Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Матричные уравнения. Примеры решенийСейчас 00.12, 21 декабря 2012 года и я поздравляю всех посетителей сайта с Концом Света. Он оказался для меня самой настоящей находкой, поскольку каждый раз, начиная новую статью, я мучаюсь с первым абзацем, чтобы грамотно подобрать сухие точные фразы и сориентировать читателя в теме. Тибетские монахи сказали, что Армагеддон будет продолжаться две недели (видимо, все были студентами и сдавали сессии), поэтому у чайников ещё есть время ознакомиться с уроками Действия с матрицами, Свойства матричных операций и матричные выражения, Как найти обратную матрицу? Это не так сложно и не так много, как кажется! То есть для освоения матричных уравнений необходимо обладать некоторыми навыками, и быть, если не шаманом матриц, то, по меньшей мере, матричным охотником. Не переживайте, Конец Концом, а матричные уравнения сдадутся на милость победителя. Начнём с простого линейного уравнения, например уравнения . Оно состоит из математических знаков, чисел и неизвестной «икс». Перенесём «тройку» в правую часть и найдём решение уравнения: Выполним проверку, для этого подставим найденное значение в исходное уравнение: Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Про матричные уравнения рассказывать? =) Они устроены практически так же, только вместо чисел… правильно – матрицы (и конечно, числа тоже есть, помним, что матрицу можно умножить на число). Плюс особенные фишки, характерные для действий с матрицами. Всё просто, и особых трудностей возникнуть не должно. Общие принципы решения матричных уравненийТиповое матричное уравнение состоит, как правило, из нескольких матриц и неизвестной матрицы , которую предстоит найти. То есть, решением матричного уравнения является матрица. Пример 1 Решить матричное уравнение, выполнить проверку Как решить матричное уравнение?Фактически нужно использовать алгоритм решения детского уравнения с числами. В правой части умножаем каждый элемент матрицы на три, а матрицу левой части переносим направо со сменой знака: Причёсываем правую часть: Выразим , для этого обе части уравнения умножим на : Все числа матрицы делятся на 2, поэтому уместно избавиться от дроби. А заодно и от «минуса». Делим каждый элемент матрицы на –2: Ответ: Как выполнить проверку?Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения: Последним действием вынесли «тройку» из матрицы. Получена правая часть исходного уравнения, значит решение найдено правильно. Кстати, всегда ли матричное уравнение вообще имеет решение? Конечно не всегда. С ходу привожу простейшее доказательство: . Пример, который мы разобрали, элементарен, и, скажу честно, вероятность столкнуться с чем-то подобным на практике невелика. Поэтому перейдём к более содержательным заданиям, которые с вероятностью, стремящейся к 100%, встретятся вам в реальной контрольной работе. Но прежде систематизируем общий ход решения: Распространённый алгоритм решения матричного уравненияИтак, на голову упал стандартный персонаж, состоящий из нескольких матриц, некоторых множителей и птицы счастья . На первом шаге уравнение приводится к одному из двух видов: либо , где – известные матрицы. Примечание: существует также третий вид: , но в действительности он встречается крайне редко. Тем не менее, в конце статьи я рассмотрю данный случай. Как привести уравнение к виду или ? Все действия вы видели в Примере №1 – это перенос матриц из части в часть, «упаковывание» множителей в матрицы, матричное сложение/вычитание. На втором шаге нужно выразить или, выражаясь более академично, разрешить уравнение относительно . 1) . Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно , умножим обе его части на слева (здесь и далее предполагаем, что обратная матрица существует): !!! Внимание! Произведение матриц не перестановочно, поэтому критически важно, с какой стороны проводить умножение. По свойству матричных операций:, поэтому: Единичную матрицу можно убрать (см. урок Свойства операций над матрицами. Матричные выражения): Чего и требовалось достичь. Матрица нам не известна. 2) . Умножаем обе части уравнения на справа: Согласно свойству матричных операций , получаем: Единичную матрицу убираем: Готово. Матрица нам опять же не известна. Таким образом, на втором шаге решение выражается в виде либо в виде . Поскольку обратной матрицы мы не знаем, то третий этап решения будет состоять в её нахождении. Это стандартная задача урока Как найти обратную матрицу? На заключительном четвёртом шаге выполняем матричное умножение или , и, собственно, получаем ответ. После выполнения задания желательно провести проверку, впрочем, в большинстве случаев её требуется выполнить по условию задачи. Схема обыденна – нужно подставить найденное значение в исходное уравнение и убедиться в том, что «всё сойдётся». Рассмотрим примеры решений уравнений обоих видов более подробно: Решение матричного уравнения вида…и добавить нечего =) Пример 2 Решить матричное уравнение, выполнить проверку Решение: Уравнение уже имеет вид , поэтому никаких предварительных действий проводить не нужно. Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева: Да-да, прямо так и пишем при оформлении решения. Хотя можно ограничиться единственной фразой: «Решение ищем в виде » – без всяких пояснений и вывода формулы . Из условия известны матрицы , однако, обратной матрицы мы не знаем. Придётся её найти: Обратную матрицу найдем по формуле: – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Таким образом, обратная матрица: На финише проводим матричное умножение и получаем решение: Ответ: Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения: Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно. Следующая задача весьма любопытна, и некоторые из вас сделают для себя неожиданное открытие: Пример 3 Решить матричное уравнение и сделать проверку: Решение: Неизвестная распложена справа от матрицы, и уравнение, очевидно, сведётся к виду . Используем уже знакомые из Примера №1 действия:
Обратную матрицу найдем по формуле: – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Обратная матрица: Таким образом, решение уравнения: Ответ: Дробь красивше оставить перед вектором-столбцом, хотя вполне приемлемо записать и так: . Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения: Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно. Напоминаю технический приём, который мы рассмотрели на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. После подстановки в левую часть уравнения, константа уютно расположилась между матрицами. В подобных случаях число лучше вынести вперёд и разобраться с ним в самом конце – после матричного умножения. А теперь остановимся вот на каком моменте…. Вернёмся к самому началу решения, когда мы получили матричное уравнение в виде . Задача состояла в том, чтобы найти неизвестный вектор-столбец . Перепишем уравнение в виде и в левой части умножим матрицы по обычному правилу: До боли знакомая картина =) Две матрицы равны, когда равны их соответствующие элементы. Это система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: И полученный нами ответ представляет собой решение данной системы: Таким образом, матричный метод решения системы – это, по сути, частный случай матричного уравнения. Пример 4 Найти из матричного уравнения: Проверить полученный результат. Заметьте, что справа находится нулевая матрица а не ноль. Нулевая матрица для матриц – это аналог нуля для чисел. И её можно не записывать, после того, как вы что-нибудь перенесёте в правую часть. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задания в конце урока. В процессе решения матричных уравнений у начинающих могут появиться трудности с умножением матриц. В этом случае, пожалуйста, вернитесь к матричным выражениям и отработайте данное действие. Решение матричного уравнения видаАлгоритм решения точно такой же с некоторыми содержательными и техническими отличиями: Пример 5 Решить матричное уравнение, выполнить проверку найденного решения. Решение: Уравнение имеет готовый вид , что позволяет сразу же заняться «иксом». Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа: При оформлении можно записать и короче: «Решение ищем в виде ». Матрица «бэ» известна. Берём матрицу и без комментариев исследуем обратную сторону Луны: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Таким образом, обратная матрица: Ответ: Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения: Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно. Усложним задание: Пример 6 Решить матричное уравнение, сделать проверку: Решение: Незнакомец расположился слева от матрицы, поэтому уравнение сводится к виду . Упаковываем множители, переносим свободную матрицу в правую часть и выполняем вычитание матриц: Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа: Обратную матрицу найдем по формуле: – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Обратная матрица: Здесь целесообразно внести минус в матрицу. Возможно, вам надоела однообразная картинка с нахождением обратной матрицы в каждом примере, я бы вполне мог пропускать данный пункт и сразу записывать: «обратная матрица такая-то…». Нет, полное решение приводится не случайно. Это отличная возможность потренироваться! Кроме того, у некоторых студентов действительно очень низкий уровень подготовки и полный трафарет того или иного примера будет как нельзя кстати. Да и сам Гугл, глядишь, научится решать матричные уравнения =) Находим решение: Ответ: Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения: Пример 7 Решить матричное уравнение и сделать проверку: Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока. В заключение коротко рассмотрим ещё один тип матричного уравнения, который практически не встречается: , где – известные матрицы. То есть, наш партизан залёг между двумя матрицами. Разрешим данное уравнение относительно . Сначала умножим обе части на слева: Теперь умножим обе части на справа: Готового примера у себя в коллекции я не нашёл, но сейчас всё равно что-нибудь подберу из этой оперы…. Вот: Да, работёнки здесь побольше. Раза в два. Как решить данное уравнение? – для матрицы находим обратную матрицу ; Желающие могут прорешать данный пример, верный ответ: . Поздравляю ещё раз! Если вы читаете эти строки, то Конец Света так и не наступил! Конец Света как деньги – любит тишину =) На самом деле всё было так: летописцы майя составили свой календарь до дня зимнего солнцестояния 2012 года. А потом устали. Но на всякий случай передаю привет следующей цивилизации. Когда-нибудь они откопают хорошо сохранившийся в вечной мерзлоте сервер и расшифруют нашу клинопись =) Удачной сдачи зачётов и экзаменов! Решения и ответы: Пример 4: Решение: приведем уравнение к виду : Пример 7: Решение: приведем уравнение к виду : Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |