Производная функции комплексной переменной.
Условия Коши-Римана. Краткая теория и примеры решений

Эпиграфы закончились,
Но будет послесловие…

Продолжаем наш курс ТФКП, и после изучения комплексных пределов на очереди производные. Сначала немного теории, затем много примеров, и на посошок смысл комплексной производной. …Если вы далеки от теории и тем паче от смысла, не тушуйтесь – появится и смысл и просветление, а уж практика будет разобрана под микроскопом, и решать вы наУчитесь :)

Формально производная функции комплексной переменной определяется почти так же, как в действительном случае. Рассмотрим однозначную функцию , которая определена в некоторой области . Возьмём точку и зададим в ней приращение – так, чтобы точка тоже принадлежала области . При этом «добавку» «дельта зет» мы можем «отмерять» произвольно в любую сторону от точки «зет». Заданному приращению аргумента , очевидно, соответствует приращение функции , и определение:

если существует конечный предел при произвольным образом, то он называется производной функции в точке :

Варианты обозначений: («дэ эф по дэ зет»), – кому как нравится, кому как требуется.

Функцию , имеющую производную в точке , называют дифференцируемой в этой точке. Но это ещё не всё. Поскольку предел должен существовать при любом стремлении , то на функцию накладываются дополнительные условия, получившие фамилию Коши и Римана. Условий два и состоят они в следующих равенствах частных производных:

где и – действительная и мнимая часть функции . Буковки «у» и «вэ», напоминаю – есть функции двух действительных переменных.

Техническое замечание: частные производные в рассматриваемой теме, как правило, обозначают , старайтесь не использовать запись .

Итак, чтобы производная существовала необходимо выполнение условий Коши-Римана, и в то же самое время (с определённой оговоркой) этого достаточно. Если условия Коши-Римана не выполнены в той или иной точке, то производной не существует в этой точке. Желающие могут найти обоснование этих фактов, например, в рекомендованных книгах.

Помимо дифференцируемости, в комплексном анализе есть ещё одно очень важное понятие:

если функция дифференцируема не только в точке , но и некоторой её окрестности (пусть очень малой), то её (функцию) называют аналитической в этой точке.

Если функция дифференцируема во всех точках некоторой области , то она, очевидно, аналитична в этой области. Такую функцию называют аналитической или регулярной в области . Или голоморфной. Область «дэ», в частности, может представлять собой всю комплексную плоскость .

Все элементарные функции аналитичны в своей области определения. Многие из них мы рассмотрели на первом уроке, ну а наиболее популярные на практике я перечислил в конце этой статьи. И мы, собственно, переходим к практическим задачам:

Пример 1

Выяснить, будет ли функция дифференцируема и аналитична хоть в какой-то точке комплексной плоскости:

а) ,
б) ,
в)

Чтобы исследовать функцию на дифференцируемость, нужно найти её действительную и мнимую часть и проверить условия Коши-Римана. Если они выполнены не только в точке (той или иной), а ещё и в её окрестности (хотя бы какой-то), то функция не только дифференцируема, но и аналитична в этой точке.

Решение: а) Вспоминаем, что «зет» с чёрточкой – это сопряжённое по отношению к число. Таким образом, функция возвращает сопряжённые к аргументу значения. Видно, как ясный день, что:

– действительная часть этой функции, а – её мнимая часть.

Найдём частные производные первого порядка сих частей:

– и тут я кратко напомню основное правило: когда мы дифференцируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой. И, наоборот – при дифференцировании по «игрек», константой считается «икс».

Проверим выполнение условий Коши-Римана, впрочем, чего тут проверять – светит солнце. Первое условие не выполнено , а второе – да: , хотя, это уже не важно.

Вывод: условия Коши-Римана не выполнены ни в одной точке комплексной плоскости , поэтому функция нигде не дифференцируема и тем более не аналитична.

Вот оно как может быть, а ведь функция определена и даже непрерывна на . Но этого ещё не достаточно для существования производной.

б) Рассмотрим функцию . Множитель возвращает действительную часть аргумента , поэтому . Таким образом:

– действительная часть функции, а – её мнимая часть.

Найдём частные производные первого порядка:

Проверим условия Коши-Римана:

Очевидно, условия выполнены только при , то есть в единственной точке комплексной плоскости.

Вывод: функция дифференцируема лишь в точке , но не аналитична в ней (т. к. не дифференцируема в любой окрестности этой точки).

в) И для функции я разберу всё крайне подробно, поскольку такие вещи предлагают людям, зачастую далёким от математики.

Сначала решение, затем комментарии. Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде , где:

– действительная часть функции.
– её мнимая часть.

Найдём частные производные первого порядка:

– производные тут устные, но если у вас всё ещё сложности с ними – наверстайте материал по ссылке выше.

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

В результате получены тождества (равенства, верные для всех значений ), поэтому функция дифференцируема во всех точках комплексной плоскости, и, очевидно, регулярна в ней – по той причине, что в окрестности (причём, любой) любой точки – функция дифференцируема.

Вывод: функция дифференцируема и аналитична на всей комплексной плоскости.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 2

Исследовать функции на дифференцируемость и аналитичность:

а) ,
б) ,
в) и тут из практических соображений я сразу запишу действительную и мнимую часть этой функции, которые мы нашли ещё в Примере 6 вводного урока. Потому что сейчас наша задача – поразмять частные производные.

Решаем, сверяемся и продолжаем.

Как найти производную комплексной функции?

Во-первых, производную можно найти по определению – аналогично действительному случаю. Но это вам грозит, скорее всего, только в том случае, если вы учитесь профильно и / или углублённо.

И во-вторых, у меня отличная новость! Для функции комплексной переменной работают те же правила дифференцирования и таблица производных, в том числе всё это справедливо (с некоторыми оговорками) и для многозначных функций, а-ка корни, логарифмы, «арки». Только вместо буковки «икс» нужно использовать букву «зет».

И, конечно, для той или иной функции, которую мы дифференцируем, должны быть выполнены условия Коши-Римана. Только в этом случае будет существовать производная!

Так, в Примере 1, пункте «в» условия Коши-Римана выполнены, и мы можем с лёгким сердцем найти производную по обычной схеме:

В Примере 2, пунктах «б», «в» аналогично:

Напоминаю (и это прекрасно видно), что производная – это тоже функция, смысл которой мы проясним после наработки практики.

Но перед тем как решать, обратим внимание на пару полезных формул. В первом же примере было выяснено, что .

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Рекомендую переписать в тетрадь две рабочие формулы:

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Пример 3

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить условия Коши-Римана. В случае их выполнения, найти производную функции.

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Это задание было неоднократно разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев.

Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Обычно это удобнее делать последовательно – сначала одно, затем другое.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные:

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с разными знаками, то есть условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены на всей комплексной плоскости, как оно чаще всего бывает в «массовой практике». Следовательно, функция дифференцируема (по умолчанию – всюду).

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица – это константа, и при дифференцировании обращаемся с ней соответствующим образом.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Кроме того, существуют иной способ нахождения производной – не пропускаем! Эта информация крайне полезна для понимания следующего урока – Как найти функцию комплексной переменной?

Суть состоит в том, что производную можно сконструировать из частных производных по формуле:

В нашем примере: , таким образом:

Теперь предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить . Для того, чтобы это сделать, нужно в слагаемых и вынести за скобку:

Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, поэтому тут лучше выполнить промежуточную проверку – берём выражение , устно либо на черновике раскрываем скобки и убеждаемся, что получилось именно .

Имея в виду условия Коши-Римана , формулу можно записать следующим образом:

В данном случае: , поэтому:

И, используя те же условия, производную можно выразить ещё двумя способами:

Откуда выявляется важный факт: аналитическая (!) функция однозначно определяется своей действительной либо мнимой частью. Если мы знаем одну из этих частей, то, по сути, знаем и функцию. Чтобы найти производную, достаточно взять частные производные от известной части и использовать одну из формул, которые я только что привёл выше.

Однако возвращаемся в основное русло, аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана и найти производную.

Но перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, я напомню главное правило при работе с комплексными числами:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Краткое решение и примерный образец чистового оформления примера в конце урока.

Усложним наши функции:

Пример 5

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить

Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена:

Определим действительную и мнимую части предложенной функции.

Внимание и еще раз внимание!

Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– её мнимая часть.

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Проверка второго условия:

Получилось одно и то же, но с разными знаками, то есть условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены (по умолчанию – всюду), следовательно, функция является дифференцируемой:

Вычислим значение производной в требуемой точке:

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

Функции с кубами встречаются очень часто, поэтому пример для закрепления:

Пример 6

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить .

Образец для сверки в конце урока.

Теперь переходим к другим элементарным функциям. Начнём с комплексной экспоненты. Для решения тематической задачи нам потребуется формула Эйлера:

– для любого действительного числа ,

и я сразу запишу версию для «минус альфа»:

И вы тоже запишИте их к себе в тетрадь, чтобы они были перед глазами.

Пример 7

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Найти производную.

Решение: генеральная линия партии остаётся непоколебимой – сначала выделяем действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг.

Поскольку , то:

(1) Подставляем вместо «зет».

(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.

(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.

(4) Используем школьное действие со степенями.

(5) Для множителя используем формулу Эйлера , при этом .

(6) Раскрываем скобки, в результате:

– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:

Частные производные опять не очень сложные, но на всякий пожарный расписал их максимально подробно. Проверяем второе условие:

Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную. По правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 8

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана, найти производную.

! Внимание! Знак «минус» справа относится к мнимой части: . Терять минус нельзя!

Полное решение и ответ в конце урока.

Та же задача с комплексным синусом либо косинусом решается с помощью формул:

– их я тоже освещал на первом же уроке.

Параметры «альфа» и «бета», принимают только действительные значения, в том числе они могут быть функциями действительных переменных.

Также обратите внимание, что в формулах есть гиперболические функции, при дифференцировании они превращаются друг в друга, не случайно я включил их в таблицу производных.

Пример 9

Определить действительную и мнимую части функции . Найти производную, если это возможно.

Решение: алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово.

Поскольку , то:

1) Подставляем вместо «зет».

(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса. В этих целях раскрываем скобки.

(3) Используем формулу , при этом .

(4) Используем чётность гиперболического косинуса: и нечётность гиперболического синуса: . Гиперболики хоть и не от мира студенческого, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.

В итоге:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Внимание! Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены, значит, функция дифференцируема.

По правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ: , ,

С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:

Пример 10

Найти производную функции , если это возможно.

И в заключение ответим на важный практический вопрос:

что делать, если в таком задании условия Коши-Римана «не сошлись»?

– Возможно, так и было задумано, особенно если дана какая-нибудь «нестандартная» функция, как в первых примерах. И особенно, если математика у вас основательная.

– Вы допустили ошибку. Опечаток здесь быть не может. Дело в том, что элементарные функции аналитичны в своих областях определения, и условия Коши-Римана просто обязаны выполняться. Это, в частности:

– рациональная («многочленная») функция, типичные представители были в Примерах 3-6;

– дробно-рациональная функция (многочлены в числителе и знаменателе) – дифференцируема всюду, за исключением точек, где знаменатель обращается в ноль, простейшим представителем можно считать (Пример 2в);
– комплексная экспонента;

– комплексный синус и косинус;

– комплексный гиперболический синус и косинус, к слову, как их решать? Просто пользуемся определениями , – и разбираемся с двумя экспонентами по образцу Примеров 7-8.

а также:

– сумма / разность, произведение / частное и композиция элементарных функций. Это, кстати, сама дробно-рациональная функция (деление двух многочленов) и, например, сложная (композиционная) функция , опционально её можно ещё домножить, да хотя на «зет». Все они заведомо аналитичны в своих областях определения.

Главное, всё внимательно перепроверить и не впадать в ступор.

И в качестве эпилога как раз короткая история про ступор, или о том, какие вопросы преподавателей являются самыми сложными. Самые сложные вопросы, как ни странно – это вопросы с очевидными ответами. А история такова: сдаёт человек экзамен по алгебре, тема билета: «Следствие основной теоремы алгебры». Экзаменатор слушает-слушает, а потом вдруг спрашивает: «А откуда это следует?». Вот это был ступор, так ступор. Вся аудитория уже угорала, но студент так и не сказал правильного ответа: «из основной теоремы алгебры».

Вспоминаю историю и из личного опыта, сдаю физику, что-то там про давление жидкости, что уже не помню, но рисунок остался в памяти навсегда – изогнутая труба, по которой текла жидкость. Ответил я билет «на отлично», причем даже сам понял, что ответил. И вот преподаватель напоследок спрашивает: «Где здесь трубка тока?». Крутил-вертел я этот чертёж с изогнутой трубой минут пять, высказывал самые дикие версии, пилил трубу, рисовал какие-то проекции. А ответ был прост, трубка тока – это вся труба.

Неплохо разгрузились, до скорой встречи на уроке Как найти функцию комплексной переменной? – по известной действительной или мнимой части.

Всем желаю не тормозить, иногда очевидное – это самое сложное!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение:
а) Запишем действительную и мнимую часть функции :

Найдём частные производные первого порядка:

Проверим условия Коши-Римана:

Таким образом, условия Коши-Римана выполнены лишь для чисел с действительной частью . В любой окрестности любого из этих чисел есть точки, в которых функция не дифференцируема, поэтому функция не аналитична в них.

Вывод: функция дифференцируема в точках с действительной частью и не регулярна в комплексной плоскости.

б) Так как , то:

Таким образом, – действительная часть, – мнимая часть.

Найдём частные производные:

и проверим условия Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены для всех значений .

Вывод: функция дифференцируема во всех точках комплексной плоскости, а значит, регулярна в ней.

в) Найдём частные производные и проверим условия Коши-Римана. Это можно сделать в такой редакции:

Условия Коши-Римана выполнены во всех точках комплексной плоскости, кроме , где функция не определена.
Вывод: функция регулярна на всей комплексной плоскости кроме точки .