Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену


  Карта сайта



Дивергенция векторного поля.
Формула Гаусса-Остроградского


Данный урок представляет собой прямое продолжение статьи Поток векторного поля, и поэтому если вы зашли с поисковика, то, пожалуйста, начните с первой части, где мы подробно разобрали и решили важную задачу. А именно нашли поток векторного поля  через замкнутую поверхность в направлении её внешней нормали:
Вспоминаем задачу 1-й части урока и её результат
В ходе длинного-длинного решения нами был получен ответ , что в рамках условной гидродинамической модели означает следующее: сколько жидкости в единицу времени поступило в пирамиду – столько из неё и вытекло.

Однако так бывает далеко не всегда, и на практике поток часто получается положительным или отрицательным. Задумаемся над содержательным смыслом этих результатов и для бОльшей наглядности рассмотрим не пирамиду, а кусок  реки, ограниченный внешне-ориентированной поверхностью  и поле скоростей этой реки, которое определено в каждой точке  области .

Предположим, что поток через замкнутую поверхность  оказался положителен: . Что это означает? Это означает, что за единицу времени из области  жидкости вытекло БОЛЬШЕ, чем туда поступило. Следовательно, где-то внутри есть источник(и) поля. Это может быть, например, приток реки, который увеличивает её скорость, или просто кто-то вылил ведро воды =)

Отрицательное значение потока  через замкнутую поверхность  говорит нам о том, что за единицу времени область  «поглотила» жидкость (зашло больше, чем вышло). И причина тому – сток(и) поля внутри области. Например, подземная пещера или насос, выкачивающий воду.

И, наконец, при нулевом потоке  возможны две ситуации: либо внутри области  нет источников и стоков, либо они компенсируют друг друга: 100 грамм упало – 100 грамм испарилось.  

К слову, взаимная компенсация чаще всего имеет место и в первых двух случаях. Так, например, если , то это ещё не значит, что внутри области нет стоков. Возможно, источники оказались мощнее, и по итогу за единицу времени через поверхность выплеснулось 5 единиц жидкости.

И поэтому появляется интерес (а у некоторых потребность:))выяснить, есть ли у векторного поля  источники / стоки, и если есть – то где. И в этом нам поможет акваланг хитрая наука под названием математический анализ.

Рассмотрим некоторую точку  области  и её бесконечно малую замкнутую окрестность (например, сферу или куб). Поток векторного поля  через поверхность этой окрестности во внешнем направлении называется дивергенцией поля в данной точке, и обозначается через . И вот тут-то уж никуда не деться от разоблачения:

– если , то у векторного поля  есть источник в данной точке (её бесконечно малой окрестности);

– если , то сток;

– и если , то в точке  нет источников и стоков.

Далее. Как найти эту самую дивергенцию? Если в каждой точке  области  определено векторное поле  и его компоненты  дифференцируемы в этих точках, то скалярная функция дивергенции имеет следующий вид:

 или, как записывают короче:

Таким образом, в области  векторному полю  ставится в соответствие скалярное поле  его дивергенции.

И здесь сразу можно выделить особый случай. Поле, дивергенция которого равна нулю ВО ВСЕХ точках области, называется бездивергентным или соленоидальным. Это означает, что у него нет источников и стоков. В качестве примера часто приводят трубу-«бублик» с циркулирующей водой, которая никуда не исчезает, и новой воды там не появляется. Но ещё более показательный пример – это магнитное поле с его замкнутыми силовыми линиями, у которых нет начала и конца.

Хорошо. Функция  позволяет нам вычислить дивергенцию в отдельно взятых точках, и возникает вопрос: а можно ли подсчитать суммарную дивергенцию по всему телу?

Можно. С помощью тройного интеграла , который объединяет значения (элементарные потоки) через все бесконечно малые кусочки  тела .

И теперь мы подошли к замечательной формуле Гаусса-Остроградского. Иногда её называют формулой Остроградского-Гаусса, иногда просто формулой Остроградского. Поток векторного поля через замкнутую поверхность  в направлении внешней единичной нормали  равен дивергенции данного поля, вычисленной по телу , которое эта поверхность ограничивает:

Следует отметить, что в оригинале формула приводится в обратном порядке, и её краткий смысл таков: интеграл  объединяет дивергенцию по всему телу, и если внутри него есть ТОЛЬКО источники или ТОЛЬКО стоки, то происходит их суммирование. Если же внутри есть и то, и другое, то интеграл «взаимоуничтожает» элементарные потоки (дивергенции) разных знаков. Таким образом, во всех случаях в «сухом остатке» получается поток  через внешнюю поверхность.

Однако формула чаще используется так, как она записана выше – чтобы трудоёмкое исследование поверхности заменить вычислением банального тройного интеграла. В частности, если функция  представляет собой ненулевую константу, то всё дело, по сути, сводится к вычислению объёма тела.

…вы когда-нибудь думали, что будете так рады тройным интегралам? =)

Вернёмся к эпичному Примеру 1, где у нас получился нулевой поток через пирамиду, и вычислим дивергенцию векторного поля . Очевидно, что само поле и производные его компонент определены не только в пирамиде , но и вообще во всём пространстве:

Составим скалярную функцию дивергенции, или как чаще говорят – найдём дивергенцию:

Полученная функция каждой точке пространства ставит в соответствие ноль, значит векторное поле  всюду соленоидально. По формуле Гаусса-Остроградского, поток векторного поля через внешнюю сторону пирамиды  равен:

Примечание: т.к. поле бездивергентно во всём пространстве, то поток равен нулю и через любую замкнутую поверхность

Огорчаться, однако, не стОит, поскольку если уж от вас потребовали вычислить поток первым способом, то никуда не деться =) А требуют, между прочим, частенько.

И здесь ещё нужно подчеркнуть следующее: если вы вычислили поток через замкнутую поверхность, и у вас получился ноль, то это ещё не значит, что внутри нет источников и стоков. Они могут и существовать, но компенсировать друг друга. И первый способ решения не даёт нам ответ на этот вопрос.

Поэтому решаем второй пример вторым способом:)

Пример 2

Проверить, будет ли векторное поле  соленоидальным, и найти его поток через замкнутую поверхность  по формуле Гаусса-Остроградского

Результаты должны совпасть. Обращаю внимание, что проверка поля на соленоидальность является неотъемлемой частью задания, и на этот вопрос нужно дать аргументированный письменной ответ. Примерный образец решения в конце урока, и что приятно – задачу можно оформить в минималистичном стиле, без лишних обозначений и даже без записи самой формулы.

Ну а теперь я расскажу вам, а точнее напомню универсальный метод нахождения нормальных векторов поверхности:

Пример 3

Дано векторное поле  и замкнутая поверхность . Вычислить поток векторного поля через данную поверхность в направлении внешней нормали:

а) непосредственно;
б) по формуле Гаусса-Остроградского.

Распространённая формулировка, позволяющая ещё раз осознать всю ценность формулы =)

Решение: чертёж здесь прост:
Поток векторного поля через полную поверхность цилиндра

но вот решение – «труба» =)

а) Найдём поток векторного поля через полную поверхность  цилиндра в направлении внешней нормали напрямую. В силу аддитивности поверхностного интеграла:

, где:

 – боковая поверхность цилиндра ;
 – его нижнее основание (единичный круг в плоскости );
 – и верхнее основание (единичный круг в плоскости ).

1) Цилиндрическая поверхность  параллельна оси  и возникает вопрос, как найти её векторы нормали? Очень просто. Вектор нормали к поверхности  в точке  задаётся следующим образом:

В данном случае:

Таким образом, мы получаем целую функцию нормальных векторов для различных точек цилиндра:

Но нам нужны единичные векторы. Они разыскиваются стандартно:

Контроль:

Да, убедимся, что они «смотрят» вовне. Для этого можно взять несколько конкретных точек поверхности (проще всего в плоскости ) и посмотреть, какие векторы будут получаться. Так, например, для точки  получаем:
 – всё ОК. Собственно, этот вектор в качестве примера и изображён на чертеже. Самостоятельно проверьте какие-нибудь другие точки, и удостоверьтесь, что получаются векторы нужного направления.

Далее всё идёт по накатанной колее. Вычислим скалярное произведение:

и сведём решение к поверхностному интегралу 1-го рода:

В данном случае плоскость  не годится для проецирования. Почему? Потому что цилиндрическая поверхность спроецируется в окружность нулевой площади и получится ноль. Но из боковой же поверхности торчат векторы поля, и через неё запросто может идти поток!

Поэтому в нашем распоряжении остаются две координатные плоскости, я выберу для проецирования более наглядную фронтальную плоскость . И тут возникает другая трудность – цилиндрическую поверхность , а значит, и полученный интеграл 1-го рода придётся разделить на 2 части:
, где:

  – ближний к нам кусок цилиндра, а  – дальний его кусок.

Проведём вычисления для первого интеграла:

Используем соответствующую формулу:
, где:

 

По формуле:

Проекция на плоскость  очевидна:
Проекция цилиндра на плоскость YOZ
Выберем следующий порядок обхода области:

При вычислении второго интеграла получится точно такой же результат:

Таким образом:

Это я привел длинное общее решение (на всякий случай), но на самом деле тут есть короткий и изящный путь – в сумму интегралов можно сразу подставить  и :

  
и, согласно, геометрическому смыслу этих интегралов, данная сумма равна площади боковой поверхности цилиндра:

Знание – сила =)

2) Вычислим поток векторного поля через ориентированный единичный круг .

С нормалью и скалярным произведением всё просто:

а с поверхностным интегралом – ещё проще:
, поскольку

3) Третий интеграл начинается похоже:

Используем формулу , в данном случае:

Проекция  (поверхности  на плоскость ) представляет собой круг площади , и согласно геометрическому смыслу интеграла :

И, наконец, поток через всю поверхность:

Ответ:

Что, кстати, означает этот результат? Положительный поток через внешнюю поверхность означает, что внутри цилиндра есть источники поля. Иначе, откуда бы там взяться  единицам жидкости, которые вытекли наружу? (за единицу времени)

б) Решим задачу по формуле Гаусса- Остроградского:

И, прежде всего, тут нужно убедиться, что компоненты  и их производные  определены во всех точках тела. В противном случае формулу применять нельзя! Должен предупредить, что это не пустая формальность – на практике встречаются поля с корнями и логарифмами, и вот там могут быть проблемы.

Составим функцию дивергенции:
, которую очень полезно проанализировать:

При увеличении «зет» от 0 до 2 дивергенция строго положительна и нарастает. Это означает то, что, во-первых, внутри цилиндра находятся исключительно источники поля. И, во-вторых, эти источники усиливаются, т.е. текущая снизу вверх жидкость начинает разгоняться. Поэтому сразу можно сказать, что поток через внешнюю поверхность будет положительным. В чём мы сейчас ещё раз убедимся аналитически:

Поскольку проекция тела на плоскость  представляет собой круг единичного радиуса (чертить уж не буду), то удобно перейти к цилиндрической системе координат:

с очевидным порядком обхода тела:

Ответ:

Теперь вам, наверное, понятно, почему поверхностные интегралы и теория поля встречаются далеко не во всех учебниках по математическому анализу =)

Для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить поток векторного поля  через замкнутую поверхность   в направлении внешней нормали.

По умолчанию, разумеется, лучше выбрать более лёгкий путь, который представлен в образце решения. Но любителям математического анализа, наверное, будет интересно попробовать вычислить поток и непосредственно. И это ни в коем случае не чёрный юмор – среди посетителей сайта немало желающих «потягаться» с трудными задачами.

Формула Остроградского-Гаусса может помочь и достаточно неожиданным образом. Вспомним Пример 7 урока Поверхностные интегралы с трудным-трудным вычислением внешнего потока через полусферу . В случае непреодолимых трудностей с таким решением, существует окольный путь: сначала находим внешний поток через полную поверхность верхней половины шара, затем вычитаем из него поток, вычисленный через круг  в направлении вектора .

И в заключение статьи я всегда стараюсь подобрать «гвоздь программы» – что-то новое, что-то яркое, и что-то воздушное:)

Сферическая система координат

До сих пор мы использовали цилиндрическую систему координат, которая, по технической сути, представляет собой «плоскую» полярную систему + дополнительную координату «зет». Но произвольную точку  пространства бывает удобно определить и по-другому, а именно расстоянием  от начала координат и двумя углами:
Как определяются координаты точки в сферической системе координат
Угол  называется зенитным и отсчитывается от полуоси . Данный угол изменяется в пределах  и крайнему значению  соответствуют точки, лежащие на нижней полуоси .

Угол  называется азимутальным  и отсчитывается в плоскости  против часовой стрелки. Он изменяется в пределах , иными словами, «ведёт» себя точно так же, как полярный угол.

Таким образом, с помощью «ро», «тета» и «фи» можно однозначно определить любую точку пространства.

Где используется сферическая система координат? Ну, конечно же, в астрономии. Но своё скромное применения она нашла и при вычислении тройных интегралов:

Пример 5

Вычислить поток векторного поля  через замкнутую поверхность  (нормаль внешняя)

Решение: тот редкий случай, когда можно обойтись без чертежа. Однако я всё же втайне мечтаю, что потомки оценят художественную ценность моих сканов:)
Сфера Емелина
Поскольку компоненты  и их очевидные производные
 определены во всех точках шара (и вообще всюду), то мы вправе воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского.

Составим функцию  и по соответствующей формуле вычислим поток векторного поля через сферу во внешнем направлении:

Перейдём к сферической системе координат. Формулы перехода к ней таковы:

И давайте сразу преобразуем подынтегральную функцию:

Произведение трёх дифференциалов превращается в следующую вещь:
, где «добавка»  – это «плата за переход» (Якобиан перехода).

Осталось определиться с порядком обхода тела. Ещё раз  посмотрите на чертёж или нарисуйте шар в уме. Как учитываются все его точки? Представьте это в динамике:

– сферический радиус (расстояние от центра) изменяется в пределах , при этом зенитный угол проходит все свои значения:  и получившийся полукруг с диаметром на оси  совершает полный оборот вокруг этой оси:

Остальное дело техники – переход к повторным интегралам и финальные вычисления:

Тройной интеграл можно было взять и через цилиндрические координаты, но вычисления получились бы заметно труднее.

Ответ:

Положительный поток был предсказуем, т.к. поле   имеет источники вообще во всех точках, кроме начала координат: .

Когда удобно использовать сферическую систему координат?

Когда нет проблем с определением зенитного угла. Как правило, это сфера и её части, сфера, вложенная в другую сферу и т.п. конструкции. Кстати, шаровой сектор из Примера 4 – там этот угол прям конфетка: , и желающие могут вычислить тройной интеграл вторым способом. Но само по себе использование ССК ещё не означает, что решение получится проще.

Спасибо за внимание, надеюсь, данная статья была полезной! Вы не просто молодцы, а самые настоящие герои:) –  потому что материал о поверхностных интегралах, потоке и дивергенции действительно сложноват.

Жду вас на заключительном уроке по теме под названием Циркуляция векторного поля.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: найдём дивергенцию векторного поля:

, значит, поле  не является соленоидальным.
Выполним чертёж:
Поток векторного поля с помощью формулы Гаусса-Остроградского
Поток векторного поля через внешнюю поверхность призмы вычислим по формуле Гаусса-Остроградского:

Изобразим проекцию тела на плоскость :
Дабы не запутаться, обязательно чертим проекцию!
Выберем следующий порядок обхода тела:

Ответ: поле не является соленоидальным,

Пример 4. Решение: найдём линию пересечения конической поверхности и сферы:
 – подставим  во 2-е уравнение:


Таким образом, на высоте  конус пересекается со сферой по окружности . Изобразим на чертеже искомую поверхность, ограниченное ей тело  и его проекцию на плоскость :
Шаровой сектор и его проекция на плоскость XOY
Поток векторного поля через замкнутую поверхность вычислим по формуле Гаусса-Остроградского. Найдём дивергенцию векторного поля:

Таким образом:

Перейдём к цилиндрической системе координат:

Порядок обхода тела:

Ответ:

Примечание 1: такой результат означает, что внутри тела есть источники и стоки поля (т.к. функция ), но они компенсируют друг друга.

Примечание 2: при вычислении  можно было сразу взять интеграл  и получить ноль (т.к. во внутренних интегралах от «фи» ничего не зависит), однако такое решение одобрят далеко не все рецензенты.

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено