Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Задачи на классическое определение вероятности.
Примеры решений

На третьем уроке мы рассмотрим различные задачи, касающиеся непосредственного применения классического определения вероятности. Для эффективного изучения материалов данной статьи рекомендую ознакомиться с базовыми понятиями теории вероятностей и основами комбинаторики. Задача на классическое определение вероятности с вероятностью, стремящейся к единице, будет присутствовать в вашей самостоятельной/контрольной работе по терверу, поэтому настраиваемся на серьёзную работу. Вы спросите, чего тут серьёзного?  …всего-то одна примитивная формула . Предостерегаю от легкомыслия – тематические задания достаточно разнообразны, и многие из них запросто могут поставить в тупик. В этой связи помимо проработки основного урока, постарайтесь изучить дополнительные задачи по теме, которые находятся в копилке готовых решений по высшей математике. Приёмы решения приёмами решения, а «друзей» всё-таки «надо знать в лицо», ибо даже богатая фантазия ограничена и типовых задач тоже хватает. Ну а я постараюсь в хорошем качестве разобрать максимальное их количество.

Вспоминаем классику жанра:

Вероятность наступления события  в некотором испытании равна отношению , где:

 – общее число всех равновозможных, элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий;

 – количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

И сразу незамедлительный пит-стоп. Понятны ли вам подчёркнутые термины? Имеется ввиду чёткое, а не интуитивное понимание. Если нет, то всё-таки лучше вернуться к 1-й статье по теории вероятностей и только после этого ехать дальше.

Пожалуйста, не пропускайте первые примеры – в них я повторю один принципиально важный момент, а также расскажу, как правильно оформлять решение и какими способами это можно сделать:

Задача 1

В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

Решение: важнейшей предпосылкой  для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов.

Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:

– извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов), при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т. е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30 шаров).

Таким образом, общее число исходов:

Рассмотрим событие:  – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют  элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
 – вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность, на которой я уже заострял внимание в первой статье по теории вероятностей. Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара ». В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь  следует обязательно прописать!

С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:

 – из урны будет извлечён красный шар;
 – из урны будет извлечён чёрный шар.

Событию  благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию  – 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:

Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу. В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .

Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.

Ответ:

В принципе, ответ можно записать и подробнее, но лично я привык ставить туда только числа – по той причине, что когда начинаешь «штамповать» задачи сотнями и тысячами, то стремишься максимально сократить запись решения. К слову, о краткости: на практике распространён «скоростной» вариант оформления решения:

Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
 – вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
 – вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
 – вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.

Ответ:

Однако если в условии несколько пунктов, то решение зачастую удобнее оформить первым способом, который отнимает чуть больше времени, но зато всё «раскладывает по полочкам» и позволяет легче сориентироваться в задаче.

Разминаемся:

Задача 2

В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Выберите целесообразный вариант оформления и сверьтесь с образцом внизу страницы.

В простейших примерах количество общих и количество благоприятствующих исходов лежат на поверхности, но в большинстве случаев картошку приходится выкапывать самостоятельно. Каноничная серия задач о забывчивом абоненте:

Задача 3

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.

Примечание: ноль – это чётное число (делится на 2 без остатка)

Решение: сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр – ноль, а другая цифра – нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов. То есть при оформлении решения просто записываем все возможные комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

и подсчитываем их – всего: 10 исходов.

Благоприятствующий исход один: верный номер.

По классическому определению:
 – вероятность того, что абонент наберёт правильный номер

Ответ: 0,1

Десятичные дроби в теории вероятностей смотрятся вполне уместно, но можно придерживаться и традиционного вышматовского стиля, оперируя только обыкновенными дробями.

Продвинутая задача для самостоятельного решения:

Задача 4

Абонент забыл пин-код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр – то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?

Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока

Решение и ответ внизу.

Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже – бОльшее количество):

Задача 5

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:

а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3 до 9 очков включительно.

Решение: найдём общее количество исходов:

 способами может выпасть грань 1-го кубика и  способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций, всего:  возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где  – цифра, выпавшая на 1-м кубике,  – цифра, выпавшая на 2-м кубике. Например:

 – на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
 – на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
 – на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.

Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую – две «шестёрки».

а) Рассмотрим событие:  – при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:

Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
 – искомая вероятность.

б) Рассмотрим событие:  – выпадет не более 4 очков. То есть либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:

Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
 – вероятность того, что выпадет не более 4 очков.

в) Рассмотрим событие:  – выпадет от 3 до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.

Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие:  – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.

В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:

Итого: 7 благоприятствующих исходов.

По классическому определению:
 – вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9 очков.

Далее пользуемся тем, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
 – вероятность того, что выпадет от 3 до 9 очков включительно.

Особо щепетильные люди могут перечислить все 29 пар, выполнив тем самым проверку.

Ответ:

В следующей задаче повторим таблицу умножения:

Задача 6

Найти вероятность того, что при броске двух игральных костей произведение очков:

а) будет равно семи;
б) окажется не менее 20;
в) будет чётным.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Рассмотренная задача встречается и в других вариациях, несколько дополнительных примеров по сабжу можно найти в соответствующем сборнике на странице Готовые решения по высшей математике.

Помимо прямого перечисления и подсчёта исходов, в ходу также различные комбинаторные формулы. И снова эпичная задача про лифт:

Задача 7

В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:

а) они выйдут на разных этажах
б) двое выйдут на одном этаже;
в) все выйдут на одном этаже.

Следует отметить, что случайность здесь имеет место быть лишь с точки зрения стороннего наблюдателя (т. к. человек обычно едет на вполне определённый этаж).

Решение: вычислим общее количество исходов:  способами может выйти из лифта 1-й пассажир и  способами – 2-й пассажир и  способами – третий пассажир. По правилу умножения комбинаций:  возможных исходов. То есть каждый этаж выхода 1-го человека может комбинироваться с каждым этажом выхода 2-го человека и с каждым этажом выхода 3-го человека.

Второй способ основан на размещениях с повторениями:
 – кому как понятнее.

а) Рассмотрим событие:  – пассажиры выйдут на разных этажах. Вычислим количество благоприятствующих исходов:
 способами могут выйти 3 пассажира на разных этажах. Рассуждения по формуле  проведите самостоятельно.

По классическому определению:

Теперь подумаем вот над какой вещью: пункт «бэ» достаточно сложен (см. Задачу 11 урока по комбинаторике), и значительная часть студентов, которые не в теме, просто не справится с этим пунктом. Но только не те, которые прочитают пару следующих абзацев!

в) Рассмотрим событие:  – пассажиры выйдут на одном этаже. Данному событию благоприятствуют  исходов и по классическому определению, соответствующая вероятность: .

Заходим с чёрного хода:

б) Рассмотрим событие:  – два человека выйдут на одном этаже (и, соответственно, третий – на другом).

События  образуют полную группу (считаем, что в лифте никто не уснёт и лифт не застрянет =)), а значит, .

В результате, искомая вероятность:

Таким образом, теорема о сложении вероятностей событий, образующих полную группу, может быть не только удобной, но и стать самой настоящей палочкой-выручалочкой!

Ответ:

Когда получаются большие дроби, то хорошим тоном будет указать их приближенные десятичные значения. Обычно округляют до 2-3-4 знаков после запятой.

Поскольку события пунктов «а», «бэ», «вэ» образуют полную группу, то есть смысл выполнить контрольную проверку, причём, лучше с приближенными значениями:

, что и требовалось проверить

Иногда по причине погрешности округлений может получиться 0,9999 либо 1,0001, в этом случае одно из приближенных значений следуют «подогнать» так, чтобы в сумме нарисовалась «чистая» единица.

Самостоятельно:

Задача 8

Подбрасывается 10 монет. Найти вероятность того, что:

а) на всех монетах выпадет орёл;
б) на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка;
в) орёл выпадет на половине монет.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Ничего страшного, если не получаются какие-то задачи или отдельные пункты – главное, стремитесь РАССУЖДАТЬ, ДУМАЙТЕ (пусть и не всегда успешно). В теории вероятностей плохо работает принцип «если дано то-то, то решать нужно так-то». И следующий пример – хорошее тому подтверждение:

Задача 9

На семиместную скамейку случайным образом рассаживается 7 человек. Какова вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом?

Решение: с общим количеством исходов проблем не возникает:
 способами могут рассесться 7 человек на скамейке.

Но вот как подсчитать количество благоприятствующих исходов? Тривиальные формулы не подходят и единственный путь – это логические рассуждения. Сначала рассмотрим ситуацию, когда Саша и Маша оказались рядом на левом краю скамейки:

Очевидно, что порядок имеет значение: слева может сидеть Саша, справа Маша и наоборот. Но это ещё не всё – для каждого из этих двух случаев остальные люди могут рассесться на свободных местах  способами. Выражаясь комбинаторно, Сашу и Машу можно переставить на соседних местах  способами и для каждой такой перестановки других людей можно переставить  способами.

Таким образом, по правилу умножения комбинаций, выходит  благоприятствующих исходов.

Но и это ещё не всё! Перечисленные факты справедливы для каждой пары соседних мест:

Интересно отметить, что если скамейку «скруглить» (соединяя левое и правое место), то образуется дополнительная, седьмая пара соседних мест. Но не будем отвлекаться. Согласно тому же принципу умножения комбинаций, получаем окончательное количество благоприятствующих исходов:

По классическому определению:
 – вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом.

Ответ:

Советую всегда снабжать подобные задачи схематическим рисунком, поскольку «голые» словесные комментарии чреваты ошибками – даже если и не запутаетесь, то можете запросто обсчитаться.

Один из читателей предложил следующее решение:  способами можно выбрать места для двух определённых людей (общее число исходов), и благоприятствующее число исходов рассчитывается из тех же соображений, что в решении выше: , тогда: .

Такой вариант, в принципе, допустИм, но не совсем корректен, так как классическое определение должно учитывать все элементарные исходы (взаимное расположение семи человек). Предложенное решение больше подойдёт для задачи, где не принимаются во внимание другие люди, например: «Два человека независимо друг от друга покупают два билета в пустой ряд из 7 мест. Какова вероятность того, что они окажутся рядом?» – здесь оставшиеся 5 мест могут вообще остаться не занятыми.

Пожалуй, самая трудная задача урока:

Задача 10

На шахматную доску из 64 клеток ставят наудачу две ладьи, белого и чёрного цвета. С какой вероятностью они не будут «бить» друг друга?

Справка: шахматная доска имеет размер  клеток; черная и белая ладьи «бьют» друг друга, когда располагаются на одной горизонтали или на одной вертикали

Обязательно выполните схематический чертёж доски, а ещё лучше, если неподалёку есть шахматы. Одно дело рассуждения на бумаге, и совсем другое – когда расставляешь фигуры собственными руками. И ещё тут почему-то часто начинают рассуждать о порядке выставления ладей – здесь это не имеет значения, ладьи могут выставляться в каком угодно порядке, хоть одновременно – имеет значение их взаимное расположение.

Моя версия решения в конце урока. Говорю так, потому что, возможно, существуют другие способы. И они действительно существуют! – прошло совсем немного времени со дня публикации статьи, и один из посетителей сайта прислал более короткое и рациональное решение, которое тоже приведено ниже. Я очень рад, что эти уроки превращаются в самую настоящую творческую лабораторию!

В заключительной части статьи рассмотрим очень распространённый тип задач на классическое определение вероятности, который встречается чуть ли не в половине случаев:

Задача 11

Какова вероятность того, что в четырех сданных картах будет один туз и один король?

Решение: коль скоро неизвестный автор умолчал о колоде, будем считать, что в ней 36 карт. Ну а зачем нам больше? =)

Вычислим общее количество исходов. Сколькими способами можно извлечь 4 карты из колоды? Наверное, все поняли, что речь идёт о количестве сочетаний:
 способами можно выбрать 4 карты из колоды.

Теперь считаем благоприятствующие исходы. По условию, в выборке из 4 карт должен быть один туз, один король и, о чём не сказано открытым текстом, – две другие карты:

 способами можно извлечь одного туза;
 способами можно выбрать одного короля.

Исключаем из рассмотрения тузов и королей: 36 – 4 – 4 = 28

 способами можно извлечь две другие карты.

По правилу умножения комбинаций:
 способами можно извлечь искомую комбинацию карт (одного туза и одного короля и две другие карты).

Прокомментирую комбинационный смысл записи  другим способом:
каждый туз комбинируется с каждым королем и с каждой возможной парой других карт.

По классическому определению:
 – вероятность того, что среди четырех сданных карт будет один туз и один король.

Если хватает времени и терпения, максимально сокращайте большие дроби.

Ответ:

Более простая задача для самостоятельного решения:

Задача 12

В ящике находится 15 качественных и 5 бракованных деталей. Наудачу извлекаются 2 детали. Найти вероятность того, что:

а) обе детали будут качественными;
б) одна деталь будет качественной, а одна – бракованной;
в) обе детали бракованны.

События перечисленных пунктов образуют полную группу, поэтому проверка здесь напрашивается сама собой. Краткое решение и ответ в конце урока. А вообще, всё самое интересное только начинается!

Следующая задача очень распространена и актуальна для многих читателей. Когда она встречается, то я всегда думаю: «чего же он так много выучил-то?!». Поэтому сделаю пример более реалистичным =):

Задача 13

Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на два из трёх вопросов?

Решение: итак, расклад таков: всего 60 вопросов, среди которых 25 «хороших» и, соответственно, 60 – 25 = 35 «плохих». Ситуация шаткая и не в пользу студента. Давайте узнаем, насколько хороши его шансы:

 способами можно выбрать 3 вопроса из 60 (общее количество исходов).

Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса. Считаем благоприятствующие комбинации:

 способами можно выбрать 2 «хороших» вопроса и один «плохой»;

 способами можно выбрать 3 «хороших» вопроса.

По правилу сложения комбинаций:
 способами можно выбрать благоприятствующую для сдачи экзамена комбинацию 3 вопросов (без разницы с двумя или тремя «хорошими» вопросами).

По классическому определению:
 – вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Ответ:

Да, конечно, «не фонтан», но и не всё так безнадёжно, к тому же всегда есть шансы что-нибудь родить и при ответе на «плохие» вопросы.

Популярная игра для самостоятельного исследования:

Задача 14

Игроку в покер сдаётся 5 карт. Найти вероятность того, что он получит:

а) пару десяток и пару валетов;
б) флеш (5 карт одной масти);
в) каре (4 карты одного номинала).

Какую из перечисленных комбинаций вероятнее всего получить?

! Внимание! Если в условии задан подобный вопрос, то на него необходимо дать ответ.
В противном случае задание с высокой вероятностью не зачтут.

Справка: в покер традиционно играют 52-карточной колодой, которая содержит карты 4 мастей номиналом от «двоек» до тузов.

Покер – игра самая что ни на есть математическая (кто играет, тот знает), в которой можно обладать заметным преимуществом перед менее квалифицированными соперниками. Хотя, по моему субъективному впечатлению, «звёзды» покера, «набившие» миллионные состояния, не столько расчётливы, сколько сверхобострённо чувствуют своих оппонентов. И это особый дар, который не относится к математике.

Хотел ещё разобрать 15-й задачей вероятность выигрыша в какую-нибудь из известных лотерей, но выкладки оказались достаточно сложными. В лотереях, которые я рассмотрел, фигурируют дополнительные условия и ограничения, словно специально призванные затруднить использование комбинаторных формул =) Впрочем, переживать не будем, поскольку на поставленный вопрос быстро и эффективно ответит статистическое определение вероятности.

Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок ещё раз настоятельно рекомендую если не прорешать, то хотя бы разобраться в дополнительных задачах на классическое определение вероятности. Как я уже отмечал, «набивка руки» тоже имеет значение!

Далее по курсу – Геометрическое определение вероятности и Теоремы сложения и умножения вероятностей и… везения в главном!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте