Высшая математика для чайников, или с чего начать?
Повторяем школьный курс

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов
Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов
Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов
Формулы деления отрезка
в данном отношении
Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости
Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?
Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?
Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?
Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость
Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Как найти рациональные корни
многочлена? Схема Горнера
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами
Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка
Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения
Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением
Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений
Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах
Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы
Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?
Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности
Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной
Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала
Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций
Как построить график функции
с помощью преобразований?
Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции
Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика
Полное исследование функции
и построение графика
Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке
Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня
Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных
Производные сложных функций
нескольких переменных
Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?
Частные производные
неявно заданной функции
Производная по направлению
и градиент функции
Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке
Экстремумы функций
двух и трёх переменных
Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области
Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений
Метод замены переменной
в неопределенном интеграле
Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?
Что такое интеграл?
Теория для чайников
Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов
Как исследовать сходимость
несобственного интеграла?
Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода
Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла
S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде
Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов

Метод прямоугольников

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка
Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков
Метод вариации
произвольных постоянных
Как решить систему
дифференциальных уравнений
Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды
Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов
Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?
Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений
Двойные интегралы
в полярных координатах
Как найти центр тяжести
плоской фигуры?
Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?

Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы
Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского
Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

ТФКП для начинающих
Как построить область
на комплексной плоскости?
Линии на С. Параметрически
заданные линии
Отображение линий и областей
с помощью функции w=f(z)
Предел функции комплексной
переменной. Примеры решений
Производная комплексной
функции. Примеры решений
Как найти функцию
комплексной переменной?
Конформное отображение
Решение ДУ методом
операционного исчисления
Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности
Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей
Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса
Независимые испытания
и формула Бернулли
Локальная и интегральная
теоремы Лапласа
Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание
Дисперсия дискретной
случайной величины
Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей
Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)
Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?
Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины
Двумерная непрерывная
случайная величина
Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации
Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения
Статистические оценки
и доверительные интервалы
Оценка вероятности
биномиального распределения
Оценки по повторной
и бесповторной выборке
Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона
Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия
Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?
Уравнение линейной регрессии
Проверка значимости линейной
корреляционной модели
Модель пАрной регрессии.
Индекс детерминации
Нелинейная регрессия. Виды и
примеры решений
Коэффициент ранговой
корреляции Спирмена
Коэф-т корреляции Фехнера
Уравнение множественной
линейной регрессии

По условию, площадь треугольника  нужно найти с помощью поверхностного интеграла 1-го рода:

Если поверхность задана функцией двух переменных , то поверхностный интеграл можно свести к двойному интегралу по формуле:

, где  – проекция поверхности  на плоскость . Занесите в свой справочник.

В нашем случае речь идёт о площади и поэтому формула упрощается:
 (прерываемся для промежуточных действий)

Перепишем уравнение плоскости в функциональном виде:

и найдём частные производные первого порядка, они здесь элементарные:

продолжаем:

С областью  (на чертеже заштрихована) трудностей нет – остановлюсь лишь на том, как найти уравнение прямой, которая лежит в плоскости . Для этого в уравнении плоскости  обнуляем «лишнюю» зетовую переменную:

откуда удобно выразить:

Двумерный чертёж настоятельно рекомендую даже читателям с высоким уровнем подготовки, ибо «проглючить» тут может как дважды два:

Ну и очевидно, что порядок обхода области будет таким:

После чего решение выходит на финишную прямую:

Ответ:

Желающие могут найти пару подходящих векторов и проверить результат с помощью векторного произведения.

Но это ещё далеко не всё. Зададимся следующим вопросом: а почему поверхность нужно проецировать именно на плоскость ? Чем другие координатные плоскости и другие переменные хуже? Да ничем! Давайте окончательно отбросим все комплексы и освоим универсальную технику интегрирования:

Формула вторая: если поверхность  выражена функцией , то:

, где  – проекция данной поверхности на плоскость .

В нашем случае:

Перепишем уравнение плоскости в виде:

и возьмём частные производные:

Теперь в уравнении плоскости обнулим «лишнюю» игрековую координату, выяснив тем самым уравнение прямой, которая лежит в плоскости :

Выполним чертёж проекции :

(на пространственном чертеже это левый «стоячий» треугольник)

Порядок обхода области:

таким образом:

Что мы и ожидали увидеть.

Самостоятельно запишите формулу вычисления поверхностного интеграла для случая, когда поверхность выражена функцией  и решите задачу третьим способом – проецированием поверхности на плоскость

Зачем нужна эта экзотика?

Нужна. И более того, не такая уж это и экзотика. В некоторых задачах проецирование на «родную» плоскость  сопряжено с трудностями или вообще недопустимо (когда поверхность параллельна оси ). Или получается трудный интеграл. И поэтому всегда нужно держать на заметке, что существуют альтернативные пути!

-«колпак» проще спроецировать на «стандартную» плоскость:

и воспользоваться формулой

Верхнюю часть конуса задаёт функция:

Найдём её частные производные:

И здесь сразу удобно упростить корень:

Таким образом, по формуле (см. выше):

Тут, конечно, лучше перейти к полярным координатам:

И из «плоского» чертежа очевиден порядок обхода:

Постараемся ничего не упустить:

Ответ:

Может ли поверхностный интеграл равняться нулю? Конечно. И отрицательному числу тоже. Ведь подынтегральная функция  может принимать любые значения.

Рассмотрим два альтернативных пути. Вкратце разберу порядок действий:

Способ второй. Проецируем конус на плоскость  (получится треугольник) и используем формулу ,

причём, интеграл придётся представить в виде суммы двух интегралов:
,
где  – это левая часть конуса, которую нужно выразить функцией:

а  – его правая часть:

И противоположные «игрековые» знаки приводят к забавной коллизии – в результате интегралы взаимоуничтожаются и сразу получается ноль (если не понятно, почему так, начните решать). А казалось, это был совершенно нерациональный путь! Но то, конечно, частный счастливый случай.

Здесь, кстати, мы столкнулись со свойством аддитивности, которое наряду со свойством линейности, разумеется, справедливо и для поверхностных интегралов. Иными словами, поверхность можно разделить на несколько кусков, вычислить интеграл по каждому из них, после чего просуммировать результаты.

Способ третий. Проецируем конус на плоскость  (тоже получится треугольник) и используем формулу

Аналогично – интеграл представляем как сумму интегралов по ближней  и по дальней  от нас части конуса; результаты так же взаимоуничтожаются и получается ноль.

Рассмотренная поверхность тоже «хорошо» проецируется на все координатные плоскости, однако так бывает далеко не всегда. Не такая уж редкость, когда в нашем распоряжении оказываются два, а то и единственный путь решения. Соответствующие примеры будут на уроке Поток векторного поля. Но пока с ними повременим.

Поверхностный интеграл 2-го рода можно решить двумя способами

Способ первый. Прямое сведение к двойному интегралу.

Для этого удобно использовать свойство линейности:
 – чтобы с каждым интегралом разделаться по отдельности:

1)

Правило: если нормальные векторы к поверхности  образуют с положительной «иксовой» полуосью  острые углы, то интеграл такого вида сводится к двойному интегралу по формуле:

, где  – функция поверхности, а  – проекция этой поверхности на плоскость .

В противном случае (когда углы тупые):
Если поверхность параллельна оси , то . Конец правила.

! Правила и формулы переписывайте на бумагу!

Чтобы не возвращаться за ними вновь и вновь.

В нашем случае  – острый (см. чертёж выше), поэтому используем первую формулу. Выражаем нужную функцию поверхности , и понеслось:

Найдём линию пересечения плоскости  с координатной плоскостью :
 и изобразим проекцию :

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:

Второй и третий интегралы решаются аналогично:

2)

Правило: если нормальные векторы к поверхности  образуют с положительной полуосью  острые углы, то ; если тупые, то: , где  проекция поверхность на плоскость . Если же поверхность параллельна оси , то .

В нашем случае  – острый, поэтому нужно использовать первую формулу:
Выражаем:  и раскручиваем второй интеграл:

Найдём линию пересечения поверхности с координатной плоскостью :
 и изобразим область :

Порядок обхода области:

Громоздкие вычисления надёжнее оформлять «простынёй»,
одна строка – одно действие:

3) И, наконец, наш «родной» интеграл

Вместе с родным правилом:) если нормальные векторы к поверхности  образуют с положительной полуосью  острые углы, то ; если тупой, то ; если поверхность параллельна оси , то .

Очевидно, что у нас снова «острый» случай, и задача облегчается тем, что в подынтегральной функции отсутствует переменная «зет», а значит, уравнение плоскости  не нужно представлять в виде .

Сразу находим проекцию и решаем интеграл «одной строкой»:

Надо же, одной строкой и вышло =)

Осталось просуммировать полученные результаты:

Ответ:

Ввиду очевидного свойства  этот же интеграл по нижней стороне поверхности будет равняться «минус пяти».

Надо сказать, мы прорешали универсальное задание, поскольку на практике вам по отдельности могут предложить такой: , либо такой , либо такой  интеграл. Или же сумму любых двух частей. Поэтому труды и усидчивость были и будут (!) не напрасны!

Второй способ решения. Поверхностный интеграл 2-го рода можно свести к поверхностному интегралу 1-го рода по следующей формуле:

, где:

 – векторная функция, которая каждой точке  ориентированной поверхности  ставит в соответствие несвободный вектор с началом в данной точке. В нашем случае:

 – векторная функция, которая каждой точке  опять же ориентированной поверхности  ставит в соответствие единичный нормальный вектор к данной стороне поверхности в данной точке. Если поверхность задана функцией двух переменных , то оную функцию можно составить по формуле:

 – для верхней (положительной) стороны поверхности, или:
 – для нижней (отрицательной) стороны.

Следует заметить, что все нормальные векторы, наоборот – свободны.

Так как в нашем примере поверхность плоская, то во всех её точках вектор  будет одним и тем же (на трёхмерном чертеже я изобразил его один раз). И действительно:

 – один и тот же вектор для всех точек поверхности .

Теперь по обычной формуле вычислим скалярное произведение, при этом константу нормального вектора удобно сразу вынести за скобки:

Таким образом, по указанной выше формуле:

Поверхностный интеграл 1-го рода, как вы помните, можно вычислить тремя способами, …но я уж не буду таким извергом =) Ограничимся проецированием поверхности  (уже не ориентированной!) на плоскость  и формулой:

Функция  – готовенькая, да и корень тоже вычислен:

Скопирую для наглядности проекцию:

Интеграл таки лучше взять поэтапно:
1)

2)

Ответ:

Может показаться, что второй способ легче первого, но так бывает далеко не всегда

И первое отличие касается нормальных векторов поверхности . У каждой точки полусферы он свой (в качестве примера я изобразил пару штук).

Решим задачу первым способом:

1) Вычислим

И тут нас поджидает сюрприз: нормальные векторы полусферы образуют с полуосью  как острые, так и тупые углы. Что делать?

В силу свойства аддитивности, поверхностный интеграл можно (и нужно) разделить на две части:

Для ближней к нам четвертинки сферы, которая выражается функцией , углы будут острыми и поэтому:

Для дальней четвертинки  эти углы тупы, и поэтому там следует применить формулу с «минусом»:

Таким образом:

где  – проекция полусферы на плоскость .

2) С интегралом  ситуация такая же: нормальные векторы правой четвертинки  (например, ) образуют с полуосью  острые углы, а нормальные векторы левой четвертинки  (например, ) – тупые углы.

Следовательно:
, где  – тоже полукруг радиуса 2, но уже в плоскости .

3) С интегралом  ситуация чуть проще: т.к. нормальные векторы образуют с полуосью  острые углы, то для соответствующей функции  используем «плюсовую» формулу:

, где  – круг радиуса 2.

К слову, для полной сферы, поверхностный интеграл нужно дробить и в этом пункте.

Осталось вычислить интегралы и просуммировать результаты. Но повторять что-то не хочется =)

Конечно, здесь проще второй способ. Хотя, справедливости ради, ненамного:

Запишем функцию векторного поля:

Поскольку нормальные векторы поверхности  образуют с полуосью  острые углы, то для построения соответствующей векторной функции используем формулу:

В данном случае:

Таким образом:

Еще раз повторим смысл этих функций: каждой точке  полусферы, ставится в соответствие несвободный вектор , «торчащий» из этой точки, и единичный нормальный вектор   (свободный), указывающий ориентацию поверхности в данной точке.

Вычислим скалярное произведение:

Сводим дело к поверхностному интегралу 1-го рода, не забывая, что :

Самостоятельно доведите решение до конца по формуле , ну а я воспользуюсь тем фактом, что  равен площади поверхности . Как известно, площадь поверхности сферы равна , следовательно, площадь нашей полусферы радиуса  составляет:

Ответ:

Соответственно, интеграл по нижней стороне этой же полусферы будет равняться .

Пример 2: Решение: выполним чертежи:

Площадь искомой поверхности вычислим с помощью поверхностного интеграла по формуле:

В данном случае:

 – круг  радиуса 2 с центром в начале координат.

Таким образом:

Осуществим переход к полярной системе координат:

Порядок обхода области :

Ответ:

Пример 4. Решение: перепишем уравнение плоскости в отрезках:

и выполним чертёж:

Поверхностный интеграл вычислим по формуле:
, где  – проекция поверхности на плоскость .

В данном случае:

Таким образом:

Найдём прямую  и выполним чертёж области :

Выберем следующий порядок обхода:

Таким образом:

Ответ:

Пример 6. Решение: интеграл несколько проще вычислить первым способом. Выполним чертёж:

Так как единичный нормальный вектор поверхности  образует с положительным направлением оси  тупой угол, то используем формулу:

В данном случае:

Найдём линию пересечения плоскости  с координатной плоскостью :
 и изобразим проекцию :

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:

1)
2)

Ответ:

Второй способ решения можно найти здесь.

Пример 8. Решение: выполним чертёж:

Способ первый:

1) Поскольку поверхность параллельна оси , то ;

2) Интеграл разделим на две части. Векторы нормали к левой части поверхности  образуют с полуосью  острые углы, а к правой части поверхности  – тупые углы, поэтому:

Изобразим область :

В результате:

Способ второй: сведём решении к поверхностному интегралу 1-го рода:

В данном случае:

Поскольку нормальные векторы внутренней стороны  поверхности  образуют с полуосью  тупые углы, то функцию единичных векторов нормали составим по формуле:

Вычислим скалярное произведение:

Таким образом:

 Используем формулу

Изобразим область :

Ответ: