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Вкратце повторюсь: Если интегрирование проводится по «игрек», то переменная «икс» считается константой. И наоборот. Тем не менее, вот нашли вы первообразную и возникли сомнения, а правильно ли она найдена? Всегда можно выполнить проверку, в данном случае следует найти частную производную по «игрек»: Момент второй, подстановка пределов интегрирования. По стандартной формуле Ньютона-Лейбница сначала вместо «игреков» мы подставили , а затем – нижний предел интегрирования (нули). После подстановки должны остаться только «иксы». И, наконец, может показаться странным результат: 2) Берём оставшийся внешний интеграл: При нахождении интеграла использован метод подведения функции под знак дифференциала. Где-нибудь возникли сомнения в правильности интегрирования? Возьмите производную по «икс» и выполните проверку! Ответ: Пример 6 Вычислить двойной интеграл Это пример для самостоятельного решения. В образце решения, как и в разобранном примере, использован первый способ обхода области. На практике немало примеров, где трудно (а то и невозможно) обойтись без микрокалькулятора-«дробовика». Рассмотрим практический пример на данную тему: Пример 7 Вычислить двойной интеграл по области Задача будет решена двумя способами, так как готовое решение у меня уже есть =) А если серьезно, второй способ будет нужен для дополнительных важных комментариев. Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже: Область интегрирования тут простая, и основной гемор ожидается как раз в вычислениях. Выберем следующий порядок обхода области: 1) Начинающим чайникам всегда рекомендую выполнять проверку, особенно в подобных примерах: возьмите частную производную по «игрек» от первообразной и получите подынтегральную функцию . Будьте предельно внимательны в подстановке пределов интегрирования: сначала вместо «игреков» подставляем , затем – ноль. В оформлении вполне допустимо записать один, а не несколько нолей, как это сделано в данном примере. После подстановки должны остаться только «иксы». 2) Второй шаг прост: Перейдём к обратной функции и изменим порядок обхода области: Таким образом: 1) Вычислим внутренний интеграл: Когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Не лишней будет и промежуточная проверка, возьмём частную производную по «икс» от найденной первообразной: Подстановка пределов интегрирования здесь сложнее: сначала вместо «иксов» подставляем 1, затем вместо «иксов» подставляем . После подстановки должны остаться только «игреки». Степени рекомендую оставить в виде , а не преобразовывать их в корни – будет удобнее интегрировать на втором шаге: 2) Результаты совпали, как оно и должно быть. Легко заметить, что первый способ решения был заметно проще. Всегда перед решением анализируйте – какой путь легче и короче. Дроби в рассмотренном примере еще худо-бедно можно привести к общему знаменателю вручную. Но не удивляйтесь, если на практике получится ответ вроде , по крайне мере, в своей коллекции я нашел немало диких примеров, где без калькулятора-«дробовика» фактически не обойтись. Ответ: Ответ получился отрицательным. Геометрически это обозначает, что график подынтегральной функции (поверхность в пространстве) полностью или бОльшей частью (не проверял) располагается ниже области интегрирования под плоскостью . Пример 8 Вычислить двойной интеграл по области Это пример для самостоятельного решения. Ответ будет целым – чтобы от своего хорошего настроения не запугать вас окончательно =). Похожие двойные интегралы встречаются в известном задачнике Кузнецова, и по этой причине пример тоже уместен. Полное решение и ответ в конце урока. Студенты-заочники почти всегда сталкиваются с двойными интегралами наподобие тех, которые уже рассмотрены, но никто не застрахован от творческих примеров, где в подынтегральной функции есть какие-нибудь синусы, косинусы, экспоненты и т.п. Рассмотрим заключительные примеры на данную тему: Пример 9 Вычислить двойной интеграл по области Решение: В ходе выполнения чертежа может возникнуть трудность с построением прямой , которая параллельна оси . Ничего сложного: если , то – примерно на этом уровне и следует провести прямую. Выполним чертёж: После выполнения чертежа нужно выяснить, какой порядок обхода области выгоднее применить. Рассмотрим первый способ обхода: Очевидно, что первый способ является крайне неудачным, поскольку внутренний интеграл придётся дважды брать по частям. Но есть еще и второй способ обхода области: Выглядит гораздо привлекательнее, начинаем вычисления: 1) По формуле Ньютона-Лейбница разберемся с внутренним интегралом: Когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Если возникают трудности с интегрированием, можно прибегнуть даже к такому способу: временно замените «игрек» конкретным числом, например, «пятёркой»: И, конечно же, лучше сделать проверку, продифференцировав первообразную по «икс»: Далее при подстановке пределов интегрирования сначала вместо «икса» подставляем , затем – ноль. После подстановки должны остаться только «игреки». 2) Полученный результат перемещаем во внешний интеграл, не забывая, что там уже есть и константа 4: Второй интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала. Ответ: Таким образом, выбор порядка обхода иногда зависит не только от самой области интегрирования, но и от подынтегральной функции. Пример 10 Вычислить двойной интеграл по области Это пример для самостоятельного решения. Хочется привести ещё примеры, но в первом раунде я обещал не маньячить, поэтому скрепя сердце, заканчиваю статью. Множество других примеров на вычисление двойных интегралов можно найти в соответствующем архиве на странице Готовые решения по высшей математике. Если тема проработана качественно, то рискну предположить, что многие читатели без особого труда разберутся и и в тройных интегралах – принципы решения очень похожи! И напоследок раскрою обещанный секрет – так почему же мне сегодня хорошо? Хорошо должно быть каждый день! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Изобразим область на чертеже: Пример 4: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже. Пример 6: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже: Пример 8: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже: Пример 10: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:
Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |