Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Дивергенция векторного поля.
Формула Гаусса-Остроградского

Данный урок представляет собой прямое продолжение статьи Поток векторного поля, и поэтому если вы зашли с поисковика, то, пожалуйста, начните с первой части, где мы подробно разобрали и решили важную задачу. А именно нашли поток векторного поля  через замкнутую поверхность в направлении её внешней нормали:

В ходе длинного-длинного решения нами был получен ответ , что в рамках условной гидродинамической модели означает следующее: сколько жидкости в единицу времени поступило в пирамиду – столько из неё и вытекло.

Однако так бывает далеко не всегда, и на практике поток часто получается положительным или отрицательным. Задумаемся над содержательным смыслом этих результатов и для бОльшей наглядности рассмотрим не пирамиду, а кусок  реки, ограниченный внешне-ориентированной поверхностью  и поле скоростей этой реки в области .

Предположим, что поток через замкнутую поверхность  оказался положителен: . Что это означает? Это означает, что за единицу времени из области  жидкости вытекло БОЛЬШЕ, чем туда поступило. Следовательно, в области где-то есть источник(и) поля. Это может быть, например, приток реки, который увеличивает её скорость, или просто кто-то вылил ведро воды.

Отрицательное значение потока  через замкнутую поверхность  говорит нам о том, что за единицу времени область  «поглотила» жидкость (зашло больше, чем вышло). И причина тому – сток(и) поля в данной области. Например, подземная пещера или насос, выкачивающий воду.

И, наконец, при нулевом потоке  возможны две ситуации: либо в области  нет источников и стоков, либо они компенсируют друг друга.

К слову, взаимная компенсация чаще всего имеет место и в первых двух случаях. Так, например, если , то это ещё не значит, что стоков нет. Возможно, источники оказались мощнее, и по итогу за единицу времени через поверхность выплеснулось 5 единиц жидкости.

И поэтому появляется интерес выяснить, есть ли у векторного поля  источники / стоки, и если есть – то где. И в этом нам поможет акваланг хитрая наука под названием математический анализ.

Рассмотрим некоторую точку  области  и её бесконечно малую замкнутую окрестность (например, сферу или куб). Поток векторного поля  через поверхность этой окрестности во внешнем направлении называется дивергенцией поля в данной точке, и обозначается через . И вот тут-то уж никуда не деться от разоблачения:

– если , то у векторного поля  есть источник в данной точке (её бесконечно малой окрестности);

– если , то сток;

– и если , то в точке  нет источников и стоков.

Далее. Как найти эту самую дивергенцию? Если в каждой точке  области  определено векторное поле  и его компоненты  дифференцируемы в этих точках, то скалярная функция дивергенции имеет следующий вид:

 или, как записывают короче:

Таким образом, в области  векторному полю  ставится в соответствие скалярное поле  его дивергенции.

И здесь сразу можно выделить особый случай. Поле, дивергенция которого равна нулю ВО ВСЕХ точках области, называется бездивергентным или соленоидальным. Это означает, что у него нет источников и стоков. В качестве примера часто приводят трубу-«бублик» с циркулирующей водой, которая никуда не исчезает, и новой воды там не появляется. Но ещё более показательный пример – это магнитное поле с его замкнутыми силовыми линиями, у которых нет начала и конца.

Хорошо. Функция  позволяет нам вычислить дивергенцию в отдельно взятых точках, и возникает вопрос: а можно ли подсчитать суммарную дивергенцию по всему телу?

Можно. С помощью тройного интеграла , который объединяет значения (элементарные потоки) через все бесконечно малые кусочки  тела .

И теперь мы подошли к замечательной формуле Гаусса-Остроградского. Иногда её называют формулой Остроградского-Гаусса, иногда просто формулой Остроградского. Поток векторного поля через замкнутую поверхность  в направлении внешней единичной нормали  равен дивергенции данного поля, вычисленной по телу , которое эта поверхность ограничивает:

Следует отметить, что в оригинале формула приводится в обратном порядке, и её краткий смысл таков: интеграл  объединяет дивергенцию по всей области , и если в ней есть ТОЛЬКО источники или ТОЛЬКО стоки, то происходит их суммирование. Если же там есть и то, и другое, то интеграл «взаимоуничтожает» элементарные потоки (дивергенции) разных знаков. Таким образом, во всех случаях в «сухом остатке» получается поток  через внешнюю поверхность.

Однако формула чаще используется так, как она записана выше – чтобы трудоёмкое исследование поверхности заменить вычислением банального тройного интеграла. В частности, если функция  представляет собой ненулевую константу, то всё дело, по сути, сводится к вычислению объёма тела.

…вы когда-нибудь думали, что будете так рады тройным интегралам? =)

Вернёмся к эпичному Примеру 1, где у нас получился нулевой поток через пирамиду, и вычислим дивергенцию векторного поля . Очевидно, что само поле и производные его компонент определены не только в пирамиде , но и вообще во всём пространстве:

Составим скалярную функцию дивергенции, или как чаще говорят – найдём дивергенцию:

Полученная функция каждой точке пространства ставит в соответствие ноль, значит векторное поле  всюду соленоидально. По формуле Гаусса-Остроградского, поток векторного поля через внешнюю сторону пирамиды  равен:

Примечание: т.к. поле бездивергентно во всём пространстве, то поток равен нулю и через любую замкнутую поверхность

Огорчаться, однако, не стОит, поскольку если уж от вас потребовали вычислить поток первым способом, то никуда не деться =) А требуют, между прочим, частенько.

И здесь ещё нужно подчеркнуть следующее: если вы вычислили поток через замкнутую поверхность, и у вас получился ноль, то это ещё не значит, что в области нет источников и стоков. Они могут и существовать, но компенсировать друг друга. И первый способ решения не даёт нам ответ на этот вопрос.

Поэтому решаем второй пример вторым способом:)

Пример 2

Проверить, будет ли векторное поле  соленоидальным, и найти его поток через замкнутую поверхность  по формуле Гаусса-Остроградского

Результаты должны совпасть. Обращаю внимание, что проверка поля на соленоидальность является неотъемлемой частью задания, и на этот вопрос нужно дать аргументированный письменной ответ. Примерный образец решения в конце урока, и что приятно – задачу можно оформить в минималистичном стиле, без лишних обозначений и даже без записи самой формулы.

Ну а теперь я расскажу вам, а точнее напомню универсальный метод нахождения нормальных векторов поверхности:

Пример 3

Дано векторное поле  и замкнутая поверхность . Вычислить поток векторного поля через данную поверхность в направлении внешней нормали:

а) непосредственно;
б) по формуле Гаусса-Остроградского.

Распространённая формулировка, позволяющая ещё раз осознать всю ценность формулы =)

Решение: чертёж здесь прост:

Теперь вам, наверное, понятно, почему поверхностные интегралы и теория поля встречаются далеко не во всех учебниках по математическому анализу =)

Для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить поток векторного поля  через замкнутую поверхность   в направлении внешней нормали.

По умолчанию, разумеется, лучше выбрать более лёгкий путь, который представлен в образце решения. Но любителям математического анализа, наверное, будет интересно попробовать вычислить поток и непосредственно. И это ни в коем случае не чёрный юмор – среди посетителей сайта немало желающих «потягаться» с трудными задачами.

Формула Остроградского-Гаусса может помочь и достаточно неожиданным образом. Вспомним Пример 7 урока Поверхностные интегралы с трудным-трудным вычислением внешнего потока через полусферу . В случае непреодолимых трудностей с таким решением, существует окольный путь: сначала находим внешний поток через полную поверхность верхней половины шара, затем вычитаем из него поток, вычисленный через круг  в направлении вектора .

И в заключение статьи я всегда стараюсь подобрать «гвоздь программы» – что-то новое, что-то яркое, и что-то воздушное:)

Сферическая система координат

До сих пор мы использовали цилиндрическую систему координат, которая, по технической сути, представляет собой «плоскую» полярную систему + дополнительную координату «зет». Но произвольную точку  пространства бывает удобно определить и по-другому, а именно расстоянием  от начала координат и двумя углами:

Угол  называется зенитным и отсчитывается от полуоси . Данный угол изменяется в пределах  и крайнему значению  соответствуют точки, лежащие на нижней полуоси .

Угол  называется азимутальным  и отсчитывается в плоскости  против часовой стрелки. Он изменяется в пределах , иными словами, «ведёт» себя точно так же, как полярный угол.

Таким образом, с помощью «ро», «тета» и «фи» можно однозначно определить любую точку пространства.

Где используется сферическая система координат? Ну, конечно же, в астрономии. Но своё скромное применения она нашла и при вычислении тройных интегралов:

Пример 5

Вычислить поток векторного поля  через замкнутую поверхность  (нормаль внешняя)

Решение: тот редкий случай, когда можно обойтись без чертежа. Однако я всё же втайне мечтаю, что потомки оценят художественную ценность моих сканов:)

Поскольку компоненты  и их очевидные производные
 определены во всех точках шара (и вообще всюду), то мы вправе воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского.

Составим функцию  и по соответствующей формуле вычислим поток векторного поля через сферу во внешнем направлении:

Перейдём к сферической системе координат. Формулы перехода к ней таковы:

И давайте сразу преобразуем подынтегральную функцию:

Произведение трёх дифференциалов превращается в следующую вещь:
, где «добавка»  – это «плата за переход» (Якобиан перехода).

Осталось определиться с порядком обхода тела. Ещё раз  посмотрите на чертёж или нарисуйте шар в уме. Как учитываются все его точки? Представьте это в динамике:

– сферический радиус (расстояние от центра) изменяется в пределах , при этом зенитный угол проходит все свои значения:  и получившийся полукруг с диаметром на оси  совершает полный оборот вокруг этой оси:

Остальное дело техники – переход к повторным интегралам и финальные вычисления:

Тройной интеграл можно было взять и через цилиндрические координаты, но вычисления получились бы заметно труднее.

Ответ:

Положительный поток был предсказуем, т.к. поле   имеет источники вообще во всех точках, кроме начала координат: .

Когда удобно использовать сферическую систему координат?

Когда нет проблем с определением зенитного угла. Как правило, это сфера и её части, сфера, вложенная в другую сферу и т.п. конструкции. Кстати, шаровой сектор из Примера 4 – там этот угол прям конфетка: , и желающие могут вычислить тройной интеграл вторым способом. Но само по себе использование ССК ещё не означает, что решение получится проще.

Спасибо за внимание, надеюсь, данная статья была полезной! Вы не просто молодцы, а самые настоящие герои:) –  потому что материал о поверхностных интегралах, потоке и дивергенции действительно сложноват.

Жду вас на заключительном уроке по теме под названием Циркуляция векторного поля.

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте